1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Система А — + — +С вЂ” =г ди ди ди дх ду дг называется эллплглпчесмой, если ее характеристическое уравнение де1 (!3А+НВ+~С~!=0 не имеет вещественных решений (9, Ч, ь) таких, что сз+т)Я+ьз)0. Чтобы дать определение эллицтичности для одного уравнения нздо рассмотреть его характеристическое уравнение А$Я + 2В$Т) + Ст)з = 0 и потребовать, чтобы оно не имело вещественных решений гс, и) таких, что $Я+ЧЯ)0, .
Примером эллиптической системы является система уравнений Коши — Римана: — — — =О, дх ду — +== о ди йи ду дх а примером эллиптического уравнения †уравнен Лзпласа дЯи д'и дх' дуя — + — = О. ди д'и Уравнение теплопроводности — — — = 0 имеет в качестве уравн дГ дха ния характеристик уравнение $з=О, распадаюшееся на два совпадающ метод ФуРье уравнения. Оно относится к промежуточному между эллиптическим и гиперболическим классу параболических урзвнений.
Мы не будем приводить определения параболических уравнений, а лишь отметим, что в это определение входят не только коэффициенты при старших производных, но и некоторые другие коэффициенты. ф 7. Метод Фурье Схема метода Фурье для уравнения Лапласа и его обоснование. Метод Фурье для гиперболической системы уравиеяий акустики. Представление решений в виде суммы стоячих волн. Пересказ вводной главы из работы Римана, посвященной астории метода Фурье. Ортогоиальиость собственных вектор-функций и вычислеяие коэффициентов Фурье. В этом параграфе мы опишем идею так называемого метода Фурье. Этот очень распространенный метод решения дифференциальных уравнений, к сожалению, не является универсальным. Оя применим только к линейным уравнениям некоторого специального вида, позволяющего построить для этих уравнений достаточно богатый запас частных решений.
Линейные комбинации этих частных решений затем применяются для того, чтобы аппроксимировать более или менее произвольное решение. дэи дэи Рассмотрим, например, уравнение Лапласа —,+ —,=О в круге дх' диэ ха+уз( Щ Нзм будет удобно, перейдя к полярным координатам г, ф (х=г сов ф, у=гз1пф), записать это уравнение в форме а затем искать его частные решения вида и(г, ф)=А(г)В(ф).
Подставив эту формулу в уравнение, будем иметь — [гА'(г))' В(ф)+ — (, В" (ф)=0 и, далее, г[гА'(г))' В" (Ч) А (г) В (ф) Так как из этого равенства Х должно зависеть, с одной стороны, только от г, а с другой †толь ог ф, то необходимо, чтобы оно ни от одного, ни от другого аргумента не зависело, т. е. было бы постоянным.
Уравнение или, что то же самое, в" + йв; р) = о ВВОДНАЯ ЧАСТЬ !гл. г имеет общее решение В( )=., ()т),ф>+., ()т).ф). Очевидно, что В(ф) должно быть гладкой периодической с периодом 2н функцией от ф. Для этого необходимо и достаточно, чтобы [т Х было целым числом и, т. е. чтобы Х=лз. (Локажите это.) Уравнение т [тА' (т))' — лзА (т) = 0 для множителя А(г) является так называемым уравнением Зйлера. Его общее решение (при л.~ 0) А(т)=сзт" +сзт ". Итак, мы пришли к решениям уравнения Лапласа, имеющим вид и (г, ф) = А (т) В (ф) = (сзт + с4т ) (с! з!и лф+ с соз лф). Частные решения и = гя л соз лф, и = г- " з1п лф получаются специальным выбором постоянных с!=аз=0), сг=сз=О), (с,=с,=! (с =с,=1 сз=с4=0), сз — — сз = 0).
г [гА' (т))' = 0 получается из общего А(т)=сз+аа!и т лишь при с4 — — 0.) Линейная комбинация построенных частных решений и(т, ф)= 2 + '5' — '"„(а„сов л!р+Ь„з!пл4р), л=! очевидно, тоже будет решением уравнения Лапласа. Интересно, что если считать постоянные аз ам аз аз,... Ьм 1'з !'з ограниченными, то линейная комбинация бесконечного числа слагаемых лл Ъ! и(т, 4р)= — "+ 7 — „(вл сов л<р+Ь„жплф) л=! Решения г "сов лф, г "з1плф имеют особенность при г=О, и мы постараемся обойтись без них. )1обавим к набору чзстных решений т" соз лф, т" з!и л<р еще частное решение и=1, являющееся ограниченным решением, отвечающим значению л= О.
(Разыскивая его в виде и(г, ф)=А(т)сов(0 ф)=А(т), замечаем, что ограниченное решение уравнения мвтод еззьв является при г( й решением уравнения Лапласа. В самом деле, этот ряд можно переписать еше так: л! л! ~ гл(слзлф+)иллф)(ал — Сал) н(г ф)= 2+ 1 л=! 2+ ~ КЕ л (л — Э). '!л %т (х+ !у)" Ряд л=! 2 + ~ )зл (е+!У) =тз(х+!У)=те(ю) л=! является рядом Тейлора с рздиусом сходимости не меньшим, чем )С. Отсюда следует, что внутри круга сходимости функция тв(г) — анали- тическая, и=пети гармонична. Если предположить равномерную сходимость ряда и(г, !р)= — + т — „(алсозп!р+Ьлз!пиф) ал л ! вплоть до границы круга г=)С, то для граничных значении пЯ, <р) = =Дф) мы будем иметь представление рядом Фурье Дф)= 2'+ ~,~ (а„созпф+Ь„з!ппф).
(2) л=! Как известно, коэффициенты Фурье агл Ьь вычисляются по формулам зп аь= — )(ф)соя Ьфйр, А=О, 1, 2, ..., и,..., 1 зл Ьл= — Яр)з!пЬфйр, Ь=1, 2, ..., и, .... ! Для того чтобы обеспечить равномерную сходимость рядов (1) и (2) (первого в замкнутом круге г()т), достаточно предположить непре- рывность вторых производных у Яр).
Интегрированием по частям можно убедиться в том, что при этом зл аь — — — —, У' (<р) соз Ьфйр, зл Ьз — — — —, у '(!р)з!пЬфйр, сопл! ) аз)( —, Эти неравенства обеспечивают сходимость. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ !Гл. ! Таким образом, для любой достаточно гладкой г(!р), заданной на границе круга О~ г~)с, законно следующее построение решения задачи Дирихле: 1'. Вычисляем коэффициенты Фурье у'(2р) по формулзм па= —, У(!р) соз 1щггтр Ь=О, 1, 2, . „,, л ! Ьи = — Яр) з!п Йр Йр, Ь= 1, 2,, л, „... ! 2'.
Используем эти коэффициенты при составлении «линейной.комбинации» п(г, гр)=-2.+ т, — „,(а„со!игре)-Ь„з!пл!р)= и=! и, С! и„ Ьи и = — + г — г соз игр+ т — г 21плгр )»и )»и и=! и=!. частных решений уравнения Лапласа. Мы доказали, что построенная функция и(г, 2р) является в круге г ( Й решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа с граничным значением ! (<р), если функция г'(2р) достаточно гладкая. Сейчас мы покажем, что описанная процедура применима для любой непрерывной у(2р), совсем не обязательно дифференцируемой. Есть примеры, показываю!цие, что ряд Фурье для непрерывной функции может не сходиться к ней равномерно. Несмотря на это, мы покажем, что полученный при помощи нашей процедуры ряд для решения задачи Дирихле сходится к этому решению равномерно в любом круге г ~ )ти ()с РадиУса )с„ меньшего )о В 2 2 Решение задачи ДиРихле в круге прн любой непрерывной у(2р) было построено с помощью формулы Пуассона.
Воспользуемся комплексной формулой этого решения и (г сое гр, г з!п 2р) = 2и = — — ~ г(се)а!а+ —, +— 1 Г 1 Г !(а) )!е~аиее 1 Г /(а) Яе — гаДи 2 2п 1) йе2а — ге!2 22! ~ 2«е " — ге 22 й 2и 2и ! Г 1 Г г (ее) Вега!)а — — г" (се) е(а+ Дев 2п ~ и 12 Йе!" — ге!2 2и 1 ГГ 1 Реги ' = Ке — ! — — + .. 1 ! (а) е(а = Ке тв, 2 )1«'и — ге!2 ) метод ФуРье Г разложив подынтегральное выражение в ряд Тейлора по степеням —; й ' с в 2+ г(а) = 2 т(а)+ ~~~, ( — ', ) евл!" "! Г'(я). ! — ! е!не "'1! 1! " л 1 Г Г ! !2Е2в гв(х, у)=ги(гсов!р, гз!пф)= — 1 ~ — — + .
1!Г(а)йх= -и ° ~ 2 Яе2о — ге!2 ! 2л о» 2л 1 ! л = — в у(а) йх+ т' ! — ! — (сов лф сов па+в!п л!р вт па)у(а) йя+ «=! жв гг!л! Г +! т~ ! — ~ — (в!пп!р созна — вшлсх сов лф)у(я) !ва= ' ~Л~ п~ л ! — + ~~) г (совф+1юп<р) — + ~~) (х+!у). л=! Через аео Ьл мы обозначили интегралы 2л ал= — у(а) сов пайх, 1 Г Ьл= — у(я) в!и лссйх, ! ! Е=О, 1,2, п=1, 2, совпздаюшие с коэффициентами Фурье. Тем самым показано, что для любой непрерывной т(ф) формула решения задачи Дирихле .!.е=н.(в -н~ "„в ! ~-ог~ л ! представляет собой просто другую запись формулы Пуассона.
Следовательно, справедлива формула (1) и обоснован метод Фурье. Выделяя мнимую часть из ряда оо ав+ ~л1~! ал — йл +! л л =! найдем о(х, у)= е~~ — „( — Ьл сов пф+а„в!плф). %2 4 С. К. Голунов Этот ряд можно почленно проинтегрировать и перегруппировать сла- гаемые: !гл, ! ' ВВОднАя чАсть Мы обосновзли правило Фурье построения гармонической в круге .функции и(х, у) по ее непрерывным граничным значениям.
Более того, мы дали также ряд для построения с(х, у) †гармоническ функции, сопряженной к п(х. у) и связанной с ней соотношениями Коши — Римана ди ди дх ду ' ди ди ду дх Из этих соотношений видно, что функция п(х, у) определяется . по заданной и(х, у) однозначно, с точностью до произвольной постоянной (однозначно определяются о„, и ). Мы доказали тем самым, что аналитическая в круге )х+(у((й функция ти восстанавливается по непрерывным граничным значениям ее вещественной части однозначно, с точностью до произвольного постоянного мнимого слагаемого !С.
Нам будет важно для дальнейшего заметить, что если числовой ряд ' ~ ()а„(+)Ьи!) сходится, то ти как сумма равномерно сходящегося: и 1 ряда непрерывных функций будет непрерывной в замкнутом круге ~ х+ ту ! ~ )с. Чтобы обеспечить сходимость ряда ~ () а„~+! Ь„!)„ и ! достаточно предполагать функцию г'(!р) имеющеп вторые непрерывные, производные. Отметим, что приведенное нами рассуждение дает аккуратное дока- : зательство того факта, что всякая достзточно гладкая (имеющая непре-: рывные вторые производные) периодическая с периодом 2п функция (!р) может быть представлена равномерно сходящимся к ней рядом ' Фурье (2), для коэффициентов которого выполнены неравенства Легко убедиться в том, что это доказательство, основанное на теории интеграла Пуассона, по существу никак не опирается на те сведения о рядах Фурье, которые мы использовали при предварительном разборе наводящих соображений.
Ясно, что если функция у'(а) имеет непрерывные вторые производные и периодична с периодом 2Е, то ее можно записать следующим равномерно сходящимся рядом: ач %1 «их %1 . «Вх у(х)= —,к+ 7 аь соз — + г р«з!и— метод ФуРье действнтельно, этот случай сводятся к предыдущему, если положить 2п пе ю= — ср, ф= — с= —. и ' 21 Пряведенной сейчас формой ряда Фурье для г(е) мы воспользуемся ниже в этом параграфе. В качестве другого примера на метод Фурье рассмотрим задачу об акустических колебаниях слоя газа толщнны с' (0(х(с) между двумя неподвижными плоскостями. Пля этого у системы уравнений акустики ди 1 д + =О, ро дх др, ди + Росо — = О дх будем разыскивать решения, удовлетворяющне граничным условиям: и=О прн х=О, х=б Начнем с отыскания частных решений вида и = ТЯ У(х), р = Т(1) Р (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
