1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Из уравнений акустики следует, что если такие решения. существуют, то Т, Р, У связаны равенствами 7' (1) 1 Р' (х) — = — — — = Л = сопя!, т(г) ~~, и(х) — = — р с' — =Л=сопв1 Т (О,и () Т ( ) Р (х) (Л является, с одной стороны, функцней только от г, а с дру- гой †толь от х, поэтому оно на самом деле не зависит нн от одного, нн от другого). Отсюда Т(1)=сопа1е~, и поэтому мы должны рассматривать частные решения такого вида: и =е У(х), р=е"' Р (х). Очевидно, что для У(х) должны быть выполнены граннчные условия У(0) = У(1) =О, Подстановка решений указанного вида в нсходную снстему дает для У, Р обыкновенные дифференциальные ураанення ЛУ+ — — =О, 1 с)Р Ро ЛР+ росс — = О. , ш о о,)„= Общее решение этих уравнений имеет внд Лх Хх У Аесс +Ве сс, 1х Лх Р= РосоАе' +Расо Ве сс ' 1ОО сгл.
с ВВОДНАЯ ЧАСТЬ решение, лишь если которая имеет ненулевое 1 В(Л)= с всю 1 лс м ЛХ лс =в сю всю — 2в1с О с с, о т. е, если Л= — (сс — целое). Постоянные А, В при таких Л опредеСолсо лаются с точностью до произвольного множителя. Мы можем положить А=112, В= — 1/2. Тогда ол Ою ю — л -1 — х .е — е с с Ал и=. 21 =1з1п — х . Сюю ос 1 — л — 1 — л е' +с росс 2 йл = — р с соз — х о Значения параметра Л, при которых задача Ли+ — — =О, 1 сср ро с1х ЛР+ роса — =О, ,ли ссх и(о) = и(1) = о имеет нетривиальное решение, называются собслсаеннымп значенпялсн, а сзответствуюшие решения и(х), Р(х) образуют собственную зекзсор-функ!тлю.
Мы установили, что собственные аначения и собственные функции даются формулами Ло =1 —, йлсо ал и,=1з1п — х, ! йл Ро= — р с соз — х, о 1 и тем самым показали, что частных решений ио=е о ио(х), ро=е о Р„(х) будет бесконечно много. Ясно, что любая конечная линейная комбинация и=~ааль, р=~~аоро„ г е. о о Постоянные А, В определим из граничных условий и(0) = и(1)=0.
Эти условия приводят к однородной системе линейных уравнений А+В=О, 1 лс лс Азою + Вз сю — О, митод екрьв также удовлетворяет системе ди 1 др ' — + — — =о, д1 Ро дх др, ди — +р с' — =0 д1 о одх и граничным условиям п(0, 1)=и(1, 1)=0. Лля системы ди 1др — + — — =О, Ро дх др , ди — +р с,' — =О, д1 дх и(0, 1)=и(1, 1)=0 обычно решают задачу с начальными даннымн и(х, 0)=<р(х), р(х, 0)=ф(х). Аппраксимируем вектор-функцию (ф(х), ф(х)1 конечными линейными комбинациями (с( )) й (с И) Естественно ожидать, что решение й (х, 1) =,У', а»е"»' (1» (х), р (х, 1) = У, 'а»е»' Р» (х) будет аппроксимировать разыскиваемое решение и(х, 1), р(х, 1).
Мы сейчас ограничиваемся только не очень аккурзтными формулировками, которые нужны для понимания примера. Строгая теория будет построена немного дальше. Остановимся еще на следующем обстоятельстве. Рассматривая вещественную систему с вещественными граничными условиями, мы построили у нее комплексные частные решения »лс. с в с .
»лх »лсо »л »лсо и» = 1е ' з!п — =1 соз — 1з!п — х — з1п — 1з1п — х 1 1 1 1 »лсс 1 1 — с»л р»= — р с,е соз — х= о 1 = — р с (соз — 1 соз — х+1 з!п — 1 соз — х). »лсо »л .. Йлсо »л о о 1 Ясно, что линейная комбинзция 102 !гл. ! вводная часть является также линейной комбинацией вещественных чзстных решений ив+и ь , алсо . ал = — 5!п — ! 3!и — х, ! ! Ро+ Р-ь алсо ал 2 о о ! = — р с соз — асов — х Ф и„— и ь алсо . ал 2! ! ! =сов — аз!и — х, Рь Р -о . алсо ал — == — рос,зш — ! соз — х. 2! оо Наоборот, любая комбинация этих вещественных частных решений будет комбинацией комплексных решений (иоь ро).
Использование комплексных решений удобно для упрощения выкладок. Решения вида Йлсо . ал алсо + и — з!и — ! з!п — х ! ! соз — ! з!и — х ~1=а алсо +Ь алсо. /иг — р с,соз — '! соз — х — р,с,з!п — '! соз — х соз алсо(!+г) ! ал ! ! з!и — х = 1/ ао л. до «лсо (!+т) ал ~ — р с з!п соз — х оо ! !и ю г описывают так называемые собственные колебания слоя газа, заключенного между неподвижными плоскостями х=0, х=(, или, как иногда ' говорят,— стоячие волны.
Графики распределения скорости и давления в тзкой волне в некоторый момент времени приведены и на рис. 24. Название «стоячие ! 1 ! волны» подчеркивает тот факт, что 1 ! ! ! 1 для таких колебаний точки, в ко- 1 1 ! ' ' 1 1 торых амплитуда скорости и (или Р ! ! ! ! ! ! давления р) равна нулю (узлы) или экстремальна (пучности), все 1 время остаются в одних и тех же П х местах. Отметим, что в «узлах» скорости амплитуда давления максимальна. Нужно также указать, Ряс. 24. что колебания давления сдвинуты по фазе относительно колебаний и. Перейдем я обоснованию метода Фурье для системы уравнений аиусти!си. А именно, покажем, что решение этой системы с условиями и(0, !)=и(1, !)=0 и при некоторых дополнительных ограничениях на начзльные функции и(х, О) и Р(х, О) представляется в виде бесконечной суммы частных решений системы, описывающих стоячие волны, метОд еурьВ Общее решение уравнений акустики, как мы установили в $ б, имеет вид / (х — соб+а (х+ со0 и= 2 г(х — соб — и (х+соб Р= рого 2 где функции у, и определяются через начальные значения и(г =ф(х); Р ~г-о= Ф(х) формулами .у( )=ф(.)+ — "', Расо К (2) = ф (2)— зр (г) Расо Эти формулы определяют г(2), и(2) лишь при 0~2(у, что дает возможность построить решение внутри характеристического треугольника х — сог=шО, х+с,а(А Чтобы построить решение всюду внутри полосы О~хкЕ и чтобы добиться выполнения граничных условий и=О при х=0„4 мы воспользуемся искусственным приемом продолжения начальных данных на всю ось х.
Аналогичным приемом мы уже пользовались при решении одной нз задач для уравнения теплопроводности. Определив у(2), и(2) при 0(2(У, мы продолжим их на все 2 так, чтобы т (2) = — Я ( — 2), У (с 2) = — ~ (1+ 2). Нетрудно убедиться, что если У(0)+у(0)=0, ДУ)+й(У)=0, то такое продолжение возможно и единственно. Действительно, если мы знаем у(2), и(2) при О ч- 2 ( (, то формулы т ( — )= — й(2), — г (2)=л( — 2) У(2+ Ж=Л2), у(2+ 2с)=и(2). Возможность такого непрерывного продолжения обеспечивается равенствами у(~)=у( — Е), и®=и( — ф которые выводятся из условия У(~)+у(~)=0 и из построения у( — Л= — иЯ, и( — с)= — У(ф. Мы будем предполагать, что продолженные на всю ось 2 функции .у(2), й(2) непрерывны и имеют непрерывные первые и вторые производные.
Задача. Проверьте, что для этого начальные данные пб о —— ф, р(тл=зр должны иметь непрерывные первые и вторые производные при 0 <х(1, удовлетворяющие следующим соотношениям: ф(0)=О, ф(0=0, ф" (0)=ф" (0=0, ф (о)=ф (г)=о. позволяют определить эти функции при — 1(2(0. Равенство Г(0)+ + и(0)=0 обеспечивает совпадение значений при 2=0 до и после продолжения.
Теперь продолжим г(2), и(2) на всю прямую периодическими функциями с периодом 20 104 !гл. ! ВводнАя чАсть Теперь нетрудно убедиться в том, что формулы / (х — со/) + д (х+ со/) и= 2 / (х — с,с) — й (х+ со/) Р=росо 2 о будут давать решение уравнений акустики при всех х, 1 и, в частности, при всех сс, Г из полосы 0(г(/. Из равенств 1( — со/)+а(сог) =0 У(Š— со/) -~- К (/+ со/) = 0 вытекает выполнение граничных условий и (О, 1) = О, и (/, /) = 0 Как известно, всякую достаточно гладкую периодическую функцию можно разложить в равномерно сходящийся ряд Фурье: у(г)= — о+ ут аасов — г+ т роз)п — г, 2 х~! / х~о Е о=! о ! а, жч ап жт ап и(г) = — '+ т аа сов — г+ р ро в1п — г. (Мы уже отмечали, что доказательство этого факта вытекает, в частности, из рассмотрений начала этого параграфа.) Условие /(г)= — л" ( — г) накладывает на.
коэффициенты соотношения а» = — аы ()о = о)о~ в силу которых ао ж! ап 'ю ап У(г) = — 2 — 7 ао сов — г+ 7 ))ь в!и — г, / о ! о ! ао хн %1 ан и(г)= — '+ т ах сов — г+ хт боя!ив 2 Коэффициенты аы ))о УдовлетвоРЯют неРавенствам ! ао ! ( Сопв1//оо, ~ )зо) е сопв1/Ло, вытекающим из непрерывности вторых производных ./", и". Для решения /(х — сой+й (х+сой и= 2 /(х — со0 — я (х+соб Р=Росо 2 105 метод еяяьи (ы приходим к представлению $Г Ал ял и= ао — ~соз ! (х+са!) — соз — (х — сД~+ а=! + ~„' !)о — с(з(п — (х+ сот)+з(п — (х — сф)~, ! Г . Зл , ол о ! „я = 2 с(я 7 саа 2 ~соз ! (Х+ сот)+сов — (Х с !)~+ Раса ~Ч Роса Г йл о ! СО +~~, Ро 2 ~ — "п ! (х+саО+з!п — (х — сот)~ Раса Г йл .
лл о=! (перестановка членов, производившаяся при получении итого представления, законна в силу равномерной и абсолютной сходимостн рядов, вытекзюшей из неравенств ( ао ! ( —,, ! !)о ) ( — ",' ), Тем самым получено представление решения через комбинацию вектор- функций й=Р с ( соз — (х+ са!) — соз — (х — са!) Ра( ~,— р,с, (Гсоз — (х+ са!)+ соз — (х — со()~ т ялгаl !! .
ял ~ соз — ( Г+ — ) з!п — х 2а па ! з!ц — (х+ со!) + з!п — (х — со!) Гол, ял ! о 2 Г, лл . ал ... ( , О ,-а., (. ..О!) ялга Гол соз — ! з!п — х ! ! — р с з!п — ! соз — х Ь а Лл оо каждая из которых является стоячей волной. Тем самым мы покззали, что любое решение системы уравнений акустики, отвечаюшее достаточно гладким начальным данным !гл, ! 106 вводная часть и(х, О) = ю(х), р(х, 0)=ор(х) таким, что <р(0)= р" (0)= Р'(0)= р(()= р" (1)=ф'(7)=0 (это условия согласования началвных данных с граничными условиями и(0, Е)=и((, Е)=0), может быть разложено в равномерно сходящийся ряд по частным решениям — стоячим волнам. Обоснование метода Фурье для рассматриваемая задачи закончено. Теперь немного истории. Метод, который носит название метода Фурье, возник еше в 18 веке прн изучении уравнения, описывающего колебания струны.
Это уравнение точно такое же, какое получается, . если нз системы ди ! др — + — — =О, д! ро дх др ,ди дг + Росодл=0 исключить одну из неиавестных функций (например р). Так мы приходим к уравнению (3) В нашей задаче и(х, Е) удовлетворяет граничным условиям и(0, 1) = = и(Е, Е)=0. Этим же условиям удовлетворяет отклонение струны, закрепленной на концах. (В 2 5 мы поизучали уравнение такого же вида, как и (3), исключением не р, а и.) Изучая уравнение колебаний струны, йаламбер в 1747 году показал, что его общее решение имеет вид и (х, 1) = Ях — сД + 8 (х + со!). В 1748 году Эйлер выразил у, а через начальное отклонение струны ио(х) и через ее начальную скорость и,(х), получив формулу .о+о е ао (я+со!)+ао (х — сот) + 1 2 2со л — ооо которую мы теперь обычно называем формулой Даламбера.
Эйлер отм тил, что по смыслу задачи начальные данные ио(х), и,(х) могут быт заданы в виде двух произвольных кривых. йаламбер в 1750 году поспешил выступить против этого расш ренного толкования его идеи, тзк как он подразумевал, что и(х, непременно должно быть выражено через х, ! аналитически. В 1753 году 11аниил Бернулли из совсем других соображений пр шел к выводу, что самыми обшими решениями уравнения струн должны быть решения вида ял алсо и = ~~ аь з!и — х соо — (! — 1о), ! ! 107 митод ьярьи ап ди 1 др — + — — =О, д( ро дх др, ди дГ о одх= — +р с' — =О. На решениях этой системы с граничными условиями и(0, () =-и (1, 1) = 0 имеет место закон сохранения энергии: рои' (х, 0 + †, р'(х, 0 Рого 2 о =0 т.
е. линейные комбинации стоячих волн. Эйлер с этим не согласился. Он сомневался в возможности представления произвольной функции тригонометрическим рядом. В 1759 году Лагранж, изучая колебания уже не струны, а аппроксимирующей ее нити с нанизанными бусинками, и затем совершая предельный переход, подтвердил результаты Эйлера, с одной стороны, и результаты, близкие к результатам Бернулли, с другой. Однако большое количество предельных переходов, которые в то время, конечно, не могли быть проведены хоть с,какой-нибудь строгостью, дало основание Даламберу не согласиться с трактовкой вопроса Лаигранжем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
