1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если матрицы А, В, С зависят от х, у, 1, то дф д! ! дф Ро дх ! дф Ро ду ро о о дф дф д! 0 дф д! 87 ХАРАКТЕРИСТИКИ % а1 требуется, чтобы это условие было выполнено в каждой точке Ьх, у, 1) рассматриваемой области. Проверять условие гиперболичности для конкретных систем очень трудно. Однако есть один важный класс систем, когда такая проверка сушественно облегчается. Рассмотрим систему с симметричными матрицами А, В, С. Матрицу А предположим к тому же положительно определенной. Очевидно, что матрица Ю =$В+ т)С тоже будет симметричной при любых $, т). Известно, что любые две симметричные матрицы А, еЯ, одна из которых (в нашем случае А) положительно определенная, можно одним и тем же невырожденным вещественным преобразованием Т привести к диагонзльному виду 1матрица А при этом может быть переведена в единичную) О 1 Т "АТ= О 1 Рассмотрим теперь уравнение д$е1]]тА+$В+д)С)]=с)е1)]тА+Я]!=1де1]] Т]]] е де1]]тТ"АТ+Т'"ЯТ]] = т+Ьд О =1ое1]!Ти:Яйе1 '..
=О. т+ бп При любых вещественных $, т] оно имеет для т ровно и вещественных корней. Правда, у нас нет никакой информации об их кратности. Несмотря на это, системы вида с симметричными матрицами А, В, С, из которых А положительно определенная, обладают всеми основными свойствами гиперболических систем. Часть этих свойств будет нами в дальнейшем подробно изучаться. О и р е д е л е н и е. Система уравнений 88 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ называется симметрической 1-гиперболической системой (по Фридрихсу), если матрицы А, В, С являются симметрическими, а матрица А к тому же положительно определенной.
(Все элементы матриц А, В, С и компоненты правой части предполагаются, как обычно, достаточно гладкими функциями х, у, й) П р и м е р. Уравнения распространения звуковых волн, которые мы уже рассматривали, можно записать так: По сравнению с предыдущим примером мы первое уравнение разделили на расао, а два последующих помножили на ра. В матричной форме рассматриваемая система перепишется так: — 0 0 Расо О р,О О Ор, 1'р О 10 д д (,„, 001 р д + 000 д — „и 100 о )1о О 00 — соо у010 001 1 Расо А 11 р 11 В ~ 1 0 0 С вЂ” 0 0 0 о ОООО, 100 Ро удовлетворяют всем условиям только что приведенного определения и что поэтому уравнения распространения звука в использованной сейчас форме образуют симметрическую 1-гиперболическую систему.
Симметрические 1-гиперболические системы,,как это выяснится в следующей главе, позволяют построить некоторые важные соотношения, которым удовлетворяют их решения. Эти соотношения, обобщающие ззкон сохранения энергии для решений уравнений акустики или урав. пений Максвелла, носят название интегралов энергии. По существу вся теория симметрических гиперболических систем основывается на этих тождествах. Для системы А (х, у, Г, и) — + В(х, у, Г, и) — +С(х, у, 1, и) — =У(х, у, 1, и) (здесь А, В, С вЂ” матрицы, и — и-мерная вектор-функция) мы определили характеристики как такие поверхности 8, что вектор (т, $, т() — нормаль др ди — 2 — +— Расо дг дх ди Ро дг де РО ог Из этой записи следует, что матрицы де +~ — о, + — =О, др да + — =О. др дд= .
89 ХАРАКТЕРИСТИКИ б б! к  †удовлетворя равенству дет ( ТА + й В+ б)С '(= О. Ваметим, что это определение выделяет поверхности, которые не меняются при произвольном линейном невырожденном преобразовзнии множества искомых функций и при замене исходных уравнений произвольными нх линейными комбинациями. Именно, положим и= Те(Т= Т(х, у, 1) — невырожденная матрица). Тогда функции е будут удовлетворять системе А Т вЂ” + В Т вЂ” + С Т вЂ” =У~ А — +  — + С вЂ” ) е.
дб й~ дб I дТ дТ дТа дб дх ду (, дт дл ду) Замена уравнений системы их линейными комбинациями эквивалентна умножению системы слева на невырожденную матрицу Я. При этом уравнения принимают форму <тАТ вЂ” +ЯВТ вЂ” +ь)СТ вЂ” =ССТ вЂ” Я (А — +В д +С д ) ТА Если бы Я была вырожденной, то эти уравнения не были бы эквивалентны исходным.
Напишем уравнение характеристик для так преобразованной системы: дет !)тЯАТ+ ЩВТ+ т)ЯСТ(! =О. По теореме об определителе произведения матриц дет~~ ТРАТ+ "гЯВТ+т)ЯСТ)' =оет(! Я(ТА+ЕВ+т)С) Т)' = = де(()Я()йет(ТА+$В+т)С(пет( Т!). В силу неравенств бег'(Я(~ О, 4ет) Т(!ф О уравнение ое1 )! ТА+ ЕВ+ б)С(= О (3) эквивалентно уравнению с(ет'( ЯАТ+ д,тВТ+ т)ЯСТ!) =О. Утверждение об инвариантности понятия характеристик относительно невырожденных линейных преобразований множества искомых функций и относительно замены уравнений произвольными равносильными линейнымв комбинациями доказано.
Множество векторов (т, э, т)), удовлетворяющих равенству (3), очевидно, является конусом, так как с каждым вектором (т, й, б)) этому равенству удовлетворяют и все коллинеарные ему векторы вида (лт, л$, лт)). Конус, определяемый таким уравнением, называется конусом нормалей к характеристикам или, короче, конусоаг характеристических нормалей.
Если матрицы коэффициентов А, В, С зависят от,координат х, у, т, то и конус характеристических нормалей дет'(ТА(х, у, т)+ЕВ(х, у, т)+т)С(х, у, г))=О в каждой точке пространства (х, у, т) — свой. 90 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ Дадим еще определение характеристик в случае одного уравнения второго порядка А-~,-+2 — +С д,—— .Г(х, г, и, и„, и,). д«и д«и д'и Ограничимся только случаем двух незавйсимых переменных х, 1.
В случае большего числа переменных характеристики определяются совершенно так же. Перейдем к новой системе координат: ~р=<р(х, г), се=та(х, Е~, Э' ~ О. В этой новой системе координат уравнение запишется так [А( — ) +2В(дг) (д )+С(д ) ~д «+ дорда др да д~р да д~р дат д«и дГ дГ дГ дк дк дГ дк дк)дрда +[А(дг) +2В(дг) (д )+С(д ) ~~ —,,+ дават ди +С д ~/д — Лх~ (~ и и~ф~+г~~сг» и~фу+™«саг Предположим теперь, что на некоторой кривой задана функция и и все ее первые производные, Для нас существенно, что известна функция и и Дифференцируя их по а (то есть вдоль кривой), кривой ф = <рв = сопз$ нам как функции от са.
ди ее производная — . дф' мы найдем на этой ди д'и Уи да' дсгю дида' Теперь с помощью уравнения, если только называются характеристиками уравнения д'и д«и д'и А дм + 2В д~ дк + С дк« вЂ” — ~. А(дт) +2в(д —,)(д )+с(дд'") ~ьо, д«и мы сможем найти —. Кривые ф(х, г)=сопят, (Кгад ф Ф 0), на которых др. А( — ) +2В(д )( — )+С(д ) =О, (4) 91 ХАРАКТЕРИСТИКИ а в1 Карактеристики играют для одного уравнения такую же важную роль, какую они играют для систем. Так же как и для рассмотренных выше систем, прн определении характеристик для уравнения второго порядка равенство (4) можно ззменить эквивалентным ему соотношением Ата+ 2ВТ$+ СР =О, где (т, $) — нормаль к исследуемой кривой.
Если кривая ф(х, 1)=ф, является хзрактеристикой, то решение и удовлетворяет вдоль нее рзвенству дф да дв да дф да дф да1 д Гди' 2)А — — + — — + — — +С вЂ” — ) — ~ — )+ дг дг дг дх дх дт дх дх ) да ~дф, =у(х, 1, и, и фх+и,гхх; и„ф,+и„аг). ди Это равенство можно рассматривать как соотношение между и,— дф вдоль характеристики. Задача Коши для уравнения второго порядка ставится так.
Зада давая на некоторой линии ф сопя( значения и, —, мы должны подф ' стзраться определить решение в некоторой окрестности этой линии. Если кривая ф=сопз1 является хзрактеристикой, то ставить задачу Коши на ней нельзя. Задав и на кривой, мы сможем определить гт из соотношения на характеристика Свобода задания начальных данных снижается. Иногда, правда, достаточно на характеристике задать и, чтобы определить решение, но такую постановку задачи уже неестест- венно называть задачей' Коши. даи даи П р и ме р ы. 1. Для уравнения — — — =О характеристики опредм дха делаются равенством Общее решение уравнения -~ + — = О имеет вид ф = р (х — г), а общее дф дг дх Решение, аннулирующее другой множитель — — —, будет ф=ф(х+1).
дф дф дг дх ' Равенства ф (х — 1) = сопя( или ф(х+ 1) = сопв1 определяют два се- мейства прямых х.+ г=сопз1, которые и будут характеристиками рас- сматриваемого уравнения. даи д'и 2. Для уравнения Лапласа —,+ —, = О уравнение характеристик (-')' (')'= дх' дуа --) +1 — ) =О действительных решений не имеет. дг ) '1дх) 92 [гл.
[ ВВОДНАЯ ЧАСТЬ даи ди 3. Уравнение теплопроводности †= приводит к уравнению ха- дха дт Гдр~з рактеристик ~ — ) =О. Обшее решение этого уравнения ~р=<р(1), а ха- ~ дх ) рактеристики гу(г)=сопзг (1=сопв$) представляют собой прямые, параллельные оси х. Задача определения температуры для г) 0 по начальным значениям п(х, 0) представляет собой задачу с данными на характеристике. Именно поэтому здесь задается в качестве начального условия только одна функция, хотя уравнение теплопроводности второго порядка.
Начальная задача для уравнения теплопроводности не является задачей Коши, хотя такое название ей часто в литературе присваивается. Оказалось, что уравнения с частными производными естественно классифицируются по свойствам характеристического уравнении. Так было введено понятие гиперболических систем, которые мы уже определяли. Дадим еше определение эллиптических систем или уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
