1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 12
Текст из файла (страница 12)
р Раса Расо чтобы прийтн к системе уже разобранного вида ди, ди, — +с,— =О, дт дх диа даа — — со — = О. а д» Об1цее решение такой системы имеет, кзк мы знаем, вид и, =Ях — со'а), и, = а(х+ соа). Вырзжая им и через и, р, получаем и+ — =д(х — со1) и — — =й(х+ соГ) Р Р Роса Роса или, окончательно: У(х-саб+й(х+саб )(х — сат) — з(х+сой и= 2 Р= роса 2 Эти формулы дают представление общего решения уравнений распространения звука. Пусть нам известно распределение давления р н скорости и в начальный момент т=0 на некотором интервале хт(х(х.
Нак мы уже видели, вто начальное распределение однозначно определит решение з характеристическом треугольнике, опирающемся своим основанием на интервал (х„х ). Этот треугольник определяется неравенством Г)0, соа ) хт хо+ соа ( хо. Величины и + — носят название римановых иквариактоз, по Р Расо фамилии немецкого математика Римана, который ввел ия а аналогичном, ио более сложном случае. Формула и+ — =у(х — с Г) Р Роса показывает, что распределение итого риманова инварианта перемещается без искажения формы вправо со скоростью со. Это дает основание для того, чтобы назвать величинУ со скоРостью РаслРостРалсниЯ воЗмУ- аасиид звуковых волн или, короче, скоростью звука. )гл. г ВВОДНАЯ ЧАСТЬ Аналогично, формула и — — =й(х+ со4) Роса показывает, что распределение этого, . Другого риманова ииварианта перемешается без искажения влево, опять-таки со скоростью звука с,.
Подберем функции г, л так, чтобы решение, даваемое полученныии выше формулами, удовлетворяло начальным данным: и(х, 0)=и), о=ар(х), р(х, 0)=р(,„о=ар(х), заданным на отрезке х, (х -х,. Очевидно, достаточно положить: ) (х) + д (х) ар (х) г"(х) — и (х) Р со Отсюда г (х)=аР(2)+ —, й(х)=ар(х) — —, ф (х) ф (х) Раса ' Расо ' Р а) (х — саг) и + — = ар (х — соР) + Раса Роса и — — =ар(х+соР)— Р а) (х + сос) Росе Росе Теперь нетрудно получить формулы и— ар (х — со)) + ~Р (х+ со)) а) (х — сат) — ар (х+ сой + 2 2расо ар (х -саг) (- а) (х-1- соб ~Р (х — саг) — е (х+саб 2 +р,с 2 а дающие решение так называемой задачи Коши для уравнений акустики.
Задача Коши для системы (1) ставится так: гнребуется найти ре- шение системы (1) ло заданным начальным данным и (г а —— ~р(х), р(, о=ар(х). Приведенные выше рассуждения позволяют обосновать как существование, так н единственность решения задачи Коши внутри характеристического треугольника. Часто вместо системы уравнений первого порядка ди 1 др — + — — =О, д) ро дх др , дя — + расо — 0 дт дх рассматривают уравнение второго порядка для давления р даР а д'Р— с', — =О, Шо дха 63 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ о а1 которое получается, если первое уравнение системы продифференци.
ровать 'по х, а второе по Г, а затем исключить из них смешанную д'и производную —. Это уравнение второго порядка обычно называется дхдт ' уравнением малых колебаний струны, так как такой же вид имеет уравнение, описывающее колебания натянутых нитей — струн. Именно, в связи с исследованием колебаний струн оно и появилось впервые в матемзтических исследованиях. Это уравнение может быть переписано в следующей форме: ( — — со — ) ( — +с — ) р=О.
Обозначив через р выражение — + с, —, мы приходим к системе пердр др д( дх ' ваго порядка, эквивалентной этому уравнению, др др — +со — =Ч д( дх до дд — — со д- — — О. Второе из уравнений системы имеет общее решение о)=0(х+ с~() = 2со8' (х+ с Г). (В дальнейшем нам будет удобно второе обозначение произвольной гладкой функции 0 через производную некоторой другой функции л.) Уравнение для р — + со д — — 2»ой'(х+со~) др др может быть переписано теперь так: д(р — а(»+со()] д(р — р(»+со()) д( +со дх — — О, что позволяет выписать его общее решение р — л(х+ со() = Г(х — со(), р(х, 1~ =~(х — со()+ 8'(х+ со().
Последняя формула, по-видимому, впервые была найдена Даламбером (1747 г.) В 1748 году Эйлер выразил 7", л через значения при ( 0 функций р(-»' г) рг(х~ г). р(х, 0)=*<р(х), р,(х, 0)=ф(х). (2) Это привело его к формуле к+ ги р (»+со()+~р(х — с О + 1 2 2»о к-а,о 64 1гл. т ВВОДНАЯ ЧАСТЬ которую часто тоже называют формулой Даламбера, несмотря на то, что Даламбер считал ее незаконной.
Однако название установилось, и мы будем его придерживаться. Эта формула дает решение задачи Коши для уравнения — - — с' — = О. дкР дер дса ' дкк Для этого уравнения второго порядка задача Коши ставится так: требуется найти решение, удовлетворяющее начальным данным (2). Чтобы получить формулу решения задачи Коши, мы должны функции у, я в представлении общего решения Р(х, т)=У( — ьг)+й(хс+ сьг) определить из условий ,У(х)+я(х)=р(х, 0)=ф(х), — с,р'(х)+сея'(х)=р,(х, 0)=ф(х).
Продифференцировав первое равенство, приходим к системе уравнении для производных У', йс, которая решается так: у'( )= —,ф'( ) — +ф( ) й'(х)=-2ф'(х)+ 2с ф(х) 1, 1 Интегрируем вти равенства: к у«)=-,ф«) — — „, $ ф(й)~~+, 1 1 кв к й(х)= —, ф(х)+ — „~ ф(с) б$+Ь. кв Здесь хь — произвольная твчка ив области задания начальных данных, а и Ь вЂ” постоянные интегрирования. Однако зти постоянные не независимы. Из равенства У(х)+й(х)=ф(х) заключаем, что Ь= — а. Итак: р(х, 1)=,((х — сь1)+й(х+сьг)= к — с,С се ~ ф(еь)йаь+а ке к+ свг -«(ев'"с — ', ~ ввп —.1 кв к+си ф (к+себ+ф (к — ссб 1 2 2с к -сеВ Формула решения задачи Коши обоснована. бб ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ а 51 Мы уже показывали, что для системы (1) существование и единствен.ность решения задачи Коши могут быть получены при выводе.
явных формул решения. Однако обычно для' доказательства теоремы единственности пользуются соображениями, связанными с законом сохранения энергии. Покажем, как провести доказательство, основанное на этих соображениях. Помножим первое из уравнений системы ди 1 дР— + — =О, дГ Ро дл др, ди — +р с — =О др дя на множитель раи, а второе — на множитель —,. Сложив результаты, Р Расо придем к тождеству д~яо ( 2 +2 рср)] д и Из этого тождества следует, что по любому кусочно гладкому замкнутому контуру па ра — (р, — + — ~р 21х+ ри гас = О.
2 2Рсо! Это интегральное равенство носит название закона сохранении энергии для гладких решений уравнений распространения звука. Чтобы пояснить название «закон сохранения энергии», применим наше интегральное тождество к прямоугольному контуру АВСОА, изображенному на рис. 22. Мы получаем равенство г В ~( Т+ —,'„',;) -=1( Т+ ра г г Рр В + —,122х + рп гИ вЂ” Рп арр.
2Расо р ! в ца ор ' Юр хс х В этом равенстве ра — Ых изображав 2 Рис. 22. ет кинетическую энергию газа, зав Г Ра ключенного при хтс х(хя в начальный момент Го; — «Ь — по- ~ 2Р222 0 па ра ...- ° .р„...* ° -, и,р ~ (р, р- — ) ив а 2 2рс'1 Е С. К. Годунов 66 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ О С полная энергия в момент времени Тм Разность риЖ вЂ” риЖ представляет собой работу, совершенную над газом аа интервал времени Ио «т) После этих пояснений должно быть понятно, почему наше интегральное тождество естественно называть законом сохранения энергии (или интегралом энергии).
Покажем С теперь,, как закон сохранения энергии можно использовать при доказатель- Р ~1 стае теоремы единственности. 6--------- Будем задавать начальные данные и),,=<р(х), р), а=ф(х) на отрезке АВ(х,~х(хя) оси х при т'=О. Единственность решения мы будем до- А казывать (см. рис. 23) внутри характе- 0 .г 7 лг,т рнстического треугольника АВС, ограниченного слева и справа характеристиРис.
23. ками АС (х — саг = х,) и ВС (х+ сф = =хя). Пересечем этот треугольник отРезком РЯ пРЯмой (=гт, а ззтем к контУРУ АВГ.тР пРименим интегральную форму аакона сохранения энергии: о в о -)[( Ж)'"-"')+Ы Ф вЂ” ")'"- ") в Рассмотрим подробнее интеграл ~(р — + — ) г( — рп г(т1. Так как этот интеграл берется вдоль характеристики е — сит=сонат, то Их=сил«г, а следовательно, его можно записать еше так: я [(р,— ",'.« ") .а — р.а)-~~~ (,— — ') а~о. Мы доказали неотрицательность интеграла по отрйзку характеристики АР. Аналогично, пользуясь вдоль ВЯ равенством Ых= — сии, можно убедиться в том, что о [(«,— ", -«,',) а — р.а)- — '~ ~ (, « ~'а~ ° .
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Из доказанных неравенств и из интегрального тождества закона сохранения энергии вытекает: в Если при Г=О мы имеем р=О, и=О, то (Ро о + ~— о) '(л ~ О р дН„ дй со дГ дх ' и дН, дд (4) со да дх ' е дЕ„ дН, со дт дх ' е дЕ» дНу со дГ д» (б) (6) Здесь Н, О, — компоненты вектора напряженности магнитного поля, Е, Е, — компоненты напряженности электрического поля. Постоянные коэффициенты р, в — магнитная проницаемость и диэлектрическая постоянная. Компоненты Е Н„ в уравнениях, описывающих распространение плоских волн вдоль осях, отсутствуют. В этом случае говорят, что электромагнитное поле поперечное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
