1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ясно, что функцию и(х, Г) надо предполагать дГ дифференцируемой. Вместо слова «дифференцируемая» мы будем употреблять слово «гладкая». Более точно — слово «гладкая» означает, что рассматриваемая нами функция имеет столько производных или даже непрерывных производных, сколько нужно для законности тех выкладок или рассуждений, которые мы собираемся проводить. Этим термином мы будем и в дальнейшим часто пользоваться. Итак, вычисляем производную — вдоль некоторой прямой †„ = 1: ди дт Ыи ди ди дл ди ди дГ Г+ х + л' дГ дГ дх дГ дт дл ' Из формулы для этой производной видно, что уравнение — + — =О означает постоянство и(х, Г) вдоль каждой из прямых дГ дл ~И вЂ” а=1.
Конечно на разных прямых эта постоянная может быть раз- Э личной. Таким образом, значение и(х, Г) в точке (х, Г) зависит лишь от «номера» той прямой, на которой лежит точка, т. е. и(х, г) = = у(х — Г). (Значение х — 1 является «номером» прямой.) Ясно, что для ди ди того чтобы у функции и(х, г) сушествовали производные — ,— надо, чтобы функция У'($) была дифферен- Ф цируемой. При этом — '" = — У'(х- ), дт — =У' (х — г). дл Отсюда ясно, .что любая гладкая г дает решение уравнения У ди 'ди — + — =О. дГ дл Рис.
14 Мы говорим, что формула и=Г(х — Г) дает общее решение этого уравнения. Теперь мы уже можем перейти к обсуждению тех задач, которые разумно ставить для этого уравнения. Под задачей мы понимаем совокупность дополнительных условий, которые надо задать, чтобы выделить какое-либо конкретное решение. Рассмотрим опять полоску прямых х — Г=сопз1 на плоскости (х, Г). На рис. 14 мы дополнительно изобразили некоторую кривую Т, которая с каждой из прямых х — с=сопя( пересекзется только в одной точке. Пусть Т задана в параметрическом виде х=й(э), г=т(е) и пусть вдоль этой кривой задана функция Ч~=Ч (э).
9И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ УРАВНЕНИЯ 67'( Ясно, что мы можем на прямых нашей полоски так определить ди ди функцию и=и(х, 1), удовлетворяющую уравнению — + — = О, чтобы д( дх в точках кривой у она принимала заданные значения ф=ф(а):и! =ф./ Действительно, решение должно иметь вид и= ?(х — 1). Вид функции ?" может быть определен следующим для каждого значения х — 1 величину з из уравнения Это а отвечает точке пересечения прямой х — 1=с по нашему условию, единственно.
После этого полож Можно доказать, что если Й(з), т(а), ф(з) являются г (Й'(а) — ъ'(з) ~ь 0), то построенная нами у(х — 1) то а следовательно, она даст решение изучаемого уравн Уп р ажи ение. Из неравенства $'(э) — т'(э) фО вытекает, что кюглая из прямых х — Г=сопэ1 пересекается с кривой ие более, чем в одной точке.
Докажите это. Мы сейчас не будем аккуратно проводить доказательство теоремы существования. В дальнейшем эта теорема нами будет доказана совсем другим способом, который, правда, не столь нагляден, но зато допускает далеко идущие и очень важные обобщения. Рис. 16. Рис. !5. Наглядные соображения, приводимые сейчас, нужны для того, чтобы как можно скорее и проще подойти к предварительной формулировке основных фактов из теории одного важного клзсса урзвнений математической физики. Вернемся к нашей задаче. В качестве кривой у мы можем выбрать отрезок оси х или отрезок оси 1, как это показано на рисунках 1б и 16.
Можно даже (рис. 17) выбрать в качестве кривой у примыкающие друг к другу отрезки оси х и оси 1. Правда, при этом придется специально позаботиться, чтобы элементы функции ф (э), заланные на отрезках АО и ОВ, определили функцию 7(х — 1), которая дифференцируема на прямой х=(, проходящей через точку О.
Вопр ос. Каким условиям должны длв этого удовлетворять элементы ~р(а) на отрезхах АО и ОВ? 1гл к вводная часть А вот такие отрезки' осей х, 1, какие изображены на рис. 18„ использовать для постановки задачи нельзя, так как здесь есть прямые х д*=сопа1, которые встречаются как с отрезком АО, так и с отрезком ОВ.
Вдоль каждой из прямых х — 1=сопа1 значение п(х 1) является постоянным, а следовательно, значения ф на отрезке ОА задавать произвольно нельзя. Они однозначно определяются после задания ф на ВО. Рис. 17. Рвс. 1В. Теперь. остановимся на вопросе о единственности решения. Предположим, что мы задаем значения ф(э) на отрезке АВ оси х. Решение, определится и притом однозначно внутри полосы, образованной прямыми х — 1=сопз1, пересекающими отрезок АВ. Если мы продолжим гладким образом ф(э) на больший отрезок ад (рис. 19), то мы сможем построить решение в более широкой полосе, границы которой помечены пунктиром. Так как такое продолд жение ф(э) может быть выполнено многими способами, то и решение в нашей более широкой полосе заданием ф(г) на отрезке АВ определяется неодноэнзчно.
Полоса, образованная прямыми и А х — 1= сопя(, пересекающимися с Рис. 19. АВ, является областью единствен- ности. Разберем еше случзй, когда в 'качестве кривой у выбран отрезок АВ одной из прямых х †1=со(, например, прямой х †1 (рис. 20). Е этом случае ясно, что ф (з) произвольно задавать нельзя, так как ди «1т=ф(э), а с другой стороны, вдоль отрезка у производная — ='О, откуда следует, что функция ф(э) должна быть выбрана постоянной. Иначе задача дг + Зх и'„=ф(э) ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ $ а] не будет иметь никакого решения: Если же мы выбрали гр(а)= ф, = = сопя1, то задача будет иметь решение и=1(х — 1), где функция г'(в) подчинена только условию 1(0) = фм а в остальном — произвольна.
Область единственности в этом случае как бы стягивается в одну прямую х — 1=0. Мы видим, что выбор кривых у, на которых разумно задавать дополнительные условия, не может быть произвольным. Нам надо учитывать расположение у отиоситегчьно прямых к — 1=сопз1. Эти прямые носят название характеристик уравнения ди ди — -+ — =О. Мы пока не дзем взжному подт дх нятию характеристики какого-либо общего определения. Такое определение будет дзно в следующем параграфе. Теперь же нзм будет достаточно того качественного описания, которое мы разобрали.
В дальнейшем, как правило, мы будем в д м кзчестве кривой у выбирать отрезок оси х и Рис. 20. ди ди разыскивать решение уравнения — + — = 0 д1 дх в характеристической полосе, опирающейся на этот отрезок, только для времени 1 ) О. Дополнительное условие и)т= ~р(з) в этом случае естественно называть начальным условием или начальными данными. ди ди Ясно, что все расскззанное для уравнения — + — =0 может быть д1 дх 'ди ди почти дословно повторено и для уравнения — +а — =О. Его общее д1 дх решение записывается в виде и = 1(х — а1), откуда видно, что роль прямых к — 1=сопз1 в этом случае будут играть прямые к — а1=сопз1, ди ди которые мы будем называть характеристиками уравнения — + а †„ = О. дГ дх Разберем теперь более сложный пример системы < див дия — + аа — =О, дг дх состоящей из двух независимых уравнений. Решение первого из уравнений системы имеет вид и, =у(х — ат1). Решение второго: и, =а(х — а 1).
Зададим для нашей системы начальные данные на отрезке АВ оси к (т е. при 1=0). Отрезок АВ по-прежнему будем обозначать через у: и, (,=ф(к), и, („=ф(к). На рис. 21 изображены на плоскости (х, 1) те полуполосы (1~0), которых мы можем определить значения ит(х, 1) и ия(х, 1). Для !гл, ! ВВОДНАЯ ЧАСТЬ 10 большей нзглядности, мы выбрали различными знаки коэффипнентов ам а (ат) О, ао(О).
Ясно, что говорить о решении системы имеет смысл только внутри треугольника АВС, являющегося пересечением (в теоретико-множественном смысле) обеих характеристических полос, опирающихся на отрезок АВ; только внутри этого треугольника д' решение будет определено однозначно. Прямые х — а,1=сопа1, х — ая1= =сопа1 естественно назвать харахтпебр рпстихамп рассматриваемой системы, а треугольник АВС, ограниченный характеристиками, характеристическим й А У д и треугольмпхоль Рис. 21. Пример системы, который мы сей- час рассмотрели, может показаться надуманным. Поэтому мы продемонстрируем, как к этому уже изученному случаю может быть приведена существенно более сложная, на первый взгляд, система ди 1 др — + — — =О, дт Ро дх др , ди — +р с,— =О.
дг о дх Эта система описывает распространение плоских звуковых волн (малых возмущений) в покоящейся среде. Здесь и — скорость возмущенной среды, а р — давление в этой среде. Постоянные ро, со связаны со свойствами покоящейся среды: ро — ее плотность, а со — постоянная, характеризующая сжимаемость. Уравнения (1) называются также уравнениями ахуслгпхи. Вывод этих уравнений можно найти в курсе физики или механики сплошных сред.
Мы сейчас покажем, что систему, описывающую распространение звуковых волн, можно несложным преобразованием и переобозначением переменных привести к тому простейшему виду, который уже был нами рассмотрен. Для этого умножим второе уравнение на 1/роса. Полученное равенство д— — +с,— =0 Рого М дл прибавим к первому уравненйю ди ! др — + — — =О. дГ Ро дл В результате получим равенство д(и+ ) д!и+— дГ а дк гипигволичискии вглвниния В1 Если сложение равенств заменить вычитанием, то получится другое аналогичное уравнение: д(и — Р ) д(и — — ) да — со дх Теперь нам остается только обозначить и+ — =ий и — — =и„ р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
