1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 6
Текст из файла (страница 6)
~~ 1 Г 1 11 Лг 2и ~ )(в — 2)!рсоа(0 — в)-1-р' 2н ) и 1,) г — (х+(у) В этом равенстве г — (х+ (у) берется по замкнутому контуру — окружности радиуса Й с центром в начале координат, точка л+ !у лежит внутри этой окружности. и записать 2я 2я "(~ У)=' 2п $2(6)ю(6+2Ве ~у(8) о 1 2п г (9)в(9+2 хе!а ло А)е2 — (х+ !У) ое 1 С )(О) )1еваЛО )ге!а ,! !гл. ! ВВОДНАЯ ЧАСТЬ Поэтому — = 2п1, дг г — (х-1- !у) а следовательно, й(9= — 1+ — Ке —. 2н1= — 1+2=1. 2л 01 Кй — 2йрсов(0 — вй)+уй л хп Формула Пуассона и доказанные сейчас свойства ее ядра будут в дальнейшем играть важную роль при изучении решений уравнения Лапласа. Приступаем к обоснованию формулы Пуассона. Проверим, что.
2л г Яй — хй — уй '.!) 2л ~ Кй — 2)1(хсовз+ув)из)+ха+уй .1(8) й(9 гармонична при ха+уй ( Кй. В самом деле, подынтегральная функция — непрерывная и, более того, аналитическая функция переменных х и у, если только ха+уй(йй. Следовательно, функция и(х, у) непрерывна внутри круга, и законно формальное дифференцирование . интеграла. Воспользовавшись представлением (1), имеем Уи дйи 1 Р Г1 дй дй ) )1е'в — + — = — у(8)~р — + — ~Ке м 1й16=0, дх' ду' л ~ Ь[, дх' ду' ) йе' — (х+)у)1 так как действительная часть аналитической функции Йе' 1[Ке' — (х+(у)] является гармонической внутри круга функцией. Докажем теперь, что при непрерывной 1(8) функция и(х, у) непрерывна вплоть до границы круга и принимает там значения 1(9): и(К сов 6, Ка!п8)=1(8).
Для доказательства представим разность и (х, у) — 1(а) = и(с1) †у(а) в следуюшем виде: и (я) — у'(а) = гл 2л 1 пй рй 1 ( )1й — рй 2л ~)12 — 2Ррсов(0 — вй)+уй~( ~ 2л ) Яй — 2йрссв(0 — вй)+рй 9д8 с(9 = 1 Г )йй рй =2л ~ йй — Мус (0- )+уй [У(') — У(а)] "8= 1 Г Яй рй )(й — 2Кр сов (0 — вй)+ * [У(8) 1(~)] Л9+ ~в — 'а~<в 1 Г )йй уй — + — „1 лй +, [у(8) — 1(а)]й(9=12+12. !в — а( а $2! ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ 21 сь мы воспользовались соотношением (3) и обозначениями х=р соз ю, десь м у=ргйпю координат точки ь/.
Оценим по отдельности каждый из интегралов /д и 1. Так как /(О) — непрерывная функция, то по произвольному з) О можно выбрать 6(з)) О такое, что !1(0) — /(а)/( — при !8 — сд!(6. В силу соотношений (2) и (3) получаем оценку первого из интегралов: !1 /( з . 2 ' Фиксируем выбранное 6' »О и приступим к оценке интеграла 1. Ввиду того что функция /(8) ограничена ()/(8))(М), имеем рд-р б ва л,) рд — 2/!рссв(З вЂ” Зд)+рд ' !6 — а! 6 Обозначим посредством ив точку с координатами Йсозсд, )сз)пгд, а посредством Р— точку с координатами й соя О, Йа)ВО для тех О, для которых ) 0 — а~)6.
Рассгояние между точками 616 и Р больше поло- 8 жительной постоянной 1=2)д з)п — (см. рис. 3). Так как знаменатель 2 подынтегрального выражения равен гя (с/6, Р) — квадрату расстояния между точками 616 и Р, то для всех точек отстоящих от !й меньше, чем на 1/2, г'(Р, дг))(1/2)2 и, следовательно, для зтих точек ве Рд — 2РР соз (З вЂ” ы) -)-рд !В-а!Лв 2л 8л ( 2 2 (!Уд !' Для таких точек ~1.~ < — „— „— „(/( — р) /!2 — рд 8л )ОА'М Рис. 8. Так как )т' — р не превышает расстояния между точками )и' и яа, то для точек (е ив кругз, отстоящих от Я меньше, чем на бд (в) =*- = Ш)П[ —, 2 ° )ОРМ !, гле 1=2/д' в)п —, справедливы оба неравенства )1д!(з/2, (12!(з/2.
Следовательно, для этих точек !и(ьг)— ./(ш) ! ( з. Таким образом, и(х, у) будет непрерывна в точке х=/с соз а, у=/дз)па, если ее доопределить в этой точке значением / (а). НепреРывность и(х, у) внутри круга была доказана раньше. Тем самым мы показали, что можно внутри круга построить такую непрерывную вплоть до границы гармоническую функцию, чтобы на г Ранице она принимала заданные непрерывные значения. Задача вос- гвдановления непрерывной гармонической фуннц!аг по ее граничным 28 [гл.
! вводнАя чАсть значениям на аранице некоторой оараниченной области называется задачей Дирихле. Докажем единственность решения такой задачи. Пусть у нее оказалось два решения ит(х, у), их(х, у). Тогда их разность тоже будет непрерывной и гармоническая и будет обращаться на' границе в нуль. По принципу максимума- О = пц'п и ~ и (х, у) ( шах и = О. Следовательно, и(х, у) = и,— их ж О.
Единственность доказана. Для произвольной области разрешимости задачи Дирихле может и не быть. Изучением условий разрешимости задачи Дирихле мы будем много за. ниматься в дальнепшем. А пока в следующем параграфе рассмотрим некоторып класс задач математическоп физики, связанный, например, с процессами теплопроводности. Из этого, в частности, выяснится з пример физически осмысленной задачи, которая приводится к задаче „ Дирихле. В 3. Уравнение теплопроводности Вывод уравнения теплопроводиости. Задача Лирихле как задача определеияя стаииоиариого распределения температуры по заданной температуре границы ' области.
Постановка задач для одномерного уравнения теплопроводиости. Принцип максимума для этого уравнения. Теоремы единственности задач 1 и 2 для урав-., нения теплопроводиости при различных предположениях о решении и о начально», функции. Кратко наметим вывод уравнения теплопроводности из физических соображений. Среда, в которой мы будем рассматривать процессы теплопередачи, должна характеризоваться так называемым калорическим уравнением состояния Е=Е(Т) плотностью р р(х, у, г) и коэффициентом теплопроводности К=К (х, у, х). Здесь Т вЂ температу, Е (Т) †внутренн энергия тела, заключенная в единице массы, если эта.
масса нагрета до температуры Т. Можно рассматривать среду с тепловыми свойствами, меняющимися от одной точки пространства к другая, В этом случае уравнение состояния имеет более общип вид Е = = Е (х, у, х, Т). Количество тепла, заключенное в бесконечно малом объеме Ьх Ьх ха 2 ~хатха+ 2 У ~У~У + бд бу Ла ах Хв 2 ~ ~~в+ 2 в момент времени г рзвно Р (хо Уо хо) Е (хо Уо хо Т(г)) схх !)У сгх уРАВнение теплОпРОВОдности Изменение этого количества тепла за время гьг будет равно ртху уу з) ' ' ' Л/бхЛуггз. д Здесь К вЂ” коэффициент теплопроводности в точке.
череа которую мы дТ провели нашу бесконечно малую площздку, а — — производная темпедл ратуры по нормали к площадке. Тепло течет из области более высоких температур в область более низких. Приведенная формула для потока тепла представляет из себя закон теплопроводности Ньютона в изотропном теле. Этот взкон является результатом систематизации большого количества опытных фактов. Выпишем потоки через площадки х=х -+ ггх/2, у =уь ~ гьу/2 е= за + Лз/2,, ограничивающие наш объем.
Количество тепла, втекающее через площадку х=ха+Ох/2, равно + К (хг+ —, У„зг~ — М ЛУ ~з, Ьх ~ дТ 2 ' ' г/ дх х=хг+ьх!а У= Уг *=г, а через площздку х=х,— /ьх/2 и (хо ° уо о) Л/ Лу /гю х =.гг — Ьхаг У У г=гв В результате общее количество тепла, вошедшее в наш объем через Это изменение может произойти только за счет того, что тепло выте„ает или втекает через границу выделенного нами объема, если мы предполагаем, что никакого выделения или поглощения энергии не происходит. Кол чество тепла, протекающего через равно ~ГЛ. 2 ВВОднАя чАсть зо эти две площадки, будет К(ХО+ 2 УОе О) д„ х ха 1 Ьх/2 У=ге г= ге Ь«22 х=х,— Р=о« «=ге (к — ") д дг Лх ваг Лу Ьа.
х = «а у-ж г = ге [д( дт1 У = Ув гв [- — ~К вЂ” )1 Лх Ьу ла М. Р=У. г=г, Суммируя все притоки тепла и приравнивая их сумму изменению внутренней энергии, получаем [ д (К дТ) + д (К дТ)+ д (К дТ)1 22хбуеаа222= Сокращая обе части этого равенства на ЬхЬуЬаЫ и замечая, что' точка (хо, уо, «о) может быть выбрана произвольно (поэтому индекс ноль может быть опущен), мы приходим к окончательной форме ура пения теплопроводности Предположения про входящие в него функпии следующие: р>о, — >о, к>о.
дЕ дТ Эти предположения представляют собой обобщение опытных фактов. Аналогично, количество тепла, которое за время дет просочится в наш обьем через площадки у уо + Луге2, я=хо о Лз!2, равно, соответ-' ственно, уРАВнение теплОпРОВОднОсти з в1 Иногда уравнение теплопроводности записывают в виде дЕ о овна бозначив через С(х, у, е, Т) выражение р —,. Величина С по вполне понятным причинам называется теплоемностью (единицы объема).
Если теплоемкость С и коэффициент теплопроводности К не зависят от Т, х, У, е, т. е. ЯвлаютсЯ постоЯнными, УРавнение может быть пеРеписано так: коэффициент — принято называть ноэфф«пиентом температуро- К С лроводности, Интересно рассмотреть случай стационарного распределения темпе- / дТ ратуры ~ — = О1, глы видим, что если К=сопят, то стационарное рас- ~ дв пределенне температуры описывается решением Т(х, у, г) уравнения Лапласа: дьТ дьТ дьТ вЂ” + — + — О. дхь ду' дав Задача Лирнхле для этого уравнения состоит в отыскании распределения температуры внутри некоторого тела по известным значениям Т иа границе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
