1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Отсюда, в частности, вытекает, что ньютоновский по. тенциал конечного тела постоянной плотности ро удовлетворяет внутри этого дзи доп д'и тела уравнению — + — + — =. — 4про, а вне тела — уравнению Лапласа. дх' дуо дго ф 2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге Принцип максимума для гармонических функций и теорема единственности для убывающего на бесконечности ньютоновского потенциала. Понятие о лога. рифмическом потенциале на плоскости.
Аналитические и гармоническае функции двух переменных. Некоторые специальные решения уравнения Лапласа и зари. сгический вывод формулы Пуассона для определения гармонической в круге функции по ее граничным значениям. Различные варианты записи втой формулы и некоторые свойства ядра. Обоснование формулы Пуассона для решении уравнения Лапласа. Постановка задачи Дирихле. Теорема единственности решения задачи Дирихле. Существование решения.
вытекает из обоснования формулы Пуассона. Докажем одно важное свойство решений уравнения Лапласа доп дои оаи дьл + д, + д, — — О, котоРые называютса гаРмоническими фУнКЦиЯми. Теорема о максимуме и минимуме (принцип максим ум а). Гармоническая функция и(х, у, «), непрерывная на некоторой замкнутой ограниченной области 0=0() Г и имеющая внутри этой области первые и вторые производные, не может- внутри этой области принимать значения бдльшие, чем максимум ее значений на границе Г, и меньшие, чем минимум ее значений на Г. Обозначим через т максимум значений и(х, у, «) на Г и предположим, что максимальное значение и равно и(хо, уо, «о) =М) т. (Точка (хм уо, «,) предполагается лежащей внутри 0) Составим вспомогательную функцию о=и(х, у, «)+ —,((х — хо)з+(у — у )'+(« — «)'1, где й — диаметр области О.
Из неравенства (х хо) +(у уо) +(« — «о) ~" ~гл, з ВВОДНАЯ ЧАСТЬ 20 вытекает, что на Г Ф(х У г) — т+ — ззз= — (М. М вЂ” т М+т В то же время о(х, у„г,)=и(х, у„г,)=М. Отсюда следует, что максимум е(х, у, г) внутри О не лзеньше, чем М, а следовательно, больше', чем максимум э на Г.
Этот максимум дости- гается, очевидно, в некоторой внутренней точке (х, у, г) области О. В точке максимума, как известно, дх ду дх ' дхв ' дув в а следовзтельно, дз+ да+ дхз ~0 д'о д'о две Однако д'о д'о дЪ д'и дзи дви М вЂ” т( У У, Ф ) дхз дуз дзз дхз дув дхв 2дз ( дхз дуз дгз [ Х [(х — х)в + (у — у )'+ (г — г)з [ = 0+:, [2 + 2 + 2[ ) О. Полученное противоречие показывает абсурдность предположения, что М)т. Итак, мы доказали, что внутри 0 и (х, у, г) ~ шах и [г. Бля доказательства неравенства, ограничивающего и(х, у, г) снизу и (х, у, г) ~ пп'и и [г, достаточно применить уже полученный результат к функции — и (х, у, «), очевидно, тоже являющейся гармонической. Теорема о максимуме и минимуме доказана.
В дзльнейшем мы будем часто пользоваться теоремой о максимуме и минимуме для двумерных решений уравнения Лапласа: — — 0 дхз дув Такие решения тоже называются гармоническими функциями. Доказательство принципа максимума в двумерном случае полностью аналогично доказательству, приведенному выше. Покажем теперь, что ньютоновский потенциал — единственное реше- ние уравнения Пуассона —, + —, + —, = — 4нр (х, у, г), стремяшееся к нулю на бесконечности.
2! действительно, если и,(х, у, «) и и,(х, у, «) — два решения этого „равнения, стремяшиеся к нулю при х +у +«'-~со, то их разность. анже стремится к нулю и удовлетворяет однородному уравнению— уравнению Лапласа: дол ' дои дои + — + — =О. дк* дуо д,, — .
теперь достаточно применить принцип максимума к функции и в шаре радиуса гс с центром в начале координат. Получаем, что )и(хо, у,, «о)(( шах ~и(х, у, «)~ к'+ О'+к' й' для любой точки (хо, уо, «о), лежашей внутри шара. Фиксировав точку (х„у„«) и устремляя )т к бесконечности, приходим к равенству и(хо уо «о)=О. В нашем курсе мы будем изучать уравнение Лапласа только в двумерном случае. Гармонические функции двух независимых переменных встречаются в теории функций комплексного переменного. Известно, что аналитическая функция и+!о от х+!у удовлетворяет уравнениям Коши — Римана ди до ди до — — — =О, — + — =О. дк ду ' ду дк Из этих уравнений вытекает, что дои дои д /ди до! д /ди до! + = ~-- — ~~+ — ~ — -+ — ) =О, дк' дуо дк ~ дк ду г' ду 1, ду дк ) Закономерность этих выкладок обосновывается тем, что и+ Вл как известно, является бесконечно дифференцируемой функцией от х+!у, откуда с помощью уравнений Коши — Римана нетрудно обосновать суШествование и непрерывность вторых производных от и, о.
В частности, из 'того, что (.п(х+!У)=!п)~ хо+уз+!Агс(Я вЂ”" валяется аналитической функцией при хо -1-уо ) О, следует гармоничность функций 1п~' хо+уз= — !и, Агс1я У, Г' ко+ уо к Первая из этих функций играет в двумерном случае роль, анало"ную функции . !д/(х — х,)'+(у — у,)'+(« — «)' в трехмерном слу' о - -'. оу--. ( . и- ~ ~ о о. ы ~ ! ЫаИ, о- 4' 4. о -о' (гл д ВподнАя чАсть называемая логарифхдичесиим потенциалом, удовлетворяет уравнению д'и о.и — + — = — 2пр(х, у), дхф дрд если р(а, Ь) — гладкая функция, отличная от нуля только в конечной области. Воказательстао мы проводить не будем. Отметим только, что оно аналогично разобранному нами трехмерному варианту исследования ньютоновского потенциала.
Правда, логарифмический потенциал, распределенный в конечной двумерной области, уже не будет стремиться ""Р" Р РУ "" Р Р" "Р РР(х — а)'+ (у — Ь) ф Но это отличие несущественно для доказательства сформулированного факта. 1 Р„,,Р, „, ф )'( — аР+(я -Ь)* чена из решения трехмерного уравнения Лапласа 1/РР(х — а)ф+(р — Ь)х+(х — с)х при помощи следующей процедуры: дс ф 1и 21„. Уф-ф*фф-ф - 'дф Р УР,— Р фф ффР Выражение, стоящее в скобках в правой части, является потенциалом одномерного распределения зарядов вдоль отрезка ося а длиной 28. Так как потенциал силового поля определен с точностью до постоянного слагаемого, то мы вольны выбирать его произвольно.
Вычитание большой. постоянной 1п2(. перед переходом к пределу обес- У почивает конечность этого предела. Вторая из этих функций Агс(й — попада- я бится нам сейчас для решения следующей задачи: восстановить гармоническую функцию в круге х' +у' ( Йв по ее значениям на границе круга. Ясно, что функция Рр (х, у) = Агс1ц — ""' — Агс(и —" х — х, х — х, (Р х тоже является гармонической. Она представ Ряс. 1.
ляетсобой угол,подкоторым виден из точк (х,у) отрезок, соединяющий (х„у,) с (х, у,). Изэлементарной геометрии известно, чтофр(х, у)постоянна вдоль окружностей, проходящих через концы этого отрезка. Такие окружностИ являются линиями уровня фр(х, у). Они иаображены на рис. 1. Положим, теперь хд Й соа бд, у, =Й зш Од, ха= Й соя 8а, у,=й з)п 8 где О ч 8, ~ 8, ( 2щ и рассмотрим, как ведет себя гармоническа ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ 23 функция внутри круга й !Ал +уг ( йг) и на его границе.
Ветви Агс!д выберем так, чтобы внутри круга ср(х, у, 9„ Ов) равнялась углу между лучами РА и РВ, где Р— точка (х, у), А — точка Ясов ОР Йз!«Ос) и  — точка (сгсов9,, Яз!«02). В частности, в центре круга »р(О, О, ОР 02)=Агс!д( ') — Агс!Е( " с! =0 — Ос. Теперь давайте перемешать точку (х, у) внутри круга. Из рис. 2 видно, как будет деформироваться угол ср (х, у, 6„8,) при пересбешении точки Р(х,'у). На дуге АС'В он равен — '', на дуге АСВ этот угол б,— б, равен м+ —. Рассмотрим функцию 2 ц»(х, у, 8„8,) = — сср(х„у, ОР 92)- — ~!с= 1 ! у — Рг!пб~ б~! 1 / у — Ра!«б~ 021 = — (Агс!д — — — — (А ге!и и ~ х — А»сов бг 2,! н 1, х — Сс сов бс 2 /» которая, очевидно, тоже является гармонической функцией от х, у.
(Прибавление константы и умножение на постоянное число не нарушзют гармоничности.) После всего скаванного ясно, что на дуге АСВ функция пс(х, у, 9„6 )=1, а на - дуге АС'В ц» (х, у, 8,, 8Д = О. С помощью функции ги(х, у, 8м 92) А нетрудно придумать формулу, которая позволяет восстановить гармоническую д х функцию по ее значениям на окружности ха+уз=Щ Сначала мы дадим нестрогий вывод, а затем приведем полное обоснование. Разобьем всю окружность точками хс=й сог Ос, ус=)(»з!п Ос на достаточно мелкие части, а на каждой из этих частей Рис.
2. выберем точку х, =йсоа8 с;у с =йз1ВО с (Ос<6 с( !+в 2 с+ —,' с+— 2 2 с+ — с ' !+в 2 г ( Ос~с) Рассмотрим на окружности непрерывную функцию с (0). Ясно, что У 'Ог ь, ! ю(х, у, Оь Ос,,) ~с+г "Ринимает на дУге (Ос, 8сэ,) значение с с'8 с 1, а на дополнительной ( с+ — с' к 2 «еи дуге — нуль. )гл. 1 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ Сумма ~У(Е 1)ш(х, У, Вь 61„)= представляет собой гармоническую внутри круга функцию, кусочно постоянную на границе. На дуге (Вь В . ) она принимает значе- 1+ 1] ние у(е 1). Гармоничность конечной суммы внутри круга следует из линейности уравнения Лапласа. В точках х=йсоа 61, у=йа)пе1 этв, функция, конечно, разрывна.
Совершим формальный предельный переход при неограниченном измельчении Окружности, а именно, рассмотрим функцию п(х у)= — Пв) с] ~Агс(В— ег У нас есть основания ожидать, что она будет гармоническое внутри круга ха+уз(й', а в его граничных точках х=й сов ю, у=йа(ига . 1 будет принимать значения у'(а). В дальнейшем этот факт будет обоснован, а пока мы эту формулу, преобразовав, приведем к более красу..' вому виду. Имеем у-Ра1па Е1 г[~ Агс(и х — йссаз 2] - й Е 1 — Р см Е) -)( а)п Е (у в р а1п 6) Ые (6 (у — й Мп 6)'+ (х — й сса 6)' 2 2 [)(а — хйссаа — уй аю 6] — (хт+уа)-Ра+2у)1 ап 6+2х)(сса 6 2 [(у — й а)п 6)а + (х — й сса 6)а] й' — (х'+у') Н..
2 [уя — 2й (хсса 6+у ав 6)+ха+уз] Заметим адесь, что при вычислении дифференциала безрззлично, какие именно ветви Агс(и были выбраны, так как значения Агс1дх на разных. ветвях отличаются на постоянную величину. Мы показали, как можно придумать формулу 1 г Ра — ха — уа 116, «(х У)= 2„~ У() )1 2й(х, Е+„,)па)+„~.+у~ которая носит название формулы ]Туассона. ЗАДАЧА ДИРНХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ 25 а и Запишем ее еше в двух формах. Во-первых, положив л=рсовв, у=рз!па и заметив, что х сов О +у в!п 8 = р (сов 6 соз а + з!п 8 з1п а) = р сов (8 — в), получаем 2о и(рсоа а, рв1пв)=2 у(6))~, 2 о,в(6. Во-вторых, можно разложить ядро нашего интеграла на простые дроби )12- хв — ув ' 1+ )ге!а )(е — вв )гв — 2)1 (х сов О+У в!и 0)+ха+Уз )!е — (х+ !у) )1е ва — (х — (у) вв + -! Докажем еше, что ядро )О )(в — ар сов (0 — в) + р' (2) прн р ( )т и что интеграл от него 2а ' — в=1. 2п 1 )1в — урсов(0 — в)+рв Первое из этих утверждений очевидно, если заметить, что Яв — 2Яр сов (8 — в) + рв = ()( — р)2 + 4)(р з(пв Второе доказывается так: 1 )22 рв в(6 = — — а(9 + — Ве —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
