1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Таким образом, Лаплас предложил отказаться от явной формулы для сил дальнодействия и заменить ее на дифференциальное уравнение для поля величины и. Можно считать, что дифференциальное уравнение описывает взаимодействие между соседними элементами поля и. Таким образом, введение этого поля подменяет задачу о дальнодействии между реальными телами задачей о «близкодействующем» взаимодействии между соседними областями пространства, залитого некоторым, искусственно придуманным, полем величины и. Лапласу мы обязаны идеей введения уравнений для надуманного поля сс, уравнений, которые действуют всюду вне тех точек, в которых сосредоточены сами притягивающие массы. (В точках х=хи у=уь г=гс мы не можем вычислять производные по приведенным выше формулам.) В дальнейшем нам придется иметь дело не с потенциалом точечных масс, а с полем тяготения, вызванным массой, распределенной по некоторому объему.
Остановимся на таком объемном распределении масс с плотностью р=р(а, Ь, с) в точке х=а, у=Ь, г=с. Пусть р(а, Ь, с)=О для всех точех, лежащих вне некоторого шара, то есть при аг+Ьг+си))сг. Разобьем этот шар на элементарные объемы со сторонами сга, сгЬ, сьс, в каждом из которых сосредоточена масса р(а, Ь, с)с»а ддс1с. Возбуждаемый этой массой потенциал силы тяготения принимает в точке (х, у, г) значение р(а, Ь, с) Аа ДЬ Ас г' Ьс(х — а)г+(у — Ь)г+ (г — сг) Суммарный потенциал и, учитывающий все элементарные объемы, будет равен р(а, Ь, с) Даад Ьс Ьс(х — а)г+(у — Ь)г+(г — с)» а, Ь,с Формально переходя к пределу при неограниченном измельчении шара аз+да+с»()сг, мы получаем представление потенциала в виде следующего интеграла: р(а, Ь, с)с(адЬдс ~I" (х — а)г+ (у — Ь)'+ (г — с)а ' ас+Ьс+сс (Л* ньютоновским потинцнлл 4 и который носит название обаемного или ньютоновского потенциала.
Постоянную у мы, начиная с этой формулы, опускаем. Нетрудно, хотя и несколько громоздко, показывается, 'что если р (а, Ь, с) имеет непрерывные первые производные, то потенциал и(х, у, г) удовлетворяет так называемому уравнению Пуассона д'и да и да и — + — + — = — 4пр(х, у, г). дхг ду' дгь (1) Вне притягивающих масс, то есть там, где Р=О, это уравнение совпадает с уравнением Лапласа. Доказательство равенства (1) будет дано ниже, а сейчас заметим, что в задачах, связанных с законом всемирного тяготения, плотность Р(а, Ь, с) не может принимать отрицательных значений. Однако, как известно, есть еще одна область физики, в которой сила взаимодействия так же, как и в теории тяготения, описывается законом т,ж Е=у —.
гг Это — электростатика, а т„т,— заряды двух материальных точек. В электростатике для обозначения зарядов обычно применяются буквы еп е,, а не т„т . Роль постоянной тяготения у выполняет е ', где е †диэлектрическ постоянная. В электростатике зарядам нужно приписывать знак †заря одного знака отталкиваются, а разного знака — притягиваются. С законом электростатического взаимодействия — законом Кулона в связан электростатический потенциал, отличающийся от потенциала гравитационного только тем, что плотность р(а, Ь, с) может принимать как положительные, так и отрицательные значения (здесь это не плотность массы, а плотность заряда).
Напряженность электростатического поля имеет компоненты Е ди ди ди = ††, Е = — †, Е = — †. Следовательно уравнение (1) можно дх = дд — д . переписать в виде равенства дЕк дЕу дЕг 4пр + — + — = дх ду дг а которое в электростатике носит название теоремы Гаусса. Приступим к аккуратному доказательству справедливости уравнения Пуассона (!). Выражение для потенциала и (х, у, г) удобнее записать в виде и (х, у, г) = р(и, Ь, с) идЬ да ~ ~ Ьг(х — и) г+ (у - Ь) ь+ (г - с) г где интегрирование распространено по всему пространству.
(Не надо забывать, что р(и, Ь, с)=0, если иг+Ьь+сг~Иг,) После замены переменных иптегриро- | вьвня: и — х=$, Ь вЂ” у=н, с — г=с получим следующее представление для 16 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ потенциала До некоторых пор нас будут интересовать только х, у, г, лежащие в ионеч. ной части пространства хз+уз+г'(уз, Так как р(х+В, у+Ч, г+Ь)р В при (х+В)з+(у+С)з+(г+Ь)з))гз, то можно ограничить область интегрирования шаром Р (гэ+Чз+ьз ((Р+)г)э=4)гзр йз) и записать (Интеграл (2) является несобственным, так.как подынтегральная функция имеет особенность в начале координат.
Зтот интеграл сходится равномерно относительно параметров х, у, г ввиду того, что подынтегральная функция имеет интегрируемую мажоранту р'г)г$з+Чз+Ьз, р*=щах !р!. Лействительно, О о Интегралы, полученные формальным днфференпированием интеграла (2) по пара. метрам х, у и г, также равномерно сходятся; следовательно, по известному правилу д — (р(х+$, у+Ч, г+Ь)! О' д О К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, заметив, что д$ (р( +~' у+"' +~)! д ГР(х+$, у+Ч, г+Ь) 1 )г~'+~ч+Р д$ ! У Р+Ч'+Р ~.р(х+$, у+Ч, г+й) (вз+тг+ЬЧ Г* и учитывая равенство нулю функции р(х+в, у+Ч, г+ь) на сфере ьз+Чз+ -(-Ьз=йд В результате получим ди (' ( ( в р(х+в, у+Ч, г+ь) (3) Интегрирование по частям законно, так как интеграл (3) сходцуся. Волее того, этот интеграл сходится равномерна относительно параметров х, у, так как подынтегральная функция обладает интегрируемой мажорантой ньютоновскин потннциал 4 Н ах ( р (яз + з)з+ Ьз).
действительно, = 4пр ~ — = 4лр'С. о о Производные от подынтегральной функции по х, у или г также обладают интегрируемой мажорантой. Следовательно, вторые производные функции и можно получить, дифференцируя правую часть равенства (3) под знаком интеграла. Итак, — ., рх(х+$, р+тв х+4) дпдз) д1= Ь' $ д ~ 1 д Я~+ '+~')н' дТ и аналогично — !Р (я+С, Р+ть а+ 0) п$ дз) дС, з) д — ьь-,'з ~м 'ю!4~з з. д (~з ( з)з ( ~з)ыз д~ Складывая почленно полученные равенства, можем записать д д д) ,. „„(~ дй+Ц вЂ”,„+1 д —,1(Р(х+~, Р+П, х+~)) да дт( з(Ь.
(4) Для вычисления интеграла в правой части удобно записать его в виде повторс з .1(1(,.зз,)~, з.— з~.из. г дннат, а дд,— элемент плогцади этой сферы. Заметим, далее, что производная ф по радиусу — равна скалярному произведению градиента функции р, т, е. (др др др') ектора ) —, —, — ~ и единичного вектора, направленного по радиусу т. е. ( ' дт)' дс) з вектора (а/г, т)!г, ь/г) (г=)гвз+т)з-)-Ьз). Следовательно, в — +з) — +ь — =г —, ф ф ф ф 4 дз) д~ дг в равенство (4) принимает вид дзи д'и дзи дг 1 ( +ь' У+т)' +ь)) 8 (гл. ( 18 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ Так как элемент площади с(5г=ггс)Я, где с)И вЂ” элемент площади единичной сферы 1), или элемент телесного угла, то бал дги ' бэи — + — + — = дхэ дуг дгг др (х+Б(г, у+пег, г+~ег) дг бр с (' ~ др (х+5ог.
у+Пег( г+~ег) дг =)) [р (х+ьэь у+т)эь, г+(е1) — р(х+аао, у+т( О, г+ьэо)) (11) = — Ц р (х, у, г) бЯ = — 4пр (х, у, г). В заключение этого параграфа докажем еше, что ньютоновский потенциал стремится к нулю при (хв+ув+гв)-ьсо. Более точно, мы докажем равенство ьг с.* ( У ( 11)с( с (с ос кс+Вс-Ггс со Запишем ньютоновский потенциал в виде (г(0)=111 „Р, ~; .(г(Р,0)=~), о где 0 †точ с координатами х, у, х, Р†точ с координатами а, с . а =с с(с . (, О( — р. '-' ' ° о *-* ° г ° О, пг * о — -....р ° * ° .(о, о(-(г с-г с.*.
т. „ .о, е-«г.е 'г' '(о. е Так как ) г(0, 0) — г(Р, 0) ) =.г(0, Р)(й, то г(0, 0) (О)= $ ~ $ р(Р)г()г+0~— Ъ Иш г (О, 0) и (0) = ) ~ ~ р (Р) (г(г О со о потенциал при не- Подведем итог. Нами показано, что ньютоновский прерывно дифференцируемой плотности, отличной от нуля лишь внутри 1 Равенство (1) докиэано для любого шара хг+уэ+гг()(~г, а следовательно, для любых х, у, г. !9 ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ некоторой сферы, является решением уравнения Пуассона, которое стремится к нулю на бесконечности.
В следующем парагрзфе мы покажем, что этими условиями он определяется однозначно. С этой точки зрения предложение Лапласа заменить изучение интегралов изучением дифференциального уравнения, которому эти интегралы удовлетворяют, логически оправдано. -При проверке уравнения Пуассона мы предполагали, что плотность р(а, Ь, с) непрерывно дифференцируема во всех точках пространства. З действительности существенна лишь локальная гладкость плотности в окрестности той точкио где проверяется выполнение уравнения Пузссона. Задача.
Пусть плотность р (а, Ь, с) равна нулю вне некоторого шара и имеет непрерывные первые производные в окрестности точки (ао, Ьо, со). Тогда в окрестности отой точки ньютоновский потенциал с плотностью р удовлетворяет уравнению Пуассона (!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
