1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Формулвразка решаемой задачи, предельный переход в рааностных уравненнях. Теорема существования. Попутно полученные неравенства для решеняй н нх пронэводных. Некоторые аамечання к доказанной теореме сущестэовзння н единственности смешанной задачи для гнперболнческой снстемы: 1) отказ от днсснпатнзностн граннчных условий. 2) случай коэффнцнентоа, не зависящих от времени, 3) теорема сущестзованкя решения задачи Коши внутрн характерясткческого треугольника. Волновое уравнение.
Формула Кирхгофа ................ Задачи Коши н теорема едннстэенностн для волнового уравненая. Формула решения вадачн Коши в случае одного прострвнственншо переменного. Вывод Формулы Кнрхгофа для решения в случае трех пространстэеннмх пеоеменных. обоснование этой формулы. Метод спуска н полученне формулы Пуассона для решення двумерного волнового уравнення. Сводка 4юрмул для одппмерного, двумерного н трехмерного пространств. Лакуна в области вавнснмостя в трехмерном случае. Резкий передний я задний фронты от возмущенна в ограниченной области.
Другая ситуация з случаях одного н двух нэмереннй, днффуэня волн. С»рернческк симметричная звуковая волна. Нзоб. ходнмзя гладкость начальных данных. Запаэдывающне потенцнвлы. Обобщенные решения . Обобщенное решение для уразнензй акустики. Связь определения обобщенного решения с ваконамн сохранения. Понятие обобщенного решення для прастей.
ди ди щего гнперболнческогп уравнення — + — О. Обобщенное решенае как прел) дл дел гладкнх решений. Определение С. Л. Соболева. Эквивалентность этого определенна классическому на гладких решениях. Уточненне определенна. Теорема едннствевностн. Теорема существования. Инварнантнасть уравнення Лапласа н интеграла Днрнхле относнтельно яонФармных преобразований плоскостн.
Новый вывод формулы Пуассона для ре. шенка задачи днрнхле в круге нз основе этой ннварнантностн. Дзе теоремы о среднем арнфметаческом для гармонических Функцкй. Следствие — оценка гаРмонической функцнн з центре круга через интеграл ее квадрата, Из сходямостн последовательностн гврмоняческнх функций з среднем вытекает равномерная сходнмость в некоторой подобласти. Решение эадачн Днрнхла в круге бесконечно днфференцнруемо эо всех внутренних точках. Оценка его пРоизводных в центре круга.
Теорема Гарнзка о равномерной сходнмостн н о гармоничности предела. Сходнмость пронзваднмх во внутренних точках. Неравенство Гарн»на для неотрицательных гврмоннческнх функднй. Теорема Лнувнлля. уснленный принцип максамума. теорема о разрывной мэжоранте.
Устрзннмые особенностн. ОГЛАНЛЕНИЕ 237 Варивционный принцип Лирихле Формуле для вычисления интегРала Дирихле гармонической в круге функции по коэффициентам Фурье грзничнык значений. Пример непрерывной в круге гзрмоняческой функции, имеющей бесконечный интеграл Днрихле. Неравенство для интегралов Дирнхле двух функций, принимающих на грвнице круга одинаковые значения, одна нэ которых гармоническая. Пример Адамара «епрерывной на границе круга функции, которая не может быть продалженз внутрь с конечным интегралом Днрихле. Вариациоиный подход к задече Дирнхле.
Некоторые исторические замечания. Пример неразрешимой вариационной задачи. Единственность экстремальной функция. Принцип Дирнхле для круга и для простейших областей, полученных из него конформнымн преобразованиями. 249 Метод Шварца в 22. Альтернирующий метод Шварца доказательстве существования решения задачи дирихле для составных областей. Критерий Шварце.
Формулировка тео. реми н ее доказательство. Использование метода Шварце для обоснования прннципа Дярнхле. Пример получения теоремы существования решения за. дачи Дирихле и принципа Дирихле в неодносвязном многоугольнике. Про. верке критерия Швзрца с помощью геометрического «условия луночки». Охема докззэтельства принципа Дирихле и разрешимости задачи Дирихле для любых многоугольных областей.
Обоснование принципа Дирихле й 23. Ограничения нэ область в на функции. Лемма о поведении допустимых функ. ций вблизи границы и (лемма 2) оценка интеграла квадрига фчнкцин, обращающейся нз границе в ноль, через ее интеграл Дирихле. Построение специзльной минимизирующей последовательности, изучение ее свойств. Предельный переход, в результате которого обосновывается принцяп Днряхле. 268 Задача Гильберта для уравнений Коши †Рима в круге ....., Постановка и примеры. Индекс граничного условия. Нормировка (регуляри.
нация) граничного условия э задаче Гнльберта, Теореме существования решения в случэе неотрицательного вндекса граничного условия. Исследовзние неедииственности прн положительном или нулевом индексе граничных уеловий. Единственность н условия разрешимости при отрицательном индексе. Звдэча с косой производной н ее сведение к зздаче Гяльберта. Задача Ней. мана. Индекс задачи н индекс граничнмх условий. Понятие сб индексе для системы линейных злгебраическях уравнений. й 24. Некорректные задачи Обсуждение возможности решения некорректнмх задач нз примере задачи Коши для периодических решений уравнения Лапласе. Разложение этих решений в ряд Фурье.
Логарифмичееки выпуклые функции и получение с их помощью неравенств для гармонических функций. Условная коррект. ность в классе ограниченных решений. Регуляризэция приближений для начальных денных и отыскание решения некорректной задачи, ограниченного известной константой.
288 ' Система обыкновенных дифференциальных урзвнеиий ......... Изучение формул для решения систем обыкновенных дифферэнциальных уран. неиий с постояняымн коффнциентами при помощи соображений, которые будут использоваться для обоснования метода Фурье. Интеграл Дюамеля э пре. образование Лапласа. Частотная характеристика. Формулировка теоремы сб обрзщении преобрззовзния Лапласа и ее применение для представления решения в виде суммы экспонент. 288 $26 Теорема об обращении преобразования Лапласа............ Формулировка теоремы об обращении преобразования Лзпласа и ее обобще.
ния иэ растущие (не слишком быстро) функции. Первые три леммы н вытекэ. ющне из нях следствия приводят к важному тождеству стригонометрическим интегралом. Обсуждается характер оствточного члена в етом тождестве. ОконЧанне докзззтельсгвэ теоремы. 5 27. Г л а на )Ч. Преобразование Лапласа и метод Фурье для гиперболических систем ОГЛАВЛЕНИЕ л 23 Преобразование Лапласа для решений гиперболической системы... ЗОЗ Описание постановки обратимых смешаннык задач для гиперболической системы, Существование решений и оценки для них изучались в й )7.
Преобразование Лапласа е) (л, А) решения при достаточно больших Ней. Его аналйтичн~сть Обыкновенные дифференциальные уравнения, которым оиа удовлетворяет, Оценки. Использование обратимости. Изложение схемы дальнейшего цзученин. Основные свойства эг(л. А), которые будут обоснованы в следующих параграфах, и получение с их помощью формулы обращения, содержа- а(ей интеграл по замкнутому контуру, 312 дсимптотическне (по А) формулм решения задачи Коши для обыкновенных дцфференцнальиых уревненкй, связанных с преобразованием Лапласа. Эти формулм получаются нз явных представлений решений системы, содержащей две независимых уравнения.
Йоследующне леммы постепенно приводят к все более и более сложному характеру зацекления уравнений. б ЗО. Собственные функции краевой задачи 319 изучение в полосе ( ней) (солт( аналитических от А Функций. зависящих от параметра л. Этн функции удовлетворяют обыкновенным диффереициель. ным по х уравнениям и граничным условиям. Вывод асимптотических Формул решения краевой задачи из формул для решения задачи Коши, полученных в предыдуще параграфе. Функция Р (А).
Ее нули — собственные значения системы. Нулей х» (А) вне попоем ( Не А ( ш К нет. Асимптотика нулей Э (А). Аналитическое продолжение преобразования Лапласа решения гиперболической системм не всю комплексную плоскость с выколотыми попиками в нулях Р (А). Полнота системы собственных функций 4 31.
Непомянание доказанных в предыдущих параграФах фактов о свойствах ег (л, А) — аналитических функций от А и о прнближенмом представлении решенйя смешанной задачи контурнмм интегралом. Вычисление отдельных вычетов. Решение приближается суммой конечного числа «стоячих волн». Видоизмененна в случае кратных полюсов Эамечение о возможности расппостране. ния теории на сястемы. не приведенные к каноническому виду.
теореме о полноте собственных Функций. Примеры, показывающие существенность абра. тимости задачи длн применимости метода Фурье. Ряд Фурье для консервативной системы Консервативная гиперболическая задача для системы не двух уравнений. Интеграл энергии для вещественных и комплексных решений. Комплексные езклидавы пространства, натянутые нв собственные вектоп-функции. Унитарность преобразования, связанного со сдвигом времени. Свойства унита ных преобразований. Вывод нз этих свойств ортогональности собственных функций и доказательство того, что Ай чисто мнимы. Использование ортогональноств прн приближении начальных данных стоячими волнами.
Формула для коэффициентов в разложении решения в ряд Фурье. Пример. Самосопряженная система второго порядка............... Е е сведение к симметричной системе первого порядна. Эта система консервативна. «Кинетическая» и «потенциальная» энергия для решений втой системы. Собственные вектор-функции и собственные значении соответствующей нраевай задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Собственные функции ортогональиы как в «потенциальной» метрике, так к в «кинетической». Формулы для приближенного решения задачи. замечания о методе Ритца. 4 32 % 33 337 344 Глав а в а У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
