1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Обозначим через г- разность ва — и. Эта разность обращается в нуль на границе и удовлетворяет уравнениям 3 Л я+ Л з — — — тЛ„„Луза= — (Л„„и+ Л и) =у(х, у), Здесь функция у(х, у) определена только во внутренних точках сетки и ее можно доопределить нулями в граничных точках.
Если мы дока- 1 жем, что линейный оператор Л„„+Л вЂ” — — тЛ „Л невырожден на т (Ф вЂ” 1)з-мерном подпространстве равных нулю нз границе сеточных функций в нашем квадрате, то тем самым будет доказана разрешимость уравнений для з, единственность этого решения и равенство г = О в случае Л „и + Л и=. О. Вспомнив, что я=«в — и, мы убедимся в ЕЫ- полнении всея проверяемых свпйсти Р. Для дохазательстза невырожденности ! Лхх+Луу — —,, — ™х„Луу 414 !гл.
ч РАзностные методы достаточно найти у этого оператора !Л! — 1)' собственных функций с ненулевыми собсгвенными значениями. Такими собственными функциями являются и!р я> !х, у). В самом деле, из равенств Ь „и!у я>= — 4№гйпа — Р и>Р Г> Л и!у г>= — 4№ з!па — ~ и<у Я> х ' = 2М ' ~ УУ ' — 2У О вЂ” 0 Л „и+Луре= — +тЛ „Ьуу (и — и). и!э=6 Положим и= и!у я> и постараемся удовлетворить этому уравнению с помощью е=)ц!у г>=А<у г>»>у г>.
Если это удастся, то из единственности будет следовать, что других решений нет и что и'у г> †собственн вектор с собственными аначения- Л! ° 4>. Непосредственной подстановкой с использованием равенств >А я<У. ю= — 4№з>па — п>У г> пр лл 2Л' !Ар и!Р ч>= — 4№з>пя — '> и>у г> 2М получаем, что Х должно удовлетворять уравнению — 4№ (з!п' — + з!и"> > Х =:+ т(Х вЂ” 1)16№ з!пя р — 'г з1п' ч"', 2М 2Л>! 2У 2М' которое, очевидно, разрешимо и имеет решение 1+та 16У4 а!па — впав пр .
Ущ Л=Л< >— 2М 2У 1+я. 4МЯ (ап' — + а!па — >+та 16М' апа — апа— ., пр . пя > , рч , Чп ' 2М 2М > 2У 2Л'. Очевидно, что при положительных т все Х!Р ю меньше единицы и процесс будет сходиться вне зависимости от того, какое т выбрано. Однако детальный анализ зависимости Л!у я> от т позволяет предложить такой вариант процесса, который будет сходиться существенно быстрее процесса, рассмотренного нами ранее. вытекает, что (- 1 2У = — >4№ з1па — +4№ з!па — пя+ — +'г 16№а!па — Рз!па — З >и!у г>. 2М т 2У 2У> Это равенство показывает, что и!У Я> — собственный вектор с ненулевым (при любом конечном т) собственным значением.
Все нужные свойства оператора Р проверены. Вычислим теперь все его собственные значения на пространстве функций, обращающихся в нуль на границе. Собственными функциями опять будут пы ч>!х, у). Пусть ъ)г=О, тогда и=Рп определяется следующими равенствами: т,) —, при а=!, 2, ..., А — 1, те( —, 1 1 т„==) —, — а — — ) —, 16 )< —, ге, 1 1 1 е 4У~ !б !баге' 16 д 4 9 16Мд ' 9 т. е. что л=О(!пав). Например, для !)(=100 досгаточно взять л=4.
Мы докажем, что каковы бы ни были р, 9=1, 2, ..., )ч' — 1, всегдз имеет место неравенство 0(Л!р г)(М,тд) х Л!р ~)(М,т,) х ... х Л!р г)(М,т~)(0,68. (1) Из этого факта вытекает следующее следствие. Если выполнить итерации по описанному нами способу со значениями параметра т: тп те, ..., тд, то погрешность после этого цикла будет меньше чем 0,68 от первоначальной погрешности.
Повторив этот цикл, мы добьемся погрешности не большей чем (0,68)е от первоначальной и т. д. Циклически меняя параметры т,, т„..., те, тп т„... та-и те тп тм мы будем за лд шагов уменьшать погрешность сильнее, чем в (0,68)-'еге раз. )для убывания погрешности в 1(е раэ достаточно, чтобы (0,68)"'!е е, т. е. чтобы лд=л !пМ!п —. С ростом чи!пе 1 !пббб е' ела точек число итераций растет здесь уже не как №, а всего как 1п М,— значительно медленнее. Итак, нам осталось доказать неравенство (1). Введя обозначения бр — — 4№з!пе —, мы перепишем формулу для Л<р и в пр 2Л) ' следующем более компактном виде ,) 1+т%р$~ (1+т$р) (1+тая) ' Очевидно, что при достаточно большом д)! 9(п~ — О ( —,) =$р — — 4№е!п $(4№.
Итак, мы имеем 9($р,4№, 9($г~4№. Числа тавр, те дбр, ..., тдбр при любом фиксированном р обрззуют возрастающую геометрическую прогрессию со знаменателем 16. Нанболь- итврациониыв процессы для задачи дирихлв 415 Фиксируем некоторое достаточно большое )д! и определим убывающую последовательность параметров т: 1 1 1 4.9' ' 1б 4 9' е 1бе.4.9' '''' ~ 1б' ' 4.9' Из этой последовательности мы отберем конечное число л параметров т„т„..., те по следующему правилу: те — первый из нашей последовательности, который меньше или равен 1/№: Из нашего способа построения последовательности вытекает, что 416 !гл.
ч РАЭНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ! / 1 1! шее из пих тв.ьр больше, чем 4 ~Т; к. 'ьртв.- 9.4— 9= 4), а наине шее меньше 4 (т. к. арта -. 4№ —,= 4), Значит, хотя бы одно из чисел в 1 тввр, тДр, ..., Твзр попадает внутрь отрезка [1/4, 4). Итак, мы показали, что для любого р нзйдется 1<з =/в такое, что 1/4<ТДР<4. Докажем, что О < Л'Р Р! (/'/, т,) ( 0,68. Для этого рассмотрим формулу 1+»', свр 1+г' Л! ° !(М, т,)= ' = — =/т(г), (!+ТЯР)в (!+г)в где 1/4(г=тв $р<4. Во-первых, заметим, что 1+гв 1 1+,в гв ' гв /1! ~(г) в в в~р(, ).
(!+г)в (1+а~в ( ! )в !!в )' Поэтому достаточно убедиться в неравенстве 0 </т(г) < 0,68 при 1<а<4. Но это очевидно нз следуюшего представления: 1 ! 1 / 2 !в 1 1 / 2 !в 0 < — (Р(г)= — + — (! — — ~ ( — + — (! — — ! =0,68. 2 2 2 ! !+ар 2 2(, 1+4) Воспользуемся теперь тем, что 0<Л!Р, Р!(Ж, тв)< 1, 0<Л!Р, Р!(Ф, т)(0,68, О<Л!Р Р!(/!/,т)«1, О<Л! ° р!(/Т/,т, )<1, О<Л! !(/т/,т,,)<1, О<Л Р!(Д/,т,)<1, и выведем отсюда неравенство 0<Л!р Р!(/!/, Тв)Л!р Р!(/т/, т,)...Л!Р, Р!(М, тв)<0,68. Самая трудная часть исследования закончена.
Из неравенства 2$рй <$р+$вв выводим: (! + твяр$ )в =(! + 'ЯрЩ+ 2т~$ Дв < ~-(! ) твтЩв)+та(авв ! авв) (1 ), вР(1+твввв) !+ Яв 1I !+'*Ф !+'% (1+тввр) (1+тввв) Р (1+т~р) (!+тввв)в Л!' ! (т, М) ~ Л!' ю ()!/, т) Л!' ю (и, т). Отсюда уже очевидно, что О<Л!р в!(//,т,)Л! в!(М,т,)...Л! в!р/,'т,)~ Л!'Р!(И,т,)Л! р!(Ы,т,)...Л!' !(И,,) х Х )/ Л!в в!(М, тв)...Л'т в!(М, тв) <3/ 0,68 ° 1/0,68 = 0,68. Обешанное доказательство неравенства для собственных значений про- ! ведено, а тем самым обоснован циклический итерационный процесс, ! предложенный Дугласом и Рэкфордом в рабоге 1966 г.
1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
