1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 66
Текст из файла (страница 66)
М шах [( грр ~, ! фе (, ! ьь Д. Нетрудно проверить, что в рассматривавшихся нами системах это предположение выполнено. Не вызывает сомнений в наших примерах и выполнение неравенств для коэффициентов: 1а, ~ С М, ~ Ь„~ ( М, ~ с. ~ С М, которыми мы также будем пользоваться при исследовании. Как правило, под хорошей обусловленностью понимают несколько иное. А именно, обычно система называется хорошо обусловленной, если Зоб РАЗНОСТНГЯЕ МЕТОДЫ [гл. ч ЦО=<р а„и„т + Ь„и„+ с„и„, т = й„(а = 1, 2,..., Ф вЂ” 1), им=ф и всевозможные системы,- получающиеся из нее чурезаниямиж ир = ф, (а=р+1, р+2,..., д — ~), а~р+2. а„и„, + Ь„и„+ с„и„+, —— д„ иг=ф Если предположить, что возмущение коэффициентов не слишком сильное, а именно, если то возмущенная система, так же как и ее «урезания», будут: 1' Разрешимы при любых правых частях.
2' Хорошо обусловлены в смысле неравенства (1) (только постоянную М придется заменить на 2М). 3' Иметь ограниченные коэффициенты: 1 |а„~ <М+ —, !Ь„!<М+,— ', 1 ( с„( < М + бМ . 4' Решения и„и й„будут мало отличаться друг от.друга: ! и„— и„( < е ° 6М' шах () <р ~, ~ ф ~, ~ иь )). Свойство 3' очевидно. Докажем свойство 2', а из него выведем и 1' Предположим, что система ир — — <р, а и„т+Ь„и +с„и„н.т=~,„ ив=уф ее решение мадо изменяется при малом изменении коэффициентов и правых частей. Нами будет показано, что это условие вытекает из сформулированных выше требований.
Рассмотрим систему ыитод прогонки разрешима при некоторых правых частях. Фиксировав эти правые части, обозначим р= шах 1й„~ Р лла и получим для р неравенство: р ( 2М шах (( <р (, ) ~Р ), ( иь (). Оно выводится так. Систему можно переписать следующим образом: йа=~р, а„ив т+ Ь„и„+ с„и„ы = и„+(а„— а„) и„т+(܄— Ь„) ц,+(с„— с„) и„+» й,=ф. Из этой записи и из хорошей обусловленности первоначальной системы вытекает неравенство р ( М шах (! ~р /, ! зр ), ! ьа ( + 3 — р ) ( — р + М 1пах (! ~р ), ~ 1р ~, ! л» /) и, следовательно, р -= 2М гпах (! <р ), ! ~р ), ! аь !), шах ( й„( ( 2М шах (! ~р (, ! ф ), ! аь ().
Из этоса неравенства следует, что однородная система с нулевыми ~р, аь, ф может иметь только нулевое решение. Отсюда ясно, что определитель этой системы отличен от нуля и что поэтому она разрешима при любых правых частях. Свойства 1' и 2' доказаны. Осталось доказать неравенство 4', Переписав нашу систему в виде и — и =<р — гр=О, а с а„(и„,— и т)+Ь„(и„— и„)+с„(и,т — и,)= =((а„— а„) и„т+(܄— Ь„) и„+(с„— е„) й„+т1+ +(а„ц, т+Ь„и„+с„и +Д вЂ” (а„и„т+Ь„и„+е„ц,Д= =((а„— а„) и„т+(܄— Ь„) ц, +(е„— е„) й„,Д+и,— Ь„= =(а„— а„) и„, +(܄— Ь„) и„+(с„— с„) и„и йа — ия = ~> — ~Р = О и применив свойство 2', получим ! и„— и ( = М Зз 2М шах (( <р (, ! ф ), ! а» (). Неравенство 4' доказано.
~гл. ч РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ Рассмотрим теперь систему ир — — ф, а„и т+ Ь„и„+ с„и„ю — — им ия — ф, которая отличается от исходной ир — — ~р, а„и т + Ь„и„+ с„и„г = и„, ия — — ф возмущением не только коэффициентов, но и прзвых частей. Предпо- лагая, что ~а„— а„)(е, (ф — <р)(е, (܄— Ь„)(е, )у„— д,)(в, )с„— с~)(е, (ф — ф)(е, в( —, нетрудно показать, что ) и„— и„( ( е 6М' щах () ср ), ! ф ~, ! й„)) + е 2М. Наметим только схему доказательства.
Его нетрудно подробно провести по этой схеме. Изменив сначала только коэффициенты и оставив старые правые части, с помощью уже доказанного свойства 4' подажем, что каждое из и„ изменится не более, чем на е ° 6М» шах((ср(, (ф), )у„!), а затем, меняя в системе с возмущенными коэффициентами только правые части, убедимся с помощью 2', что компоненты и„решения при этом изменятся не больше, чем на е 2М. Нами доказано, что если изменить коэффициенты и правые части системы и«=<~~ ари«г+ Ьпи«+ с«и«ю =йи ИА =ф на величину порядка в, то и решения изменятся на величину порядка е.
Нзряду с самой этой системой доказательство такого же свойства проведено для всех ее «урезаний». Локазанный нами факт обычно и принимается за определение хорошей обусловленности. Важно отметить, что в постоянные, оценивающие обусловленность, у нас никак не вошло число М рассматриваемых уравнений. Теперь мы можем приступать к исследованию метода прогонки, который был описан раньше, в э 36. Пусть мы хотим решить систему ир=~р а„и„т + Ь„и + с„и„ю = и„, ил =ф метод пвогонкн а за! Нам будет удобно шенную систему наряду с этой системой рассмотреть также возму- иа=<р а„и„т+ Ь„и„+ с„и„т = и„, ил=ф 1 ~(а< — „, !܄— Ь„~<в, !с„— „!<в (а„— а, и получить оценки прогоночных коэффициентов, которые годились бы как для гсходноп, так и для возмушенноп систем.
При этом мы воспользуемся тем, что для решений как той, так и другой 1вместе со всеми нх урезаниями) выполнена оценка /и„((2М ° шах Д !Р !, !зР/, !ДаД. рассмотрим следуюшую урезанную систему иО=(р а„и„т + Ь„и„+ с„и„т = и„, и!=Ф и=1, 2,..., 1 — 1, Она разрешима. Нзпдем иа нее и, т. Из формулы Крамера вытекает, что и, т представимо в виде: ! — ! иг-т=Щ+ .У, Лщ+Ла!р=т.и!+К. ! ! Величинам !'.
и К удобно присвоить индекс 1 в 1/2, и полученные соотношение и неравенства записывать так: и, т=Е! 1,и,+К! ~Е! 1,((2М, ( К! 1, ( ( 2М ° шах () уа ), ! !р !). Точно такое же соотношение было получено при описании метода прогонки. Отметим, что из использованной нами формулы Крамера следует, что по и„, а„, Ь„, с„, ср11<и(У вЂ” 1) коэффициенты 1.! ~!и К! з1, определяются однозначно, и что для определения г! 1, правых частей !Р, Кд, Ка, ..., У! ! знать не надо. )1остаточно пользоватьсЯ коэффициентами ав, Ьм с„. Отсюда вытекает, что коэффициенты !.! ие К! ~1, совпадают с полученными прогоночными коэффициентами, для которы» Коэффициент Е и величина К вследствие хорошей обусловленности удовлетворяют йеравенствам )Ь!!(2М, )К)(2М шах(!да(, !ср!).
аоо вязностныи митоды 1гл, я в $ 36 были выписаны рекуррентные формулы: Ен — — О, К/» ф' сс яг аГКà — Н Ес+ н= — - -., Кгч- и=- а»Е,, +Ь» аЕ, +Ь» Здесь, однако, нужно сделать одну оговорку. Бело в том, что при выводе этих формул мы предполагали, что ни один из знаменателей не обрашается в нуль. Кадим обоснование этого факта.
Для Ец, мы имеем формулу с, Е»ы —— а,1,, + Ьг ат ° О+ Ь~ Покажем, что )Ь,()1/2М Лля этого рассмотрим «урезанную» систему и =О, ати +Ьти, + сгиа= 1, па=О. Из ее разрешимости вытекает, что Ьт э- 'О и что и,=!»»Ьп С другой стороны, из хррошей обусловленности следует неравенство ~ ит ((2М ° 1. Сформулированное неравенство тем самым доказано. Отсюда следует вычислимость по прогоночным формулам величин Е»ьл К»н и, следова- тельно, выполнение для них неравенств:- ) Е»г» ) ( 2М, 1К»н ! ( 2М шах (! да !, ! ф )).
Пусть мы уже показали, что по прогоночным формулам можно вычислить Е»у„Ен„..., Ег»ьл Кнм К.„,...,К, »Ьа И ПОКажЕМ ВЫЧИСЛИМОСтЬ Е»+ Еа КГ+ ЬС ЛЛЯ ЭТОГО ДОСтатОЧНО ПОКа- вать, что ! Е -ч,+Ь!)й Рассмотрим систему уравнений иц — — О, а;и~ т+Ь;и;+с;и;+,— — О, 1=1, 2, ..., ( — 1, а,и, ; + Ь,и, + с,и„.,= 1, иыт О. Про решение такой системы мы внаем, что иг а=Е, н,иь !иг(2М. Из единственного неоднородного уравнения следует, что 1,агЕг — ы+Ьг) и,=1. 401 метод пногонкн Разрешимость системы требует неравенства а,Ег б+Ь~ ~ 0 и равенства ар= 1 . Утверждение ~а~А~ ы+Ь,,)1/2М теперь оче! аь,, +ь видно.
При реальных вычислениях мы на каждом шаге вычислительного процесса делаем вычислительные погрешности, связанные с ошибками округления. Поэтому реальный вычислительный процесс ведется по формулам ь,,=о, К~б = <р + х ьв с~ 1-~+ У, = — + )а+ Ч. апач, +Ь й,— а,К, К'+'' с +ь + '+ агг — б с п„=ф+т., а~=~.~+ /е"мт+К~+и.+ ь Предположим, что для всех вычислительных погрешностей справедливы оценки !х+ .!<б ~Л+.~<б ~ 1<б с достаточно маленьким б, и попробуем оценить, насколько эти погрешности могут исказить результат вычислений.
Очевидно, что приведенная сейчас сводка формул может быть переписана так: ).ч, =О, К,,=<р+х ья — )с — 1аД, +Ь,)Х~+, ) а -а (К~,г — тс 1) К1+ч = ь +ь +х!+ы +~'= ас с-ч. ю и+ц'~-~+<аА — ц,+ЬИ'+и.+М асК вЂ” б а1ч ы +Ь, %=)ч+ б+К~+Ыа и рассматриваться теперь как схема вычислительного процесса для ре- шения системы аа= <р, а„и„, + Ь„и„+ с„а„ч, = д„, ил=ай 402 1гл. ч Разностные методы со следующими возмущенными коэффициентами: ф=ф+и ~е а~ — — аь Ьг=Ь! с!=с,— (а!Ьг б+Ь!)Лс ь б (Ь,,=О), д,=д,+а,т !+(а,И ы+Ь|)(хс+ и+я), Ф=ф+ Докажем, что ~с,— с,)<М(2М+1)6. Доказательство будем вести индукцней по Л При 1=1 ! с,— с, ) = ) (аг( д+ Ьт) Лы, ) = ) (а, О+ 6!) 1 ~, ) < Мб < М (2М+ 1) б. Пусть для Ь=1, 2, ..., ! — 1 неравенство )сь — са (<М(2М+ !)б доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
