1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 63

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

Будет также покззано, что значения и(х, г), вычисленные из этой системы, во всех точках сетки удовлетворяют оценке (и(х, т)~(сопз1[шах((<р(, (ф(, (~(, (гв~)1 (а(х, Й т, Й) Разность и(х, т) — и(х, т)=Ъ'(х, г'(х, г+ ) — 'г'(х, О 'г'(и, ((сопя((т+ Й). г) удовлетворяет уравнениям г+т) — г'(х-И, Г+т) И +т(х, г) г'(х, т)=а(х, Й т, Й), если Й(х, г)=ъО; р(х. Г+т) — (г(я, О ° Й, р(и+И, Г+т)-р(гь Г+т) +Й(х () ' и ' + +т(х, ~)У(х, ()=а(х, Й т, Й), с постоянной, которая при достаточно малых т, Й от этих шагов не зависит.

Сейчас, предполагая обоснованными разрешимость уравнений и оценку для решения, кратко наметим схему проверки того, что при достаточно мзлых шагах т и Й приближенное решение близко к точному. Эта схема — такая же, как и схема, использовавшаяся при рассмотрении разностного уравнения Лапласа, и ее аккуратное проведение не вызовет никаких затруднений. Наряду с приближенным решением, которое удобно обозначать й(х, 1), рассмотрим точное решение и(х, т) дифференциального уравнения.

Если его подставить в разностные уравнения и воспользоваться формулой Тейлора, нетрудно убедиться, что эти разностные уравнения будут вы,полнены точно, если только правые части ( (х, Г) заменить на((х, т)-(- +а(х, Й т, Й), где а(х, Й т, Й) — погрешность аппроксимации 379 НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ % 36] если 7т(х; ()(О р'(х, О) = о, р (О, 1 ч- т) =О, ) (Лгй, 1-)-т)=0, которые отличаются от нашей разностной схемы только правыми частями. Поэтому для )г(х, 1) допустимо воспользоваться оценкой разностного решения, которую мы обещаем обосновать: !и(х, 1) — и(х, 7) !=! Ъ'(х, () )( ~сопз11гпах/а(х, 0 )т, т)/) (сопз1(т+Ь).

На этом заканчивается доказательство близости точного и приближенного решений. Задача. Сравните областя влияния дифференциального и неявных разностных уравнений. Выясните, почему здесь большие Лт/Л не противоречат рассуждениям Кураита, Фридрихса, Леви. Переходим к доказательству разрешимости разностных уравнений и к оценке решения. Положив х=пЬ и обозначив п(лЬ, 1+т)=и„, уравнения и(0, (+т)=ф, и (х, г+ т) — и (х, г) и (х, г+ т) — и (х — л, г+ т) + + (т (х, г) + лт (х, 1) и (х, г) =у (х, () если (т(х, 1))0, и(х, Г+т) — и(х, Г) + и(х+л, т+т) — и(х, Г-~-т)+ +т(х, г)и(х, ~)=Дх, т), если Ь(х, г)(0, и(Лгй, г+т)=тр можно переписать в форме ио=$~ а„и„т + Ьаиа+ с„и дт — — а„, ил =тр, где в —, если Ь (х, г) ==: О, л (х, г) т О, если Ь(х, г) (О, Ь=1+ ~ (')~ а л О, если Ь(х, 1))0, если Ь(х, 1)(0, ич=(1 — тлт(х, У)) и(х, з)+т((х, г).

380 [Гл. ч Разностныв явтоды При этом, очевидно, выполнены условия [Ь„[=!+ [а„[+ [с„[, ) л„[ ( (1+ тМ) гпах [и (х, 1) ~ + т гпах ~ ( (х, О [. к х. с Из этих условий вытекает разрешимость уравнений для и(х, К+т) и неравенство [ и (х, 1+ т) ) ( гпах [ ~ ср [, [ф [, (1 + тМ) гпах [ и (х, () [+ х +тгпах[7(х, 1)[] Обозначив Г = !пах [ гпах [ ср (1) [, гпах [ ф (() [, гпах [ оз (х) [, тпах ) ~ (х, г) [ ], с ! Х х, У(К)-гпах[Р, гпах)и(х, О[], можно написать: У(с+т)(гпах [Р,(1+тМ) У(1)+тР] ((1+тМ+т) У(1), У (0( [1 + т(М+ 1)] сстУ(0)е [1 + т (М+ 1)] гСтс' ~ М эс', г'ты поступаем сейчас точно так жЕ как поступали в предыдущем параграфе при оценке решения, полученного по явной схеме Так как здесь 1 — любое кратное т, но не больше чем Т, то мы .доказали нужную нам оценку )и(х, 1))(сопз1[гпах(~ср1~ф[,~,у[,~ю~)]. Рассмотрим еще две простейшие схемы для уравнения теплопроводности ди даи дг дка — — — =.!'(х, 1).

Мы ограничиваемся здесь случаем постоянного и равного единице коэффициента температуропроводности. Решение с начальными и граничными условиями и(0, ()=ф(г), и(с, г)=![с(1), и(х, 0)=ю(х) опять будем разыскивать в прямоугольнике 0 ( х ~ Е, 0 ( ! ( Т, пользуясь той же самой сеткой с шагами т, Й=Е/Лс, что и в предыдущем примере, когда решалось гиперболическое уравнение.

Рассмотрим две разностные схемы: явную и(к, С+т) — и(к, С) и(к-)-д, С) — 2и(к, С)+и(к — 6, С) йя У(х д) 38! НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ и неявную и(х, С+т) — и(х, С) и(х+й, С+т) — 2и(х, С+т)+и(х — /с, С-1-т) ая —.у(., с) Каждая из этих схем приближает уравнение теплопроводности в том смысле, что достаточно гладкое решение дифференциального уравнения, будучи подставлено в разностное, удовлетворит ему, если только к /(х, с) в правой части добавить а(х, Ь т, Ь) — сеточную функцию, стремящуюся к нулю при уменьшении т, Ь.

Читатель может проверить этот факт с помощью формулы Тейлора. Явная схема, будучи разрешена относительно и(х, г+т), ср (С+ т), если х =О, —, и (х + Ь, С) + (1 — 2,—, /и (х, С) + —, и (х — Ь, с) -[- +т/'(х, С), если х=пЬ (п=1,2,..., Ь/ — 1), ф(С+ т), если х=УЬ, и(х, с+т)= переписать уравнения в виде системы па= р, а„и с+Ь„и„+схи„хс=дх, п=1,2„, У 1, илг= ф и применить лемму, доказанную в начале этого параграфа. Неявная схема позволяет получить неравенство без какого-либо ограничения на отношение т/ЬЯ. Итак мы показали, что гпах)и(х, С+т)[«гпах[ )ср[, )ф[, снах [и(х, С) [+т гпах[у [~. х х х,с Это нерзвенство отличается от нерзвенства, полученного несколько раньше в случае схемы для гиперболического уравнения гпах (и(х,с+т)~«снах [[ср[, [ф[, (1+тМ)гпах[и(х, С)[+тшах[У[~, х х жс только тем; что надо положить М=О. при т/Ь'«1/2 без труда приводит к неравенству псах ) а (х, с+ т) [ «гпах [ [ ср (с + т) [, [ ф (С + т) 1 псах [ и (х, С) [+ х х +тгпах[у[[.

х. с Точно тзкое же неравенство может быть получено и для неявной схемы. Для этого достаточно обозначить и(ЕЬ, С+т)=и„, а„=с„= — — „Ь„=1+2 —, (х=пЬ), е„=и(х, С)+т/(х, С) ([Ь„[=1+[а„[+)ах[), 382 |гл. ч Разностныи мвтоды Как уже было показано, такое неравенство приводит к оценке и|ах ! и(х, г) ( ~Ма |пах [)гр), )|Р1 ) У(, (ю(~. Из этой оценки и из оценок для погрешностей аппроксимации а (х, Е т, Ь) без труда выводится, что при малых т, Ь разностное решение близко к точному. Напомнии, что для шагов явной схемы предполагалось выполнение неравенства т/Ь' = 1/2.

На шаги неявной схемы никакого ограничения не накладывается. Читателю будет полезно провести нзмеченные здесь рассуждения подробно и получить оценку для погрешности. Ограничение г=т/Ья(1/2 для явной схемы существенно. В этом легко убедиться, если проверить, что и (х, г)=(1 — 4г)и' Ь'( — 1)"~ь является решением разностного уравнения и (х, Г+ т) — и (х, Г) и(х+Ь, Г) — 2и (х, Г) + и (х — Ь, Ф) ЬЯ вЂ” О, удовлетворяющим ири т=О начальным данным и (х О) Ьг ( 1)хгл С помощью етого решения так же,' как мы это делали для явной схемы в случае гиперболического уравнения, можно убедиться, что нельзя найти не зависящую от Ь постоянную М" в оценке разностного решения, если только при Ь -ь О отношение г =т/Ь' будет оставаться постоянным и большим — (при этом (1 — 4г!) 1).

Говорят, что при г=т/Ья) 1/2 явная | 2 разностная схема для уравнения пгеплопроводности неустойчива. Приведенные нами примеры покззывают, что часто удобнее пользоваться неявными разностными схемами, чем явными. Это, конечно, только в том случае, если решить неявные разностные уравнения легко. Оказывается, что для систем уравнений вида ия= р, а„и,+Ь„и„+с„и„+т=й„п=1, 2,..., Ф вЂ” 1, и =|р существует простой и удобный иетод решения, который во всех случаях, с которыми мы до сих пор встречались, к тому же еще слабо чустви- телен к вычислительным погрешностям. Он представляет собой один из вариантов хорошо известного метода Гаусса исключения неизвестных.

Сейчас мы его опишем, а в дальнейшем в э 38 проведем подроб- ное исследование. Уравнение и,=|р можно, положив Еи — — О, Ки, =гр, переписать так: ив=Ем,и|+Ко,. 383 НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ Уравнение атно + Ьтит + стив = д и исключив из него ио, можно теперь написать'в виде (а,Е. Н +Ь,)и,+с,и =де, — а,К е,. Если только а,1. б +Ь, ,-е О, что мы будем сейчас предполагать, то с, Ее — а,КН аеЬеб + Ь, о аеЕ П + Ье ' После введения обозначений с, ие — аеКеы ,т. и+ ь, у~*'* =,сн, + ь, неизвестное и, выразится через и с помошью соотношения и, = Ееб из + Ке|, .

Процесс исключения неизвестных можно продолжать дальше. Пусть мы уже имеем соотношение и„1 = Е,„еб и„+ Ко Исключив с его помошью и, ~ из уравнения а„ио ~ + Ь„и+ с,и„+ ~ = и„, приходим к соотношению ио = А,„+ б и„Ч 1+ Ко+ Н, где — о„ ~о+ е/е аоЬ вЂ” Н, + Ь„' Аео — логе о — Че ело+ еб = ° а„Ео — еб+ Ь„ ДЛЯ ВОЗМОжиОСтн ВЫЧИСЛЕНИЯ т'.о+ Н, Ко+ Ь НаДО, ЧтабЫ ЗНаМЕНатЕЛЬ а„Е„' н + Ь„не был равен нулю. Получив соотношение ил-1 =Ел- ниле+Кле — Ь и учитывая, что иле=ф, можно вычислить ии ю После этого им я определится из нерзвенства и ч- я=1.и епил 1+Кле и так далее, пока не будут последовательно определены все иле — зе иле н..., ио, ио, и„ио Интересно отметить, что при описанном сейчас процессе на решение системы из ео' + 1 уравнения уходит число зрифметических операций, только в конечное число раз большее Ф, тогда как на решение 384 РАзностные методы 1гл, ч произвольной линейной системы из Аг уравнений обычно приходи гся затрачивать число арифметических операций порядка Л'з.

Такого сокращения работы удалось достигнуть благодаря специфике рассматриваемых уравнений. Изложенный метод назывзется прогонкой и разбивается на две части. Первая из них состоит в последовательном вычислении «прогоночных коэффициентов» (прямая прогонка), а вторая — в рекуррентном вычислении неизвестных, начиная с ин, ин 1 и кончая и„ и, 1обратная прогонка). В дальнейшем в $ 38 мы покажем, что при использовании прогонки для решения широкого класса разностных уравнений никогда не придется делить на нуль.

Характеристики

Список файлов книги