1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Кроме того, будет показано, что этот метод мало чувствителен к ошибкам в промежуточных вычислениях. ф 87. Аппроксимация и устойчивость Схематизация проводившихся исследований погрешиосзи разиостиых решений. Понятия аппроксимации и устойчивости. Из аппроксимации в устойчивости следует сходимость. Пример разно«твой схемы лля уравнения — + да ди дг дк торую удобнее считать аппроксимирующей ие зто уравнение, а следствие из него. Разбор иа примере той же схемы нетривиальности понятия аппроксимации в граиичиых точках.
Разбирая разностные схемы для уравнения Лапласа, для гиперболических и параболических уравнений, мы всегда проводили исследование, разбивая его на два этапа. 1 этап состоит в проверке того, что интересующее нас решение и дифференциального уравнения Ьа=у, после подстановки в приближающее разностное уравнение У.зи= Д почти точно удовлетворяет этому уравнению. Как правило, устанавливается справедливость равенств типа 1.зи — Еи=018), Ези — 1л=ООгз+тз) и т. п (й, т — шаги разностной схемы). Проверка справедливости такого рода утверждений называется проверкой аппроксимацию 11 этап состоит в проверке так нззываемой устойчивости. Под устойчивостью понимают выполнение для решений разностных уравнений 1.зиа=Д„ неравенства 11 из ~~ М '1гз ~~.
Здесь !)из(~ 1(уз)) — какие-либо нормы, в которых измеряют «величину» разностного решения и„ и правой части Дз; М вЂ постоянн, не зависящая от шагов разностной схемы. Если разностные уравнения аппроксимируют дифференциальные и если имеет место устойчивость разностных уравнений, то легко доказывается близость точного и приближенного решений. 383 Аппиоксимлцияи устоичивость % 371 В самом деле, пусть Еи=Е Елил —— Ул, !у — ул!!=ет(Ь) (вт(Ь) — 0 при Ь вЂ” 0). Здесь через е,(Ь) обозначена оценка ацпроксимацни .правых частей. В нее, например, могут быть внесены ошибки, возникающие при приближенном решении разностных уравнений.
Чтобы е,(Ь) — 0 при Ь вЂ” О, необходимо с уменьшением шага увеличивать точность решения раз° постных уравнений, увеличивать число десятичных знаков, с которыми вычисляются значения ил (чтобы уменьшить ошибки округления). Ошибку аппроксимации !!Ели — Еи!! обозначим через е,(Ь) (е,(Ь)- 0 при Ь-вО). Из,равенств !!Ели — Ем !! = е, (Ь), !! Еи — )" !!= О, !! ~ — 1л!!=з, (Ь), 1Елил='гл !!= О, пользуясь тем, что норма суммы меньше суммы норм, можно получить оценку !! Ел (и — ил) !!: !! Ел (и — пл) !! = !! Елп — Елпл !! =/! (Ели — Еи) + (Еи — ()+ Д вЂ” 6) + + (гл — Елпл) !! (!! Ели — Еи !!+/! Еи — т'!!+ !!1 тл !!+ !! гл Елпл !! = =за (Ь)+ад(Ь). Теперь, воспользовавшись устойчивостью: !! и — ил !! ( М !! Ел (и — ил) ~, приходим к неравенству !!и-ил!!(М[зт(Ь)+зв(Ь)!-вО при Ь-ьО.
Близость точного и приближенного решений доказана. Все доказательства сходимости в предыдуших параграфах были проведены именно по этой схеме. Мы не будем заниматься полной формализацией этой схемы. Заме. тим только, что в понятие операторов Е, Е» нужно включать не только операторы, действующие внутри области, но н те, с помощью которых задаются граничные условия. Часто бывает удобным выбирать различные нормы для оценки и — пл и для оценки правых частей )л. Надо также отметить, что разделение исследования сходимости на . изучение аппроксимации и устойчивости является условным, и поэтому различные авторы при исследовании одной и той же схемы могут пользоваться им по-разному.
Мы сейчас рззберем один интересный пример приближенных разди ди постных уравнений второго порядка точности для уравнения — + — =Г, дг дк на котором можно понять характер тех модификаций описанной выше схемы исследования, к которым часто приходится прибегать. ди ди Уравнение — + — =1 мы будем рассматривать в прямоугольнике дг дк 0 = х ( 1, 0 ( т ( Т, а решение выделять начальным в граничным 13 С. К.
Гадуввв 386 1гл. ч РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ условиями и(х, 0)=ф(х), и(0, Ф)=ф(Т). Предполагается, что это решение имеет ограниченные производные вплоть до третьего порядка. Разделим отрезок 10, 11 на гч' равных частей длины й= 1/М. Каждая из этих частей будет шагом разностной сетки. Шаг по времени обозначим т. Разностная сетка будет образована точками Т=ит, 0(И~Т)т, х=тй, 0(т(М с целыми т, л. Выпишем для точек (х, 1) разностиой сетки разностный оператор и(х, Г+т) — и(х, 1) и(х+Ь, Г) — и(х — й, Г) т + 2Ь т (и(х+й, 1) — 2и (х, Г)+и (х — й, Г) 1 1 — ((.ьи).,с Ясно, что, значения этого оператора можно вычислить зо всех точках сетки, кроме точек, принадлежащих левой (х=О) и правой (х=1) грагтч ницам, и кроме точек самого верхнего разностного слоя ~Т=~ — ~). ттля исследования аппроксимации воспользуемся, как обычно, формулой Тейлора: тх та и(х, Т+т)= (х, 1)+ + — ии+ В ~т(х, 1+8 т), йз йа И (Х + й, Т) =и (Х, г) + йИ„+ 2 и «+ 6 Их„х (Х+ д й' йа и(х — й, г)=и(х, г) — йи„+ 2 脄— З и„„х(х — дай, г).
Подставляя эти разложения в разностный оператор, придем к равенству и(х, г+т) — и(х, 0 и(х+Ь, г) — и(х — й, г) т + 2й т и(х+Л, Г) — 2и(х, Г)+и(х — Ь, Г) 2 Ьа = и, + и„+ — (ив — и„„) + О (та + йя + йт), из которого виден первый порядок аппроксимации нашим разностным д д выражением дифференциального оператора — + —. да дх' Однако можно подойти к вопросу аппроксимации несколько по-другому. Лля этого заметим, что т ди ди т / д д1 !ди ди1 и+и + — (и — и )= — + — + — ( — — — ~( — + — ), " =дГ дх 2 (,дГ дх) (,дГ дх) % ап аппгокснмацня н истопчнвость 387 и поэтому на решениях уравнения ди ди — + — =У дт дх можно утверждать, что и(х, Г+т) — и(х, 1) и(х-)-Ь, Г) — и(х — Ь, 0 + 2Ь т и(х+Ь, Г) — 2и(х, Г)+и(х — Ь, Г) .
т (д( д)') 2 Ьа 2 абдт дх/ Для получения второго порядка зппроксимации нужно в качестве правой части разностного уравнения в точке (х, 1) задавать не 7"(х, 1), (ду д)1 а у(х, Ф)+ — ! — — — 1, Так построенное разностное уравнение будет 2 (,дг' дх)' аппроксимировать не исходное уравнение и,+их=у, а вытекающее ив него уравнение иг+и + 2 ("и —" )=у+ 2 (уг — И. Если рассматривать решение уравнения с правой частью у(х, !)=О, то т ,7+ — (7,— ~)=0, и на таких решениях разностное уравнение 2 и(х, Г+т) — и(х, Г) и(х+Ь, 7) — и(х — Ь, 0 т + 2Ь т и (х+Ь, Г) — 2и (х, Г)+и (х — Ь, Г) 2 Ьа аппраксимирует уравнение и,+и,=О со вторым порядком точности.
В дальнейшем мы и ограничимся рассмотрением только этого частного случая уы О. Разрешим наше равностное уравнение относительно и(х, 1+я): + и(х+Ь, Г) — и(х — Ь, С) 2Ь та и (х -1- Ь, Г) — 2и (х, Г) + и (х - Ь, ' Г) +2 Ьа Если при некотором фиксированном г нам известны значения и(х, г) во всех точках х сетки, то с помощью этой формулы можно определить разностное решение на момент времени 1+т во всех сеточных точках х, кроме самой правой (х=1) и самой левой (х=О). В этих точках пользоваться выписанной формулой нельзя, так как для них не определены либо и(х+Ь, (), либо гг(х — Ь, !).
Однако на левой границе (х=О) значения и(0, г+т) заданы в качестве граничного условия. Нам остается указать лишь правило для вычисления и(1, (+т) для точек х=! правой границы. Мы предлагаем пользоваться на этой границе равностным уравнением (1, Г + т) -и (1, Г) и (1, Г) — и (1 — Ь, Г) 0 + Ь 13' элзностя)ыв митоды 388 С помощью формулы Тейлора нетрудно убедиться, что для гладкой функции и(х, 1) такой, что и!+и„=о (а следовательно, им=их„), справедливо соотношение и(1, Г+т) — и(1, Г) и(1, Π— и(1 — 6, Г) т И а и! их 2 ии тт лт т — Ь + Е иш(1 т+8тт)+ ем~ „(1 — оал, т)= 2 гги(1, г)+0(т +и'). Мы видим, что если й О, а т/))=г фиксировано и г ~ 1 (т ~ )!), то это граничное разностное соотношение выполнено нз решениях только с первым порядком погрешности О()!).
На первый взгляд может показаться, что это должно привести и к погрешности в решении порядка О()!). Мы сейчас покажем, что это не так. Погрешность рааностного решения будет порядка 0(ла). Начнем исследование с некоторых вспомогательных построений, Обозначим через 8(1) остаточный член разностного граничного условия т — Ь лт Ю(1) 2 ии(1 Ф)+ 8 ЕХШ(1 1+8, )+ —,и„„„(1 — е,)г, г) и заметим, что для функций и(х, т), имеющих ограниченные производные третьего порядка, Ю(1+ т) — Я(1) = 0 (т') = 0 (Ьа) (т г)г), 8(1) = 0 ()г).
Построим теперь сеточную функцию 1 ! — хч У.(, 1)=~(1) 8-'+2-'~(,'+,')"-(~+') " ~=-8(1) )~( ). Легко проверить следующие свойства Уа(х, г) для всех сеточных точек 0(л(~1: 1. Уь(О, 1)=О, 2 Ул (т 1) = Я (Ю) 0 (6) = 0 (/!а), 8 Уь(™+т) — Уь(х г) (г+ ) — (~),0(8) ()(йт) Прежде чем проверять свойства 4 и 5 у Уь(х, 1), удобно сначала убе- диться в том, что входящий в формулу для Уь множитель удовлетворяет рааностным уравнениям Р (1) — )т (1 — Л) я Р(х+Л) — К(х — Л) т Р(х+Л) — 2Р(х)+Р(х — Ь) 2л и — о.
389 лппгокснм«ция н устончнвость Выполнение этих равенств для 1((х) проверяется непосредственной подстановкой. Теперь легко убедиться в том, что Р«(1, Г+т) — $/«(1, Г) Р«(1, И) — У«(1 — И, 1) т И 8(Г+т) — З(!) „1,, „, !1(!)-г(! — и) =О(Ь) О(Ь)+ 8(1) ( 1)= — 8(1)+О(ла), К«(х, г+т)-1«(х, Г) К«(х+И, б-Р«(х И,!) т + 2« Г «( +И. ) — 2Р«(х, !+ «( — ° Г) ~ 2 ( И« Ю(г+т) —.З(!) (к(х+И) — К( — И) т Я(х+И) — 2!1(х)-1-Р(х — И) ~ 2 И« () К(х)=О(И) О(Ь)к— м О(ИЯ).
1(ва последний равенства и составляют содержание свойств 4, б функции Ъ'«(х, !): 4 $«(1 Г+т) — !'«(1 Г) + р«(1 Г) — !'«(1 — И !) о(1)+О(ьа) т И Ю«(х, Г+т) — р«(х, Г) 1~«(х+И, 11 р«(х И, Г) + т «!г(х+И, С) — 2Ь'«(х, С)+Р«(х — И, Г) И« На рис. 86 изображен график сеточной функции (г«(х, 1) при некотором' фиксировайном ! в окрестности точкй х=1. (Случай г(! нам Рис.
86. только и нужно будет рассматривать в дальнейшем, поэтому при построении графнка мы польвовались тем, что г(1.) В формуле для ъ'«(х, 1): множитель о'(г)Ь ° — от х не вавнсит н определяет «амплитуду» гра1+г 2 фика. Он имеет порядок ИЯ. разностныв мвтоды !гл. и !г — 1 ! !/а Первое слагаемое в квадратных скобках ~ — ) при Ь 0 убы~г+ !) вает быстрее любой степени Ь, а следовательно, при достаточно мзлых ! — к l~ — 1!— Ь на графике не будет видно. Второе слзгаемое — ( — ) " является ~ +!) геометрической прогрессией с отрицательным знаменателем, по модулю меньшим 1, затухающей влево. Точки этой прогрессии и изображены при х=!, х=1 — Ь, х=1 — 2Ь,... на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
