1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Опишем теперь операторы Р,«, которые будут участвовать в наших итерационных процессах. Те процессы, о которых я буду рассказывать, были изобретены при помощи следующей элементарной физической аналогии. Представим себе, что мы хотин построить решение уравнения дал д'и дхз дуз — + — =О в некоторой области О, такое, что и <г =ф. Под функцией п(х,у), как мы знаем, можно подразумевать стационарное распределение температуры в цилиндрическом теле, которое там устанавливается, если на граничной поверхности в течение длительного времени подаерживается температура ф. Это толковзние решения наталкивает на следующую мысль. Рассмотрим нестационарное уравнение теплопроводди дзи дга ности — = — -+ — в той же области О, с тем же граничным условид! дх' дуя ем и<г=ф (ф не зависит от !).
Естественно предполагать, что каково итеРАционные НРОцессы для зАдАчи ДНРихле 400 бы ни было начальное распределение температуры и(х, у, 0) ия(х, у), решение нестационарной задачи будет при 1 -ь со стремиться к стациаи д'и онарному распределению, описываемому уравнением Лапласа — + — = О. дхх ддз — . Поэтому, естественно, приходит идея использовать разностные аппрокСимации уравнения теплопроводности для построения разностных процессов, устанавливающихся к решению разностного уравнения Лапласа. Простейший из этих процессов получается, если аппроксимировать ди дзи д'и уравнение — = — + — при помощи следующей схемы д> = длз дзз и (!+т, х, у) — и (А х, я) ц + „~ Значения и(й х, у) в граничных точках сетки предполагаются заданными и не зависящими от г. Если воспользоваться нашими разностными уравнениями, обозначить и(0, х, у) через и!а>, а и(1, х,у) через и (х, у) (л>=1>т), то мы приходим к следующим формулам для определения и! > через и! ( и!и '>(х, у) в граничных точках, >(х У)= и' " (х, у)+т(А„„+А ) и! '>(х, у) во внутренних точках.
Тем самым мы определили оператор Р, преобразующий и! '> в и!"'. и1~>=Ри!" т>. В данном случае операторы Рм не зависят от номера итерации т:Р,=РА=...-Р„=Р. Очевидно, что так определенный оператор.удовлетворяет поставленным нами в начале парзграфа требованиям (1) и (2), т. е. он не меняет граничных значений и не меняет точного решения уравнения (А„„+ -)-Ь )и=О. )госмотрим, как преобразует оператор Р наши базисные функции и>Р М (х, у)=з!прхлз>п дул(р, д= 1, 2, ..., А> — 1).
Эти функции на границе принимают нулевые значения. Теперь заметим, что Ь„„и!Р м=з!п уулА„„з!прхл= ап р (х+Ь,) л — 2 ап рхл-1- и!я р (х — А,) л = з!и !)Ул 6„' 2 =з!п дул —,(соя (рй л) — 1) з>прхл= Ь' 2>Ч = — — „з!пз р —" и!Р м (х, у) = — 4№ з1 па — р и!Р 4> (х, у). Аналогично устанавливается, что Ьгуи>Р и= — 4№з!пз — А~ и!Р м(х, у), 410 нхзностныв мнтоды !гл.
ч Теперь очевидно, что Рив ч>= [! — 4т№ (в!и — Р-+в1и — ч > ! и>Р Ю(х, у), 2М 2УД т. е. что преобрззование Р умножает вектор и>р в' на множитель ).<Р' 9> = 1 — 4т>чв (в!пв + ви>в 2Ф 2Л>/ ' Пусть с ч — коэффициенты разложения сеточной функции о1~ ">(х,у)= = и>л т[ — и по базисным функциям иы ю(х, у) ооя '>=~я,'ср ви>р ю(х, у), так что[и'" т>[= [l '5,'ср',ч.
Тогда [о!"'>[= [/ ~ [Л>р ч>1з ср' р( >пах ! Л!р ч>) ~I2'; ср ч — — шах ! Л!р ч> [[и!"' т>[/. лч р>а Из приведенных сейчас формул видно, что постоянная шах ! Л>р ч>[ рв Ф6 в оценке, „>>~шах>Л ))ы '! (л Ф не может быть улучшена. Обозначив Л (т) = шах) Л>р Ф~, мы рч получаем следуюШую неулучг-м' шземую оценку для скорости убывания погрешности о!л> при итерациях: )>пор> [( [Л(т)]" >[о(0) [. Рнс. 87. Ясно, что если т таково, что Л (т) ) 1, то процесс будет рзсходиться, по крайней мере для некоторых начальных дзнных, и что при Л(т) ( ! скорость сходимости тем быстрее, чем Л(т) меньше.
Вычислим Л(т) = шах [1 — 4т>>>в ! в!и' — + в!п' — 1 ~. )хля этого заметим, что л лр . л(М вЂ” 1) .!л л> л чГ .вл в!и — ~ в1п — ( в!и 2л 2>ч - 2вг [,2 2л,) — 2>ч У =вш[ — — — )=сов — = у 1 — яп — -, 2>>> ' а следовательно, что яи' — ( яп' — ( 1 — яи' —, 2Ф' нтиглционныз пвоциссы для задачи днвнхлв . 411 з зз) Аналогично Б1пз2М«з!и 2"9«1 — з)п -"— (и верхияя и нижняя границы здесь достигаются). Очевидно, что Л(т))! при т«(), и поэтому достаточно ограничиться разбором положительных т.
Мы видим, что 1 — 4т№ ~2 — 2з!пя — )«! — 4т№~з!пз'— ~+з!пз — ! =1 — 8 № ' з — ", 2А(! — ! '2))г 2а( — т 5!и (1 — 8т№) + 8т№ з!пз — «)Ф а) «1 — 8т№ з1пз —, 2Л" ~ (1 — 8т№) + 8т№ з1па — ! Л(т)=шах 1 — 8т№ з)пз — ! 2)(( ! 1 — 8т№з!пз — при 8т№:я= 2, 2а( — ~(! — 8т№)+8т№зш' — "] при Зт№) 2. 2А)1 График Л(т) изображен на рис. 87. Нзименьшее значение Л(т) дости- 1 гается при т= —,, которое следует считать оптимальным. При этом Л (т) = 1 — 8т№ зш' — = 1 — 2 з!пз —, 2))( Таким образом, мы получили рекомендацию вести процесс по формулам и(а ')(х, у) в граничных точках, (а д) 1 а(м) и а)+ [Л йорн+Лууп(" ))] во внутренних точк х и оценку и( "(т,у) в граничных точках, ( -а 4 [и( )(х Ь у)+и( ~)(ху Ьг)]+ 1 + 4 [Пса (Х+Ь„у)+и Ы(Х у+Ьа)] (а)( во внутренних точках.
для убывания погрешности. Если подставить вместо Л„ Л их выражения с Ь„=Ь = 1/Ф, то'итерационные формулы запишутся для нашего процесса в следующем изящном виде: 412 Рлзностныи метОды !гл. ч На каждой итерации значение во внутренней точке (х, у) надо заменять на среднее арифметическое в четырех соседних точках.
Прикинем, какое число л> итераций требуется в этом процессе, чтобы погрешность (!в<л>!! стала меньше, чем в!)о<е>(!. Лля этого надо найти т из уравнения л >ш в=(1 — 2 е1п' — ~ 2>>(~ Следовательно, 1пе !пе ' 2М( 1 — 1и —. л> ле /1> л' Т' !и (1 — 2е!пе — ) — +е ( — ) 2Л() 2л(е '<>>(е,) Число итераций, потребное для одинакового уменьшения погрешности, растет с увеличением числа точек как №. Это является серьезным недостатком описанного очень простого и удобного процесса. Из-за этого недостатка целесообразно пользоваться исследованными сейчас итера.
циями лишь при небольшом числе точек сетки. Теперь мы. перейдем к описанию другого процесса, свободного от этого недостатка. В этом процессе переход от ц< '> к и< > осуществляется в два приема. Сначала находится вспомогательная функция ц< †> решением системы разностных уравнений и(л >/е> — и(л д <т-<>е>+д ц<л — и " " ц<т — ие>! ц< -и х УУ Эти уравнения не позволяют сразу выписать формулы для ц<" — (>е>(х,у), но могут быть решены с помощью прогонки. В самом деле, каждое из разностных уравнений связывает значения неизвестных и<" Ие> в трех точках (х — »„,У), (х,)(); (х+»л;У).
УРзвненнЯ ЧРассланваютсз», обРазуя независимые друг от друга системы для каждого фиксированного у. Каждая из этих систем — в тдчноСти того типз, который нужен для применения изученного нами взрианта метода прогонки. После того как ц< †' >(е> найдено, функция ц< > находится решением следующей системы: и<~> — и<~ > в> д (и<~> — ц<~ '>)=" "; ц( >>г=и<'"-<('>. УУ Эта система для ц<ег> опять расслаивается на сиСтемы (каждая при фиксированном х), решаемые прогонкой.
Оказывается, что из всех приведенных уравнений можно исключить ц«"'-ц> и получить уравнения, непосредственно связывающие и<~> и ц(л — '>. Введение ц<л — ые> нужно лишь для того, чтобы свестн решение разностных уравнений к одномерным прогонкам. Выразим и<л >ц> из второй системы: и("' — Ьц>=и<в> — тд (ц("'> — и< — '>) УУ и подставим это выражение в первую. Получаем равенство д„„ц<~>+ дггц<~> = + тд„„д <ц("'> — ц< т>). % 39! ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ мз Это во внутренних точках. На границе же и< '=иов ". Довольно ясно, что при малых т эти уравнения опять-таки могут рассматриваться как некоторая аппроксимация уравнения теплопроводности. Так они и были придуманы. Очень важно для осуществимости процесса, что эти двумерные уравнения «расщепляются» на независимые одномерные.
К настоящему времени такие же расщепляющиеся схемы построены для всех основных многомерных уравнений математической физики. При исследовании итерационного процесса, определяемого выписанной системой, мы отвлечемся от физической аналогии с уравнением теплопроводности и не будем вовсе требовать, чтобы параметр т был маленьким. Эта аналогия была существенна лишь для того, чтобы подтолкнуть к изобретению процесса.
1«1ы будем строить последовательность оперзторов Р„ Р,, ... по одному. и тому же правилу, описанному выше, с тем только отличием, что каждому значению лг будет отвечать некоторое вполне определенное значение параметра т=тмл входящего в описание оператора.
Итак, уточним описание оператора Р: 1) В граничных точках значения функции ш=Ри совпадают со значениями и. 2) Во внутренних точкзх вначения вл=Ри находятся как решения разностного уравнения в-и Л „то+ Л ге= — +тЛ„„Л у!Тв — и). Покажем, что оператор Р этими условиями определен и удовлетворяет требованиям 1), 2), сформулированным в начале параграфа. Выполнение 1) — совпздение граничных значений — очевидно. Выполнение 2) — т. е. совпздение ти и и в случае, если Л„,и+Л Е=О,— мы проверим сейчас одновременно с доказательством разрешимости уравнений для ги и с единственностью решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
