1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 65
Текст из файла (страница 65)
86. Рассмотрим теперь сеточную функцию В'а(х, ()=и(х, !)+ Ъ'а(х, 1) — иа(х 1). ди ди Здесь и(х, !) — гладкое решение уравнения.— +-=О, и„(х, Е) — решедк ние рззностных уравнений ии(1, Г+т) — иь(!. 0 иа(1. Г) — иа(1 — Ь 0 + ' „' — О, и„(х, г+т) — и» (х, !) иа (а+ь, г) — иа (» — ь, й) т 2Ь т ~'иа (а+а, !) — 2иа (х, !)+иа(х — Ь, Г) 1 — О, удовлетворяющее тем же начальным условиям и принимающее те же граничные значения при х=О, что и и(х, !). Легко убедиться в том, что а) Иуа(0, !)=О, Ь) !Ра(х, О)=О(Ьз), !Ра (», с+т) — !Ра (х, с) Ига (Я+Ую, г) — йгь (Я вЂ” ь, !) с) ' ' + т ига (я+ и, г) — 2!ра (я, !) + йг» (х -ь, г) 2 Ьз ,1) йгл(!.г+т) — йг«(! 0 "'а(! !).— йга(! —" 0 0(Ьз Чтобы усвоить идею разбираемого сейчас построения, читатель должен с карандашам и бумагой проверить, что равенства а), Ь), с), д) действительно верны.
Можно надеяться, что исходя из этих ранено~в, получается оценка )г'а(х, 1)= 0(йа) для функции К5,. Отсюда и из того, что Ъ'а= 0(Ьз), мы приходим к выводу и(х, !) — иь(х, !)= Яуа(х, !) — )га(х, !)= 0(Ьз). Таким образом, все проведенное нами исследование можно рассматривать как проверку аппроксимации, а получение оценки ЯГа(х, !)=0(Ьв) из разностных уравнений для !!та — как доказательство устойчивости схемы. (Это доказательство будет проведено ниже при г( 1. При г) 1 схема неустойчива, как это следует из соображений об областях влияния, разобранных в 2 35.) АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ Проверка аппроксимации, которую мы проводили, очень поучительна. Во-первых, она показывает, что иногда удобнее считать, что разностная схема аппроксимирует не исходное уравнение Ьи=с, а какое-либо другое, являющееся его следствием.
Так, в нашем примере оказалось удобным рзссматривать аппроксимацию не уравнения — + — =г, а вытеди ди дс дх кающего из него ис+и„+т(исс —" )=.с+т(сс — с ) Во-вторых, проведенное изучение аппроксимации граничных условий учит тому, что к выводам, получающимся путем формального примене- ния тейлоровского разложения, надо относиться с осторожностью. В нашем примере таким формальным путем удалось убедиться лишь в аппроксимации порядка О ()с), то~да как фактическая точность при- ближенного решения †()са).
На самом деле и в нашем примере можно ввести понятие аппрокси- мации, так чтобы она обеспечивала порядок О ()са). Мы не будем зани- маться этой формализацией, так как она по существу представляет некоторое другое изложение проведенного нами исследования. Это изло- жение нисколько не проще и менее нзглядно. Желающие могут с ним ознакомиться по нашей (совместной с В. С.
Рябеньким) книге «Введение в теорию разностных схем». Переходим к исследованию устойчивости. Мы докажем, что решение разностных уравнений тв(0, 1)=0, пс(ж, 0)=ср(х), в(х, С+т) — в (х, С) в(х+Л, С) — в(х-л, С) т + 2Л в (х+6, С) — 2в (х, С)+в(х — И, С) 2 АЯ вЂ” сс(х, 2), в (1, С+т) — в (1, С) в (1, С) — в (1 — 6, С) т + А удовлетворяет оценке: шах)!тв(1))/(сопв11'1гв(0)/)+шах!)Р(1)!)+шах)ф(1) (~. с с Здесь приняты сокращенные обозначения: 1 ~~~ и( ' )+2 х<! — А !)Р((н)=1/ й Х РЯ(х, 1).
зс А(~х~с-» Как видно из этих обозначений, мы будем доказывать устойчивость в разностной евклидовой норме, являющейся аналогом нормы гильбертова пространства Ея. Доказательство несколько громоздко, и я привожу его только для полноты вывода. 392 (гл. ч назностныи мнтоды Очевидно; достаточно доказать, что Ц (С+т)Ц =Ц (С)Ц+ М([[Р(С)Ц+Нф(С))) Действительно, из етого неравенства следует, что снах ()[в (С+ г) Ц, вах ЦР (С) Ц, вах ! ф (С) !) ~ с ~ (1+2тМ) псах[[в(С)Ц, снах/[Е(С)Ц, псах [ ф(С) [), с с откуда цв(С) ц((1+2тМ)" снах ()[в (0) ~[, снах [Р(С) ц, спад ~ ф(С) [) и, следовательно, гоах цв(С) Ц(сопя! [цв(0) ц+псах[Г(С) [+!пах $ ср(г) [1. о<с<у [ с Если в (х, О) =0 (йз), Р(х, С) =0 (/сз), ф (С) =0(йз), то и в(х, С) будет порядка йз а смысле нормы.
'*ЦС'ь ~ юьс~ — юа.ь Ь 2 а<а~!-л Переходим к доказательству неравенства ![в(С+т) [к[в(С) Ц+тМ(Цр (С) Ц+[ф(1) [). Разрешим разностные уравнения относительно в (х, С+т): в(0, г'+т) =О, в(х, с+т)=в(х, С) — — [в (х+Ь, С) — в(х-й, С)[+ 2Ь тз + — [в (Х+6, С) — 2в(х, С)+в(х-й, С)[+ г Г (х, С) (х=й, 2я, ..., ! — 61, в(1, с+т)= (1, с) — — [в(1, 0 — (!-л, с)1+уф(с). Ь Сеточная функция в (х, С+т) на временном слое С+т может быть представлена как сумма в(х, С+т)=г(х, С+т)+тР(х, С); где г(0, С+т) =О, г (х, С+ т) = в (х, С) — — [в (х -1- й, С) — в (х — й, С)) + 26 + — [в(х+й, С) — 2са(х, С)+в(х — А, СЦ (х=й, 2й, ..., 1 — 6), та г(1, С+т)=в(1, С) — — [в(1, С) — в(! — а, С)), сс 0 при х=О, Р(х, С) г" (х, С] прн 6(х~! — Ь, ф(С) при х=1.
393 Ф зг! АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОИЧИВОСТЬ Очевидно, что !г!ц!-)гг — "л и!~-~~и<*, и к «-)(АФМ)+1/ А 2ХРз(х, () =УА ! р(())+)(2))Р(())!. к При достаточно малых (! ~! Р (() )~ ( М (! др (() ) + () Р (() )!) (М = )( 2 ). В этих обозначениях аз=О, вл=О, г гз хл = дел — (вл+д — ва-д) + — (вам — 2ва+ вл-д) 2 2 г =(1 — г) в, +гв, ы А( = Н(ь 1( а< А( — 1, ( А! — ! 2 и ! ( А' — ! т ъд Л р( и~( " 2 л ' л=! Весь вопрос, таким образом, привелся к доказательству неравенства (г ~ 1) А( — 1 У вЂ” ! 2 и' и,'м " 2 1 1 л ! и ! При 1(п(У вЂ” 1 (0(г(1) (г ( г гз! за=~ — + — )в,+(1 — г')в +~ — — + — )в д а=~2 2) и- л ~ 2 2/ л+ ° "„=~(2+'2) .,+( -") .+(- —;+ — 2) .„~* Г( г гад ( г гз' 1з !12+Ю " +(! В л+! 2+2(влд) + гз (1 — г') гз (1+г) + — (и! — 2в +в )з= — вз +(1 — г!) в!+ 4 а-д л аид 2 а — д и гз (1 — г) + в д — (1 — Ч(вав д — в ).
Отсюда (в((+т) ф=)!з ((+т)+тР (() ))(1г((+т) !!+т)(Р(!) Ц( ()) г ((+ т) $+ тМ (! др (() ~ +!! Р (() )р. Нам осталось доказать, что )! г (Е+ т) !) ( !) в (() )!. Введем упрощенные обозначения г(х;(+т)=хл, п=х(М в(х, () =вл, г =т(Ь. !гл. и 394 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ Просуммируем неравенства для г'„, учитывая при этом, что и,=о: А! — ! «1(1 — г), г'(1+г) г„'( — и', — и',, + я=! + — +(1 — «')+ [ у и„— г(! — гэ)(и,, и, — О.и )— ! гэ (1 — г) «1 (1 + г)1 ч 1 !ч — ! г' (1 — г) , 'гз (1 + г) и! !— иг — г (1 — гэ) и, им+ и' ~ е 1 Аг — ! — и",— г(1 — «1)и„тик+ ~~ и,*, гз (1+г) е ! Далее, 㫠— ! !ч — ! 1 Ъ! гй — и' г' (1+г) 1 — г„'+ у гэ-с — — и~ - — г(! — гэ)и и, + — и1,+ ~' и„' 2 и~а " 2 2 -1 2 э=! «=! Достаточно доказать, что г~м — П1м~ «1 (1 + Г) 2 — — и' — г(! — гэ) и1ч и (О.
2 !и — 1 -1 При этом мы должны использовать равенство г„=(1 — г) и,+ги, Преобразуем левую часть доказываемого неравенства: г" — и' «' (1+ г) 2 2 -1 и1, — г(1 — «1) иа, -1 [(1 — г) им+«из«[в — и', «1 (! +г) 2 2 -1 и)г .— г(! — гз) и, '-1 1-(1 — г)1 гз — им — гэ (1 — г) ими . — — и' 2 -1 2 -1 2 1 — (1+г) (! — «)1 и~и — —, [(1 — г) им+ ги1ч ]г ( О.
2 -1 Этим заканчивается доказательство устойчивости схемы при г ~ 1. $ 38. Метод прогонки Хорошо обусловленные системы уравнений, возникаюшие из разностных схем. Разрешимость н хорошая обусловленность систем с близкими коэффициентами. Получение оценок прогоночных коэффициентов для хорошо обусловленных систем. Эти оценка выполнены как для исходной системы, так и для всех к ней митод прогонки близких. Неравенство нулю знаменателя в прогоночных формулах.
Схема реального вычислительного процесса. Сведение его к точному решению близкой системы. Ошибка результата зависит от максимума ошибок на каждом из шагов вычислений, но не зависит от числа шагов. Нами был описан метод прогонки для решения рззностных уравнений а„и„,+Ь„и„+с„и„=л (п=1, 2, ..., Аà — 1), иа=ф, им=ф. Теперь мы займемся исследованием чувствительности этого метода к вычислительным погрешностям. Мы будем предполагать, что система разностных уравнений «хорошо обусловлензю Под этими словами мы понимаем выполнение для решений системы следующих неравенств ~ и„( ( М шах [( ф (, ( ф (, ( Ьь ().
(1) Обычно при изучении разностных схем приходится рассматривать не одну систему разностных - уравнений, а целое семейство таких систем, получающихся при различных шагах сетки. При уменьшении шагов число Аг уравнений стремится к со. В неравенствах (1) предполагается, что для всех систем, принадлежащих рассматриваемому семейству, постоянная М одна и та же, иными словами, что при росте АГ эта постоянная не возрастает. Мы видели, что для неявных разностных уравнений, получавшихся при аппроксимации гиперболического и параболического дифференциальных уравнений, это обстоятельство действительно имело место. Наряду с основной системой а„и 1+Ьаиа+с„иь т=ль (и=1, 2,..., Аà — 1), сге=ср, идг=ф мы будем рассматривать тбкже все «урезанные» системы а„и д+Ь„и„+с„и т — — и (п=р+1, р+2,..., р — 1), и =ф, и =ф (р~р+2) и предполагать, что их решения удовлетворяют аналогичной оценке с той же постоянной М: ( и„( ч-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
