1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Предположим, что на слое г =го во всех точках сетки мы уже определили разностное решение ио(х, Го), и покажем, как его определить на слое с=го+я. В точке левой границы (О, 1о+т), если 7оо(0, го) О, в силу граничных условий задано и;(О, го+ т). На правой границе, если л;(т, го)(0, задано и,((, го+т). Во всех остальных случаях действуют разностные уравнения и, (х, Го + т) — и, (х, Го) .
. . ( , и! (х, Фо) — и (х — А, Юо) + + ~о лоцс9 (х о о) =уо (х оо) если А~(х, го)) О, или ио(х то+о) — ио(х Го) ~ й, г, иг(х+А Го) — и;(х, Га) + А + ~Ч~~ гифиу(х, Ео) =7о(х, (о), если йо(х, то)(0. Из этих уравнений и,(х, го+я)=~1 — — „) ио(х, го)+ т(АН~ + — '„~ и;(х + )Ь (о) — тХ шциг(х оо)+тЛ(х (а)- 368 назностныв мятоды 1гл. ч Эта явная формула и доказывает разрешимость.
Нам еше будут нужны оценки разностных решений. Аналогичные оценки мы получали в гл. П при изучении теоремы существования. Несмотря на это, мы их сейчас выведем заново, тем более что сейчас оценки нам нужны в ином, существенно более грубом виде. Пусть заданные в качестве граничных значения сй (О, 1), и; (Е, т), начальные данные Ш(х, 0) и правые части ~~(х, т) оцениваются постоянной Е )и;(О, т)[~гч, если й,(0, т))0, [и~(Р, 1))(Р, если Угс(Е 1)(0 [и;(.е, 0)[<Р, [Я(х, Е)[(Р. Пользуясь этими оценками и нашей явной формулой для вычисления ш(т, г) на последовательных временных слоях сетки, мы сейчас получим неравенство для разностного решении.
Лазайте только еше потребуем, чтобы во всех точках (х, т) сетки выполнялось следующее неравенство: т[а~(л, 1) [ и Насколько это ограничение на шаги необходимо, будет выяснено несколько позже. Пусть г, †некотор временной слой сетки. Обозначим У(тв) = = шах [шах[и;(х, гв)), 1-'[. из нашей явной формулы для величин на 1х,~ слое 1„+т и из задзнных граничных условий вытекают неравенства )и;(О, г,+т))(Р~У(тя), если й,(0, г,+т))0, [ис(1,1,+т))(Р(У(1д), если Уг,(Р, г,+т)(0, [и,. (х, С,+т) ~. ~(1 — '[„" [) у(С,)+'[аН у(1,)+ тМу (С,)+ тр~= =У(С,)+ МУ(1,)+тр (1+тМ+т) У(1,), [ш(»1)[[1+т(М+1)]У(0)([1+т(М+1)[Р( ( [1+т(М+ 1)[' Е:а- МэЕ' г (у нас 0 =1(Т, выражение [1+т(М+1)[' при т-~-0 стремится к конечному пределу ем'+и г и, следовательно, ограничено).
С помощью полученной оценки легко доказать, что изменение прзвых частей разностных уравнений на величину порядка й приводит к изменению решения на величину того же порядка. а ан эазностная схема для гипеэволическои системы 369 В сэмом деле, пусть ио(х, 1+т)=~1 — — „(ио(х, ()+ — оио(х.+ й, г)— т / Ар !1 т ( а~ ( — т ~ гп;тит (х, () + т~~ (х, с), т йо(х, С+т)=(1 — — ') й;(х, ()+ — 'йо(х +-й, ()— — т 'У, 'т„йт(х, ()+ т~ (х, (), ( Я вЂ” Я ~ С сопя( й, т а начальные и граничные звачения у сеточных функций и; и й~ совпадают.
Тогда разность ио — й~ =аз удовлетворяет аналогичным разностным уравнениям тзо(х, г+т)=~1 — т ' „' ~аь(х, г)+т ' аь(х-+ й, й)— ( йо (х, 0 ( 1 ( й~ (к, е)( — т'5',тори,(х, Е)+тЦ(х, Е) — К(х, 1)), у аь(х, 0)=0, ай(0, 1)=0, если йр(0, ())О, ай(Е, Ф)=0, если й,(У, ()(О. Как мы знаем, всюду ) и, — й, ( = ( ай (х, г) / ( Мо гпах ! А (х, () — Я (х, г) ) ( сопз( й. Обоснованием этого неравенства мы закончили исследование разностной схемы в случае, если на шаги наложено ограничение шах — ( 1.
т(йу ( й Теперь на примере схемы для одного урзвнения с постоянным коэффициентом й (й ) 0) ди ди д(+ д и! о - о = Л (х) и!» - о = Л (() Хо (О) = Л (») покажем, что предположение тй/й =.1 понадобилось нам не только как удобный способ упростить доказательство. Оно нужно по сушеству. В случае, если это предположение не выполнено, для решений разностной системы ((х, () пробегают точки сетки) и (х, г-(- т) — и (х, 0 , и (», г) — и (х — й, г) и(о-о=Хо(х) и! -о=А(() (О~хи г) Рлзностныв мвтоды Зуо 1гл и нельзя получить оценки шах'1и(х, Ф)) =сопя(шах(/ у(х, С)| ~Ул(х)/ )Л(1)!3 с постоянной, не зависящей от Й.
В самом деле, положим г"(х, 1)=0, Л(()=о, Ут'( — 1)"!л при Хо (х) = 0 при У~х)0, х= О. Для вычисления решения на слое С+т по уже известному слою находим формулу и(х, 1+т)=(1 — —,, ) п(х, ()+ — и(х — А, 1), тй из которой видно, что значения м(х, г) в точках, лежащих правее прямой х — Ы/т=О, получаются только с использованием начальных данных ул(х) и никак не зависят от грани12 чных значений гл(1). Чтобы это стало наглядным, достаточно посмотреть на рис.
82. На этом рисунке уголками l. л объединены точки, входящие в одну разностную формулу, а прямая х— о л о о — Ы/т= 0 намечена пунктиром. .3! ~ Оказывается, что разностнае решер о о о ) нне правее этой прямой допускает знзлитическое представление следующего Ю вида: Рис. 82. п(х л) — ),п-.йл( 1)х!л Действительно, эта функция удовлетворяет начальным условиям, а под- ставляя ее в левую и правую часть разностного уравнения й г х г — л Ы( 1)й (1 тй))„. йл( 1)л +та)„УЫ( 1) л после сокращения на Хп'Ь*( — 1)"/л найдем, что это уравнение будет выполнено, если Х=(1 — — ) + — ( — 1) = 1 — 2 —.
тй1 тй тй й) й й' п(х, г)=( 1)л ° ~2 11 й' л Итак, мы убедились, что при х)йг/т решение нашей разностной задачи дается формулой 5 ЗЩ РАзиостнАЯ схемА для ГипеРБолическои системы 371 Фиксируем теперь отношение т/и так, чтобы т/г//г было больше единицы (т/г//г) 1). Тогда 2т/г//г — 1) 1 и 2 — — 11 /г —:~Со при /г-~.О, 1' несмотря на то, что шах[]г(л, 1)], ]Уз(х)(, !/т(/)]]=шах]Д,(х)]=/г*~О. Невозможность получения оценки шах]и(х, г)]»сопя(шах[!Дх, т)1 ]/з(х)1 !/т(т)!] х.
г тем самым доказана. Принято говорить, что наша разностная схема при т/г//г) 1 является неустойчивой. Под этим понимается, что, например, малое изменение начальных данных может повлечь за собой катастрофически сильное изменение решения. Сейчас мы приведем одно очень простое и наглядное сообрзжение, которое покажет отсутствие.сходимости решений разностных уравнений к решению дифференциальных при т/г//г: 1.
Тем сзмым еше раз будет показана существенность неравенства тл//г-" 1 для применимости описанной разностной схемы. (ьх В свмом деле, из рис. 83 видно, что значение и(хм /а) рззностного решения выражается через значения и(х, 0) в точках начального слоя 1=0, лежащих в основании прямо- д / ~п угольного треугольника с катетзми, параллельными осям х, 1, и с гипо- Маупивериспана тенузой, тангенс угла наклона кото- ,в-лг=ла-лга рой к оси х равен т/й. (Если чань Рис. 83. точек основзния этого треугольника окажется левее границы л=О, то вместо них надо использовать граничные точки при х=О, лежащие внутри этого треугольника.) Описанный нами треугольник представляет собой разностную область влияния на точку (хм 1а).
Решение дифференциального уравнения в точке (хм /а) равно, в силу формулы и=и(х — лг), значению и прн Г= О или при х= 0 в точке пересечения с соответствующей границей характеристики х †/г/=х, †/г/м проходящей через нзшу точку (ха, гз). Если лт//г ( 1, то эта характеристика лежит внутри разностной области 372 и(х, 1+т) — и(х, 1) и(к+И, Г) — и(л — И, 1) о для уравнения ди ди — + — =О ни при каком фиксированном г=т/Ь не может использоваться в случае достаточно малых И для вычисления приближенного решения.
Оказы- . вается, для нее можно построить последовательность быстро убывающих, (при Ь-ьО) начальных данных, таких, что вычисленные по ним решения при Ь-эО очень быстро рас~ут. Разностная область влияния для этой схемы содержит характеристику, если т/й = 1. (Проверьте это.) В качестве таких начальных данных возьмем и и и(х, 0)=Ке[йае Я "1=Ь'соа( — — „). (В точках начального слоя сетки п(х, 0) принимает последовательно значения: Ь', О, — Ь', О, Ь', О,...) Легко убедиться, что приведенная нами схема имеет решение г и х п(х, г) ~1 — 1 — „)' Ь'и а, следовательно, решением является и его вешественная часть Ке~(1 1 )Т Ьае Я ь~ '4 Рлзностные мвтоды 1глэ 1 зависимости (рис.
83), а если йт/й)1, то вне ее (рис. 84). В это„~ последнем случае, меняя начальные данные лишь вне разностной облает '~ влиЯниЯ на точкУ (хв, 1в), мы можЕм изменить искомое значение п(хм(,) тогда как разностная схема этого изменения не почувствует. Ясно, чт„ .; прн йт/Ь ) 1 ни о какой сходимости ре 1 шенин разностных уравнений к решениям /х г,/ дифференцизльных не может быть и речи.
я Описанное сейчас рзссуждение было, впервые проведено в статье !928 года яз мере, близком к разобранному нами. Нужно, однзко, отметить, что еслн.-". разностная область влияния содержит . внутри себя область влияния диффе. '' ренциального уравнения, то совсем не а /) обязательно решение разностного урав- ' нения будет сходиться при Ь-ч. 0 к . Рис.
84. решению дифференциального, которое оно приближзет. Так, например, наиболее естественная, казалось бы, схема э ам РАЕИОстиАЕ схемА для ГиперволическОи системы 373 „ инимаюшая при Т=О заданные начальные значения. Из равенства нетрудно вывести неограниченность этих решений вблизи любой фиксированной точки (х () при Ь «О Несмотря на то что нами сейчас была показана непригодность схемы при любом фиксированном т/Ь=г, ею все же можно пользоваться„ если вести счет с очень маленьким, по сравнению с Ь, временнйм шагом т. ди ди Сходимость к решениям урзвнения — + — =0 имеет место, если Ь-«О д( дх и т=й'. В следуюшем параграфе будут описаны такие схемы для гиперболических уравнений, которые позволяют вести расчет с любым фиксированным отношением т/Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
