1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 56
Текст из файла (страница 56)
При наличии кратных собственных значений к собственным функциям иногда надо добавлять еиье и так называеиые присоединенные. С кРатными собственными значениями приходится иметь дело сравнительно Редко. Так, например, 'нами было уже показано, что все достаточн очно большие по модулю собственные значения в прос1ые е"ерь мы покзжем на примере, что в случае, если -для гиперболической ской системы изучаемая задача †необратим, то аппроксимации шения «стоячими волнами» нет. (Ее нет не только в этом примере— Решен ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ 1гл ш это общий факт.) В качестве примера возьмем простейшую систему, состоящую всего из одного уравнения ди ди — + — =О, дт дх рассматриваемого при 0 ( х «-. 1, 1) 0 с граничным условием и(0, 1)=0. Начальные данные зададим при 1=0 формулой и(х, 0)=ха.
Рассмотрев характеристики х — 1=сопз1 этой системы, легко заметить, что если бы мы захотели решать задачу с теми же начальными данными для 1~0, то нам пришлось бы задавать граничные условия уже не при х=О, а при х=1. Кроме того, ясно, что так как решение имеет вид и= у(х — 1), то при 1) х искомая функция буде~ равна нулю (и (х, 8) =0 при 1)х). Собственные функции такой задачи должны удовлетворять уравнению 1 +„— ""=О и граничному условию в(0, Л)=0. Общее решение уравнения имеет вид в(х, Л)=се ~ . Из граничного условия находим с=О.
Итак, мы показали, что нетривиальных собственных функций у нашего уравнения нет. Представим на некоторое время, что такая собственная функция нашлась и что она отвечает собственному значению Лм Тогда у уравнения в частных проивводных существовало бы решение вида и(х, 1)=е'"в(х Л ) отвечающее при 1=0 начальному условию и(х, 0)=в(х, Ла)цыО. Из поведения характеристик мы видим, что при 1)х и(х, 1)=0 (во всяком случае, и(х, 1) = 0 при 1) 1).
Но это противоречит представлению и(х, 1)=е"в(х, Л,). В случае более общих необратимых задач для гиперболических уравнений собственные значения у системы могут быть, но приблизить любое решение линейной комбинацией «стоячих волн», связанных с этими собственными значениями, и тогда не удается. Этому, в частности, мешает отсутствие оценки !Тз(х, Л))( — для ВеЛ( — К.
1Л! Все на том же примере мы покажем, что этой оценки действительно нет. Функция в(х, Л), отвечающая начальным данным и (х, О) =х', является решением уравнения Ло + .1— = хз, з о(О, Л)=0' яяд огиьи для койсьявлтивноп системы ЗЗ7 и имеет вид о(х, Л)= бе А" +Лала — ЗЛахз+6Лх — б Из этой формулы видно, что при не Л-ь — оо функция о(х, Л) экспоненциально возрастает (у нас х > 0), что и доказывает отсутствие оценки ~ о (х, Л) ( ( сопя 1/ ( Л ( . й 32. Ряд Фурье для консервативной системы Консервативная гиперболическая задача для системы из двух уравнений. Интеграл энергии для вещественных и комплексных решений.
Комплексные евклидовы пространства, натянутые иа собственные вектор-функции. Унитарность преобразования, связанного со сдвигом времени. Свойства унитарных преобразований. Вывод из этих свойств ортогональиости собственных функций и доказательство того, что Ль чисто мнимы. Использование ортогоиальиости при приближении начальных данных стоячими волнами.
Формула для коэффициентов в разложении решения в ряд Фурье. Пример. В этом параграфе будут разобраны некоторые замечательные свойства собственных значений и собственных функций в задачах с законом сохранения энергии. Мы назовем такие задачи консервалтпвнымп. Краевая задача для системы уравнений акустики, которая рассматривалась в вводной части (гл. 1, $ 7) является примером консервативной задачи. Рассмотрим систему аы(х) ~ +а„(х) — д — + Ьы-д — +Ь„д +0 и,+с(х)п,=О, диг диз ди, диз азт(х) дг +азат т дг + Ьзг дх + Ьзз д. с(Х) ггпу+0 ° и =0 диг диз диг диз с симметричными матрицами () аы (х) 1, 1' Ьы '1' (((ага(х) (! — положительно определенная, /Ргь~ не зависиг от х, постоянная).
Матрицу 1сгз(х)Л= ( 0 с(х)1 ~ мы предполагаем кососимметрической. 1 — с(х) 0 /. умножая первое ураинение на и„второе — на и, и складывая, мы приходим к следующей дифференциальной форме закона сохранения энергии (ици3+ 2иыи,из+ими) '1 1дци1 + 2ьыигиз+ Ьми', ) 2 ! ~ 2 дГ + дх Интегрируя это равенство по прямоугольнику 0(х(Л 0(1(т, 338 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ 1гл.
ш мы получаем следующее соотношение д 1Г 1 — [а„и', + 2а„и,и, + аздия]д, Ых = — ~ [а„и', + 2адаидддя+ аддид]д о)йх— Ъ вЂ” — ~ (Ьдддгд+ 2Ьддидия+ Ьщид) -о ддг+ 2 ~ (Ьд~и]+ 2Ьддадид+ Ьддид)„„о Ш. Ъ 9 Предположим еще дополнительно, что граничные условия адид + + азия=О ЕРи х=О и Рдид+Рдид —— О пРи х=1 таковы, что из них следует обращение в нуль при х=О, х=l квадратичной формы Ь„и,'+2Ь,ди,и +Ь„и,'. Иными словами, пусть граничные условия обеспечивают отсутствие потока энергии через границу.
Это возможно, если форма Ь„и,'+2Ь, и,и,+Ь„и', может быть разложена на два линейных множителя и если граничные условия состоят в равенстве нулю того или иного из этих множителей. Для таких граничных условий ! ~ [адди,'+ 2ад,и,ид+ аддиДд, адх = ~ [аддид'+ 2ашдд,и, + адайд], о адх, о о т. е. энергия рассматриваемой системы сохраняется. Описанный класс задач естественно назвать консервативным. Пусть вектор-функция [и„ид] является комплексным решением нашей системы, удовлетворяющим граничным условиям адат+азиз=О при х=О, [)дид+рдид=О при х=й Пусть од и ега — вещественная и мнимая части функции Ыы предполагаем коэффициенты уравнения и коэффициенты граничных условий вещественными. Следовательно, вместе с решением [и„ия] решениями нашей системы будут вектор-функции [о„од] и [идд, идя]. Они также будут удовлетворять рассматриваемым граничным условиям.
Тогда, как мы установили, интегралы д ') (аддод'+ 2ад одоя+ аядид) ддх о ~ [аддтвд + 2аддмддгв~+ аяяидд) "х о не меняются при изменении времени д. 339 эяд втвьн для'конснввлтнвноп систнмы Так как сумма этих интегралов равна ~ (аыи»а» + атя (и»а» + и»дт) + а»»п»п») Ых, , о то тем самым нами доказано, что на комплексных решениях консервативных задач с течением времени не меняется эрмитова форма (1), являющаяся аналогом интеграла энергии вещественных решений. Покажем, что из равенства этой формы нулю для непрерывной вектор-функции (ид(х), ия(х)) вытекают равенства и,(х)=0, и»(х)=0.
Действительно, а»рггй»+ аш (игдз+ и»дт) + а»»падя = аыв', + 2аг»п,и»+ а» о'; -). + амтв, '+ 2а»»тватв»+ а тв'„ где иг=п~+1цгь Тзк кзк по предположению матрица а», является положительно определенной, то из равенства нулю формы (1) вытекает обРащение в нУль интегРалов энеРгии длЯ вектоР-фУнкций 1в» вя) и 1тв», гвя). Следовзтельно, в»вЂ” : О, тв»=0 и и» (х) = ь» (х)+ 1тв» (х) = — О. Мы показали, что эрмитову форму интеграла энергии для комплексных решений можно считать положительно определенной, если она положительно определена на решениях вещественных.
Матрицу Ь»г мы предполагали такой, что из выполнения одного из граничных условий вытекает обращение в нуль квадрзтичной формы Ь,дп,'+2Ь„и,и,+Ь»яи,'. Мы отмечали уже, что для этого необходимо, чтобы указанная форма разлагалась на два сомножителя. Предположим дополнительно, что эти множители различны и, следовательно, сигнатура чх ' ах квадратичной, формы равна (1, — 1). Характеристики — =7г,(х), яГ т ' лг = Ьз(х) консервативной системы определяются с помощью уравнения де1) — ЬА)=0 (В=)Ь;»!) А=)аг~)). Как известно из алгебры, существует такая невырожденная матрица Ю, что /1 01 8»АЯ=~ ) (А — положительно определенная), 1,0 1) 8»ВЮ= Так как сигнатура квадратичных форм при изменении базиса сохраняется, то корни Ь»=Ь»(х), Ь»=Ь»(х) имеют разные знаки.
Следовательно, если коэффициенты достаточно гладкие, консервативная система может быть приведена к каноническому виду, который использовался при обосновании метода Фурье. Можно также показать, что граничные условия у консервативной задачи удовлетворяют тем требованиям, которые 340 пРеоеРАЗОВАние лАплАсА и метод ФуРье [гл. ю нужны для применимости развитой на предыдущих лекциях теории.
Мы не будем на этом останавливаться. Рассмотрим конечномерное линейное векторное пространство, натянутое на гч' собственных вектор-функций нашей консервативной системы. Каждый элемент (!рй, !р ) этого пространства представим в виде <р, = ~ сйт!)й! (х), й=! !ч !р,= ~х ! сйт!)й!(х). й=! Здесь (т!)й>(х), п<й!(х)) — собственная вектор-функция, отвечающая собственному значению Лй. Мы будем для простоты предполагзть, что система не имеет кратных собственных значений, хотя кратность по существу ничему не может здесь помешать.
Сопоставим элементу )!ри !рй) элемент )ф„фа) по формуле м !й!( ) й-! ф, = '5~ сйе'й'ой!"! (х). й ! Это сопоставление можно трактовать так. Построим по начальным (при г=б) данным !рт, !рй решение изучаемой системы, а затем рассмотрим значение этого решения при !=т. Это значение и будет вектор-функцией (фи фй).
Нами было доказано, что ~ (пйт!рй!р, + ате (!рт!ря+ фе!р!)+ п„фй!рй) !( = ! = ~ [птгфтфе+ пы (фгфе+ а!фа)+ пяйФафй) ~х. о Легко также сообразить, что е"й'-„ье"р' при достаточно малых т, если Хйчь)!р. В самом деле, так как Х„)!я, ..., )!л — конечное число различных собственных значений, то существует шах (Хр — Хй)=!й!.
Выбе2п рем т< —. Тогда )Лрт — Хйт)<2п, а следовательно, ее —,, = е р й Ф 1, е р' =,й е й '. ей Преобразование 1!рт, !ра) -ь (фм фй) является линейным преобразова! вием, а числа е й — его собственные значения. Отвечающие им собственные векторы — это соответствующие собственные вектор-функции. 841 ряд фгрьи для консирвативнон систимы а ат1 Введем в нашем конечномерном векторном пространстве комплексное скалярное произведение 1 (8, ф) = $ [ат Етфг + атя(егфз+ Езфг)+ аааеафа1 г(х.
о Легко убедиться, что 1' (8, Р) = ( Р, Е), ~ (ЛЕ, Р)='Л(8, Р), з (8+е, Р)=(8, Р)+(е, Р), 4' (8, 6)= О, причем равно нулю, лишь если 8— : О. Последнее утверждение мы недавно аккуратно проверяли. Свойства 1' — 4' являются аксиомаМи, которым должно удовлетво- рять скалярное произведение в комплексном евклндовом пространстве. Закон сохранения энергии при преобрззовании ф=(ф фя)- Ф=(Ф фя) мы можем теперь толковать как сохранение 'скалярного квадрата вектора при рассматриваемом линейном преобразовании: (ф, ф)=(ф ф).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
