1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 54
Текст из файла (страница 54)
существует вектор-функция от(х)=ото)" (х, Ло)+аоо)м(х, Л,), оо(х)=аоот" (х, Ло)+аяо',"(х, Ло), условиям и принимаю- образующие ненулевой удовлетворяющая однородной системе, граничным щая в точке х=О начальные значения (аи ао), вектор. Пусть теперь, наоборот, 0 (Ло) о- О. Любое системы записывается в виде решение однородной о =А)б««' + Аоо'1" о =Атея" +Аяоо" 11* Вектор-функции, тождественно равные нулю, к числу собственных функ- ций не причисляются.
Покажем, что всегда, если )У(Ло)=0, )яо суще- ствуе)л собственная вектор функция с собственным значением Л. В самом деле, равенство нулю определителя системы пввоввазованни лапласа и митод аипьв <гл ш Если известно, что это решение удовлетворяет однородным граничным условиям, то, следовательно, для А, и А, выполнены равенства сддАд+ аяАо = О, [[д дода И Ло) + »ндпа" Р Ло) ! Ад + [[) дод" (А~ Ло) + иково" (4 Ло)дд Ад = О. Так как определитель этой системы Р(Ло) ~ О, то отсюда вытекает, что Ад — — Ад=О. Значит, од=од=О и Ло не является собственным значением. Итак, мы покааали, что собственные значения (и только они) являются нулями некоторой целой аналитической функции Р(Л).
Покажем еще, что при ! Ее Л ! ) К, а следовательно, и подавно при [ЕеЛ[~Ко)К не может быть нулей Р(Л), т. е. собственных значе- нии. Этот вывод будет сделан при помощи следующего рассуждения, которое можно сделать совсем строгим. У нас оно будет строгим не до конца. В чем его нестрогость, мы отметим позднее. д Пусть Л=Ло является нулем Р(Л). Как было показано, отсюда сле- дует судцествование вектор-функции (од( х), оо (х)), удовлетворяющей уравнениям Зод 'Л~о~+Лд — -+тыо,+т, о,=О, Лова — 'нд — — + тодод+ тооод —— О и граничным условиям адрд (О) + сддед (О) = О, ~... ()+ [)~() =О. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что функции и;(х, д)=едиод(х) удовлетворяют исходной системе уравнений'и его граничным условиям.
Это решение растет при г — оо как е'"'д; что невозможно при Ее Л ) К. Отсюда и выводится, что КеЛо(К. Нестрогость этого вывода, впрочем, устранимая, состоит в том, что оценка роста решений как е"' была выведена только для достаточно гладких начальных данных, гладко согласованных с граничными условиями. Для решения, участвующего в нашем рассуждении, в качестве начальных данных надо выбрать .фд (х) = од (х, Л,).
Исследование гладкости собственных функции и согласования этап глад. кости с граничными условиями мы не проводили. То, что ддеЛ, » — К, показывается точно так же, если заметить, что решение едогод(х Ло) при с-» — со растет не быстрее енщ=е-н'. созственные Функции кРАеион 3АдАчи Зхб Таким образом, мы доказали, что все нули 0(Л) расположены в полосе ~ Ке Л ~ ( К* )Аы в дальнейшем убедимся, что 0(Л) не является тождественным нулем, Отсюда уже можно будет сделать важный вывод, что нули 0 (Л) лежат на плоскости Л дискретно, не имея конечных предельных точек, и каждый иа этих нулей имеет конечную кратность. Если бы это было не так, то по теореме единственности для аналитических функций Р(Л) было бы тождественным нулем.
Итак, в каждой конечной области полосы Л существует конечное число нулей 0(Л). (Каждый нуль считается вместе с его кратностью.) То, что 0(Л) ее О, вытекает из асимптотической формулы, которую мы получили для больших по модулю Л, лежащих в полосе ~йеЛ)ч"'сопя!. Из нее же будет вытекать асимптотический закон распределения собственных значений, попзвших в эту полосу. Асимптотическую формулу для 0(Л) мы получили в виде: 0(Л) н 1у2«о+»,ш и е — лу,«! — »1«!+О~ ) / ! (сс ~0, Ц~О, а ~0, Р1~0). Обозначив — =е" (у вещественно или комплексно в зависимости от а1!)2 аар1 знака дроби), можем написать 0(Л)=азР1е — 'Уигг — »1!12(ех)У (О+У,(о)+!» <и+»1ш!+ !)+ +О) — )=д(Л)(е'"+ +' — !)+О( — ~ где обозначено д(Л)=аз))те 1у «) — » 21), И=Утй+Уа(1)=~ — + ~ —, ех С лх ~ А1(х) а )22(х)' в р=,()+ .И=1 1(х)й +1 «~(х).~ у=1 и, а~В.
ам 1 Внутри полосы )йеЛ~(сопа1 множитель' д(Л) ограничен по модулю кзк сверху, так и снизу; О~Д,«-!Д(Л) ~ -Д, Рассмотрим теперь (внутри нашей полосы) уравнение 0(Л)=0, 0(Л)=Д(Л)(е1" ь»+" — 1)+О( ! )=О. 1гл. Ра пРеОБРА30ВАние лАплАсА и метод ФуРье В его корнях, очевидно, еь "+»+" = 1 + О / — ~ (! '~! ) или, что то же самое, 1 ! 1 Лк+ р+ т = ю'2пр + О 1 — ) = 1 2пр+ О ( — ), р = О, + 1, Иными словами, 21рл — И вЂ” я+О( и ()р(/' Р1ы показали, что при достаточно больших ( Л ( в нашей полосе нули 2риг — И вЂ” у 0(Л) могут быть лишь вблизи точек и Покзжем, что при достаточно большом р действительно существует, и притом только один, нуль 0 (Л) вблизи такой точки. Выберем некоторый достаточно маленький радиус р такой, чтобы внутри окружности Л вЂ” 1 ~ =р (Л= 1 +ре'а) лежал только один нуль функции е'"+»+'" — 1.
Этот нуль, очевидно, отвечает значению Л= Очевидно, что внутри каждой из окружностей 2рлг — и — ч Л= +ре при любом пелом р будет тогда содержаться только один нуль Л= функции Л(Л)(вы+»+" — 1). На этих окружностях выра- и жение в фигурных скобкзх е'"+»+' — 1 = е" г" а — 1 не зависит от р и, следовательно, ограничено снизу по модулю положительной постоянной. Функция тт(Л) тоже ограничена снизу по модулю () 11(Л)!) тта). Поэтому (на окружностях) все произведение ! Л(Л) (е~ +»+ 1) ).=-й. Следовательно, по теореме руше это произведение, отличающееся от 0(Л) на О( — ), будет при достаточно больших р иметь внутри такой 1 /Л! окружности столько же нулей, сколько и 0 (Л).
Отсюда вытекает существование и простота корней 0 (Л) внутри этих окружностей при достаточно больших по модулю р. Пусть при ! Л(=! а+ 1т)='У' а'+та) К все нули в полосе (Ке Л! = й =- ~ ~а ~ ( сопа1 — простые и лежат по одному внутри окружностей 2рп1 — и — у и Л= — — +ре . х ) совстввнныз санкции крлзвои задачи 327 В конечной чзсти полосы, высекаемоп неравенством )Х(<К имеется конечное число нулей, считаемых столько раз, какова их крат- ность.
Таким образом, число нулеи в прямоугольнике — К" (о<К*, — (2р+1) и — !ш лл (2р+1) и — !щ лл =т< х х рвано (при достаточно больших р) 2р+ро (р„— некоторое фиксиро- ванное целое число). Пусть теперь )»=о+1 (2р+1) х — [щлл ( — Ко < о ~ Ко), т. е. пусть Х х пробегает горизонтальный отрезок, лежащий (при больших р) почти «по середине» между двумя нулями удр — [л — 0( 1 ) )„Й(р+ ) — [л — +0( 1 ) х ()р(/ р~л, х (~и~ Ни этом горизонтальном отрезке ел«+1 +» 1 е««+»ей«е62Р+пп 1 еак+ио»+Р (ел" +о+" — 1!) 1, $ 0 (Х) $ = $ Л (Л) $ $ ел" +л "+ ' — 1 $ +.
0 ( — ) ) Ло + 0 ( — ) ) — о (при достаточно больших (р!.) Теперь вспомним про представление ол(м, [л,)= р(, )ол(.», [ь)(< ~~ полученное в начале этого параграфа. Из этого представления и неравенства для 0 (Х) следует, что на изучаемых горизонтальных отрезках (. =' (2р+1) х — [гп ч х [пл(», )л)(< — „ На этом мы заканчиваем изучение функции ол(», л»), определенных в полосе )КеХ(~К« с помощью' системы дифференциальных уравне- ний, зависящих от параметра )л, олог )о +л2л — +толп»+тл»в =лрл, л[о» Хоа — Аа — + т~лол+ та»па — — лро, 0 =х<[, а,о,(0, )»)+азов(0, Х)=0, рлот (г, Зо) + (Зава (л Х) = О. 328 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ 1ГЛ.
Ш Вспомним теперь, что в й 28, рассматривая решение обратимой гипер- болической системы ди, ди1 дг +~"1(х) д. +Тл11(х)и1+ ~12(х) 2 дия дио — — 122 (х) — + ги21 (х) иг + гл22 (х) ия = О, и1(х, 0)=ю1(х), агит (О, 1) + азия (О, г) = О, ~) 1ит (Л г) + () о ля (У, г) = О, растущее вместе с производными не быстрее, чем е'~', и его преобразо- вания Лапласа и;(х, Л)=~ и;(х, 1)е "й (йеЛ К), о оо(х, Л)= $ и;(х, 1)е ЫЖ (йеЛ( — К), о мы установили, что эти преобразования -о1 (х, Л) являются аналитическими функциями Л в указанных полуплоскостях и удовлетворяют там как раз тем уравнениям, что изучались нами при 1йеЛ1(К*. Напомним, что К* выбиралось ббльшим, чем К.
Отсюда следует, что полоса ( йе Л ! ( К* пересекается с каждой иа полуплоскостей (йе Л ) К), (йеЛ( — К). В этих пересечениях решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений единственно и, следовательно, совпадает с соответствующим преобразованием Лапласа. Так как преобразования Лапласа и решение обыкновенных дифференциальных уравнений — аналитические функции Л, а аналитическая функция однозначно определяется своими значениями на любом множестве, имеющем хотя бы одну конечную предельную точку, то и решение обыкновенных дифференциальных уравнений и преобразование Лапласа при йе Л( — К могут рассматриваться как аналитическое продолжение преобразования Лапласа при йеЛ)К.
Свойства этого аналитического продолжения нами теперь тщательно изучены. Мы установили, что при йеЛ( — К~ это продолжение о1(х, Л) удовлетворяет оценке 1Ф1(х, Л)1( —, а в полосе 1йеЛ12-К* для и1 (х, Л) выведены достаточно точные асимптотические формулы. Из этих формул, в частности, было показано, что при ~йеЛ!(Ко, 1щЛ=(2Р+1)и — 1шт функции п1(х, Л)=0 ~ — ). Как было ранее доказано, из этих фактов /11 = Ъ~)' следует справедливость следующей формулы обращения преобразования 320 полнотл системы совственных екнкцин й з|1 Лапласа, записанной в виде контурного интеграла ид(х, г)= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
