1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Нарисуем на плоскости Л=о+!т следующий довольно ложный контур Р,Р,Р,Р,Р,Р,Р,Р,Р,Р„ изображенный парис. 77. Участки Р,Р,, Р,Р, этого контура лежат на горизонтальных прямых (шЛ= ж (2р+1) и — 1гпч н и вдоль ник(яй (х,Л) (( сова(/р, Хв( в~» «г О а Рв ! — (в еыов(х, Л)Б,! ( —, Рв 12пвв / — е 'о; (х, Л) в!Л ~ ( †.
Р в М Константы здесь и во всех Рис. 77. опенках, которые будут сей- час проводиться, можно выбрать не зависящими от 1, х из прямоугольника !в» !» Т, 0»х» !. В дальнейшем мы эту равномерность оценок будем все время подразумевать, не оговаривзя особо. Мы уже знаем, что прн (Ке Л (~ К"', 711 а следовательно, и при Ке Л=-+' Кв имеет место оценка ов (х, Л)= О( — ). = ~М. Пользуясь этим, мы, очевидно, приходим к тому, что по каждому из отрезков Р,Р,, Р,Р„Р,Р,, Р,Р„имеюгцих ограниченную длину, ингегралы ! — —.
~ е ов(х, Л)в(Л! !11 являются также величинами типа О~ — ~. Оценим теперь модуль интеграла по дуге Р,Р,Р, окружности (Л)=— (2р+ 1) и н — е"'о;(х, Л)с(Л~»'— " (е ((в(Л(. Рврврв Рврврв ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ 211 В Вв) Так как на окружности ( Л ) = 1 Р и 12р+ 1) н Л=)Л)(соя гр+12!п1р), то 122+11 )еьь) ° !ВКЛ)=!Л)е'тиьввть2ьр= ('+ ) е * ь2ьр. н Поэтому Рв врь 12р+ 11 )е ~ЦБ1Л, '< Р и ~ е ." ьтф= +2 к 2р + 1 — — кг 11 к В 2 — к 128, (2р+ И к — а~го1(х, Л)г(Л~(сопз1 $ е " ь!О=О( — ).
РьГГврь В Утверждение, что последний интеграл можно считать величиной типа /11 О ~ — ) составляет содержание леммы Жордана, часто используемой рг в теории функций комплексного переменного. Ее несложное доказательство было изложено в $ 26. Итак, мы показали, что — е~о1(х, Л)ь!Л~=О( — ). Рь Рврврьрьг'врь Рврврь С, другой стороны, п1(х, 1)= —. е о1(х, Л)В(Л+01 — ). 1 ь Лс 2Л1 ~р) 1 Значит, и1(х 1)=2 — „,. $ е~о1(х, Л)вьЛ+О(~). Рь Рврьрьрь Рврьрв Рв Р1 Из теории функций комплексного переменного известно, что контурный интеграл не будет менять своего значения, если мы начнем деформировать контур так, чтобы он при этой деформации не проходил через особые точки подынтегральной аналитической функции.
Пользуясь тем, что функция о1 (х, Л) е~' может иметь полюса лишь в полосе ! Ее Л ! ( Кк, мы заключаем, что наш сложный контур без изменения значения интег- рала может быть продеформирован в границу прямоугольника Р,РВР,ЄЄ З!2 1гл. 1ч ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ который мы будем обозначать Пр — (2р+!) и — 1шч, 12р+1) и — !щт~ х х Итак, постулировав некоторые асимптотические свойства о1(х, Л) в полосе ))теЛ)(сопз1 и воспользовавшись уже доказанными фактами про о1(х, Л) (й1(х, Л)) вне этой полосы, мы получили следующее важное представление и1(х, 1)= —.$ е~'о1(х, Л)г(Л+О~ — ) и /11 с оценкой О) — ! для остаточного члена, равномерной при 0(х(Л 0<1,<г(т.
Прежде чем пользоваться этой формулой для обоснования метода Фурье, мы В следующих двух параграфах восполним пробел в нашем доказательстве. А именно, мы изучим функции о1(х, Л) внутри полосы ) йе Л ! < сопз1. $29. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений Аснмптотнческне (по Л) формулы решения задачи Коши для обыкновенных лифференциальяых уравнений, связанных с преобразованием Лапласа.
Этн формулы получаются из явных представлений решений системы, содержащей два независимых уравнения. Последующие леммы постепенно приводят к все более н более сложному характеру зацепления уравнений. В этом параграфе будет доказана Теорема об асимптотике решений задачи Коши. Если й1(х), т1т(х) — функции, непрерывные вместе со своими первыми производными, то любые решения системы ио1 Ло1+ ~1 1х + т11о1+ т12оз ф1 аоз Лез — йз — „'+ «121о, + т„о2=1р, удовлетворяют при )йеЛ)(Кх на отрезке 10, 1] неравенствам: !о (х) — е (0)е лю1х) — 211х)) ~ ( ) Л ! ~ 1пах ! 1р1 (я) ) + шах ! ф1 (х) ! + 1пах )о1 (О) )1, М Г 1, х 1, х )оа(х) — о,(0)е1У 1х)+Р21х) ~( ( ) 11шах) ф1(х) )+шах) 1р1(х))+шах) о1(0)) 1 М 1 1, х Асимптотикл Решении а ае! где постоянная М оценивается -через максимум модуля коэффи- циентов и их производных, а у~(х), )ьр(х) определены формулами: е Рг(х)= т —" — дВ.
,) лг(а) е Формулировка этой теоремы на первый взгляд 'кажется довольно сложной. Но это только кажется. Сейчас поясним, э чем смысл этой теоремы. Оказывается, что рассматривая решения нашей системы при больших по модулю Х, лежащих в некоторой узкой полосе около мнимой оси, мы можем вычеркнуть из системы коэффициенты тии та„запутывающие уравнения, и правые чисти фифе.
Решение оставшейся после этого расцепленной однородной системы выписывается формулами пт (х) = пт (О) е — тт~ (ю — ю т) е,(х) =ее(0) елт(е)+топ которые и представляют собой главный член нашей асимптотики. Члены (1) порядка О~ — ) в этой асимптотике оценивают влияние отброшенных ~)) членов в уравнениях. Мне кажется, что после этих пояснений формулировку доказываемой теоремы будет нетрудно запомнить. Приступим к доказательству теоремы. Рассмотрим сначала решение одного уравнения с постоянным коэффициентом )ш+ — =о (у), ди ди и(0)=0. Это решение может быть выписано формулой и(о)= е ьт-ч дб))лть Очевидно, что и(0)=0. Непосредственным дифференцированием легко убедиться з том, что уравнение выполнено.
Интегрированием по частям формулу для 314 (гл. Ру ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ решения можно привести к другому виду 1Р и (у) = — (е ь 'У ч ' д (тр) Уе — — е х 'У ч' д' (т)) де) = — (у (у) — д (О) е ТУ) — е " 'У ч' у' (т() е(т). Х Предполагая, что )у)еу, Х=о+гт, (п((Ке, а следовательно, ~ е-ХУ ) — ) е-аУ-ИУ ) е-еУ ( ек У )е ШУ Ч' ~(ея и используя формулы для решения, мы можем получить неравенства (и (у) ( еа сопэ1 вах ( д (у) (, ~ и (у) ( ( — (вах ~ д (у) ~+ гпах ! д' (у) ( ).
сопэ1 )А( Из этих неравенств следует справедливость леммы 1. Лемма 1. Решение уравнения Хи+ — Г 4(у)+ —, и(0)=0 ди ее (у) е лргдоояожении, что ()(е 1( ( К*, (у ~ ( у, допускает оценку соп51'Г 1ЛГП ) и (у) ! ( — [гпах ~ ее(+шах ( у )+ шах ~ — ~], -(ч~ ~ду~1. Рассмотрим теперь решение г=г (х) уравнения с переменными коэффициентами: )л+ А (х) — + т (х) г = ) (х) + — гк —. дг Г* (х) Полстановкой х у= — г=е Роми, д(х)=е~"х'Г, г~ь А ($) ' х д*(х) =гоя~(е „(х) = ',$ Г (Е) ~йа иэ которой следует, что о(у, ( дг Йу 1 Ых — =ео'х~)А (х) — +т (х) )1 ] ! вах ( у(у) ( ~ сопз1 ° гпах ~ Г (х) ~, гоах ( уе (у) ! ( сопэ1 вах ) Г* (х) (, гпах !д'(у) ) (сопэ1 (гоах) Г(х) !+шах ~Г'(х) !], уравнение для г приводится к разобранному в лемме 1 уравнению для и. Нами доказана АСИМПТОТИКА РЕШЕНИИ Лемма 2. Если при 0(х -( А(х)~0, Л(х) и т(х) ограничены и непрерывны и если ) КеЛ)~Ке, то решение г(х) уравненил Л г+й (х) — +т (х) г=р(х)+— дг (* (х) дх Л г (0) =0 оценшюется неравенством ) г (х) ( ( — (шах ) Г*(х) )+ шах ( 7 (х) )+)пах) 1 (х) ~).
)Л! Решение однородного уравнения Лг+А(х) — +т (х) г=О дг дх выписывается формулой г(х)=г(0)е Лист' Представляя решение неоднородного уравнения в виде суммы решения с нулевыми начальными данными и решения однородного уравнения, легко заклю. чаем, что ~ г(х) — г(0)е Ле'"' )"'"' ) ( — ()пах ()" (х) )+гпах)) (х) ~+шах (К (х) ) ).
сопз( При доказательстве леммы 2 мы пользовались тем, что й(х) не обращается в нуль при 0(х((, но нигде не пользовались положительностью й(х). Это позволяет нам считать доказанной следующую лемму. Лемма 3. Если при О~хпс.( коэффициенты д)(х) >О, д)(х) и ти(х) ограничены и непрерывны и если ~ КеЛ((К*, то решение системы дгг )е (х) Лг, + йт (х) — - -(- т„(х) г, = — '+ )х (х), дгз ' (эе (х) Лгз — йз (х) — + те, (х) гз — — — '+ (з (х) дх удовлетворяет неравенспмам: ! г~ (х) — гг (О) е — МШ) — Р,)к) ~ ~ (у+Ге) (0) ЛХ (л)+Р~)л) ! ~ (р+ре) з — г Г= шах () ), )+) ); )+((„)+( 7; (), Ее = п)ах ( ) )е (+()е ) ), х х у;(х) = — , ри (х) = )гз, ос г т;с($) (Р ' ' А.(Р а постоянная Л) зависит от величины коэффициентов, длины отрезка ( и от К*.
Цроиэеодные коэффициенпим е эту оценку не входят. 316 1гл. эу ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ Доказанное неравенство для решений «расцепленной» системы, состоящей из двух не связанных друг с другом уравнений, мы положим в основу получения асимптотического представления решений интересующей нас'«зацепленной» системы. Сначала рассмотрим случай слабого (при Х со) зацепления: Хгог + йг (х) — + тгг (х) ге»+ — [пы (к, Х) юг+ пы (к, Х) шг! = фг [х), йюд 1 йх Х йюг 1 Хюг — йг (х) — + т г (х) шг + — [п г (х, Х) тг+ пгг (х, Х) гег[ = »Р» (х). йх )Х[ «Зацепляющне» коэффициенты пы (х, Х) предположим непрерывными по х и ограниченными.
Рассматривая некоторое решение юг (х), шг (х) такой системы, обозначим гаах [ю;(х) [=ю, Ах шах [ кй(0) [=юо, г [ог= — (п„т,+п„ю,), [г=ф„ [ог= — (п„ю,+пыт,), [г=ф„ и, пользуясь тем, что Ро=шах([[о[+[[го [)~ЕФ, [е у' о' [( М, [е~э" +о'[(М, мы с помощью леммы 3 приходим к неравенству ю ( Мюо+ — (Р+ Ею), йг выполненному для Х, лежащих в нашей полосе.
Пусть [Х [~ 21УЬ. Тогда )У 1 ы ( Мо»о+ — Р+ — «о, [Х[ 2 а следовательно, ю ( — Р+ 2Моэо. 2)У [Х[ Далее, Р*(Ею( ) Р+2МХюо( ~ Р+2МЕо»«=Р+2М1юо. 2У~ 21УЕ ~Э~ 2дгХ Опять применим лемму 3 и получим оценку [ юг (х) — тг (0) е ~УПЮ РИ 1! К: — [Р+Р'! ( — [2Р+2МЕюо[, [Х[ [Х[ [го (х) ге (0) е у,<кэ+о» 1к1 [( [2Р+2М1ыо! Итак, нами доказана Лем ма 4. Если при О~к(1 коэффициенты А;(х)) О, йэ(к), та(х) и пу(к) непрерывны и, следовательно, оероничены и еслй ! не Х[( Кг, то для доспюпижно болыиих по модулю Х, лежащих е уаианной полосе, рещение системы йоэг 1 Хтг+ кг -а — +тггтг+ — [пмт„+ пггюг! =фг (к), йгег 1 Хюг — Аг — '+ тыма+ — [по»юг+ по»юг! = ф, (х) йх Х 317 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИИ ртмлепаоряет нериеенстеил ]в,(х) — в,(0) е 1тг»1 "'ст]( — [В+шах(]в,(0)], ]в,(0)])] ] ВЭ (Х) — ВЭ (О) Е~Г 1»1+ Э* 1т ] ( — ]Р+ ШаХ ( ] В1 (О) ], ] ВЭ (О) ] )]; здесь постоянная Я заеисит лишь от границ для еозффициентое йв тп, лд, а р определяется тгк р=шах []1р, ]+)фэ]+]ф; ]+]ф;]].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
