1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 48
Текст из файла (страница 48)
2 с> л' л=! Гармонические функции, построенные по нулевым начальным значениям и(л, О) и по значениям фаг(х) для начальных значений проиазодных по у А! (и) ът лл йл(х, у)= т — аьлу а1п лх, л 1 не обязаны быть равномерно ограниченными при !у)(1, и поэтому могут не образовать сходящейся последовательности. ° Мы начнем с лрегуляризации» приближенных значений фл(х) для начальных данных.
Положим !рл(х)= ~ч', и! !В1плх, л=! где л!л! мы выберем так, чтобы они удовлетворяли неравенству л' ~ !М!!а ФХ ". '"'"- ' и при этом условии давали минимальное значение выражению Существование таких и!~! не вызывает сомнения, так как речь идет о минимуме непрерывной функции !л' переменных в конечной области Ф-мерного пространства. Если бы мы положили а!Л>=ал (Л=1, 2, ..., Ф), то неравенство 2 л'! было бы выполнено и, кроме того, мы имели бы л (а„' ' — и'„!1 = — У [а!,"! — а„1'~вы л=! л ! (так поступить на самом деле мы не можем, так как а нам неизвестны), Отсюда вытекает, что для п!л!, дающих минимум выражению 285 нвкои вктныв задачи %! а ~ п„(в,ч. Ф+ ! с) Иа неравенств а), Ь) с помощью элементарного неравенства (й — а)з~ 2(ба+аз) выводим — (и!!о! — а ]' ( 4зл,. о о Объединим полученный результат с с): 2,у' ]'Г! — и.]'+ 2,~ '-5 а ! о!+1 ' ~ Ял(х) — !р(х)] йх =.5е,ч.
о Кроме того, по построению ! ] й!о(х, 1)йх( Мо. о Здесь мы обозначили У !!о! жт йм(х, у)= т — зйпу з1ппх, л ! У ] !л!!]з 2 ~,> и' л=! По доказзнному ранее, гармонические функции й!о(х, у) будут при !у~(1 сходиться к и(х,у), если М-ьоо, вм О. и и ч <!о! и!л'>]о, этот минимум не будет превосходить ззо так как ~~ !а„ 2 '„~~] в допустим пустимой области есть точка, в которой значение минимизируемого выраже ажения не больше зл. Мы теперь уже внаем, что М а) ;;~ [а!.! а!Ф!] ~зло =о Ь) — ]аэ"! — ао]'(влч о=о 286 хвлвнинив лапласа (гл. (и В заключение опишем вкратце, как могут быть найдены значения а~'Ч. Начнем с того, что выясним, какой из случаев: [а((г(] 1) 2 а~( л' и ! " [""'1 П) имеет место.
В случае 1) достаточно положить д(к! =,(ач. л и Тогда мы будем иметь а меньших значений это выражение принимать не может. В случае П ясно, что минимум !г — ~~ [а ' — д„(] и 1 будет достигаться для а„, лежащих на поверхности Ж-мерного эллип- (У! 2 соида [ -(к(]а — — з1(а л= ((а. 2 ~ы л' ч ! Для отыскания условного экстремума воспользуемся множителем Лагранжа учг и, составив выражение 1[ (л() (~(]! +1, ав л [, (~(]а) ч ! приравняем к нулю его производную по и„ (У(. 2 [и„' — и„+ Х(г — „, лв ] = О.. г (и! (л! а((' л (л! ! Отсюда а( (Ю! и лю — аул !+ к,г— 287 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ а., надо найти как решение уравнения ~а<А!!1~ — — апз л = М'.
2 ~',> л' ПараметР й но, что существует, и пРитом единственное, положительное решение, так как ак левая часть является монотонно убывающей функцией ХА! и меняется от — 7„, зй л) М до нуля при изменении 3«ч в пределах 2 а'! л' л=1 от нуля до плюс бесконечности. Интересу!ощип нас минимум достигается на положительном корне. Это видно из того, что прзвые части равенств (!+~.„'~;")' ~ !А!)1» (! „511 л) л и "[4'7 — з'пз Д=М' =— 2 и' 2 -Х вЂ” '- уменьшзтся, если при отрицательном ХА! сменить знак.
Мы покззали принципиальную возможность решения некорректной задачи, если нам известно, что интересующее нас решение действительно существует и принадлежит некоторому множеству решений, для которого имеет место «условная корректность». На изложении эффективного технологического процесса решения некорректных задач мы останавливаться не будем.
Отметим только, что обычно этот процесс состоит в замене исходной задачи близкой к ней, но уже корректной. Решение этой близкой (регуляризованной) задачи обычно оказывается мало отличающимся от разыскиваемого решения, принадлежащего некоторому классу «условной корректности».
)лаза 1У ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ ЙЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В 26. Система обыкновенных дифференциальных уравнений Изучение формул для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при помощи соображений, которые будут использоваться для обоснования метода Фурье. Интеграл Дюамеля и преобразование Лапласа. Частотная характеристика. Формулировка теоремы об обращении преобразования Лапласа и ее применение для представления решения в виде суммы экспонент.
Мы приступаем к изучению теории метода Фурье на примере его приложения к смешанным задачам для гиперболических систем с двумя независимыми переменными ж, Е Этот метод является перенесением на более сложный случай известного приемз Эйлера интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Прием Эйлера состоит в отыди зл скании у системы — — Ап=О частных решений пг э 'ог и в конструирЬвании произвольного решения из этих частных. Мы сейчас опускаем некоторые известные видоизменения этого приема, возникающие в случае, когда характеристичесное уравнение де11А — )ьЕ1 =О имеет кратные корни. С методом Фурье для уравнений с частнымн производными мы уже знакомились во вводной части этой книги (гл. 1, й 7). Там были разобраны в качестве примеров задача Дирихле для уравнения Лапласа и простейшая гиперболическая система †уравнен акустики. В этой главе мы построим теорию метода Фурье для гиперболических систем с двумя независимыми переменными х, а Подробно будет рассмотрен случай двух уравнений.
В случае систем большего порядка схемз теории остается той же самой, но результаты могут быть несколько другими. Дело в том, что дзлеко не всегда любое решение представимо в виде суммы частных решений типа стоячих волн. Хотя в этой главе будет разобран только один пример неполноты системы стоячих волн в случае, когда . собственных функций вообще нет, я думаю, что из приведенной теории должно быть ясно, в каких конкретных случаях полнота имеет место, а в каких нет. Мы построим теорию метода Фурье, основываясь на технике преобразования Лапласа.
Чтобы сделать все выводы более прозрачными, опишем сначала идею теории в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Прежде чем давать формальное определение, разберем наводящие соображения, поясняющие смысл процедуры, с помощью которой опре.". деляется преобразование Лапласа. а оо1 СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ УРАВНЕНИИ Пусть ас(С) является решением системы сСм — Аас= Г(г) ос 289 с не зависящей от времени Г матрицей А, удовлетворяющим нулевым начальным данным те(0)=0. Наряду с этой системой рассмотрим зависящее от параметра со семейство и(с, со) решений однородной системы сс'и — — Аи= О, ссс "!с-о=с (со). Утверждается, что ои(т) = ~ и(à — Го.
то) ((о. о Действительно, с в— ,.-.(о, О~.) в""-" "'а,=двс. (в,о с =.с (г)+ А ~ сс (с — Гм со) ассе =У(с) + Аас (г). о ссм Уравнение — — Аас=с(г) выполнено. Выполнение для те начального ссс условия ас(0)=0 очевидно. Формула с ас(Г)=с) и(à — с,с то)с(со о представляющая решение неоднородной задачи через решения однородных, называется интегралом Дюамеля. Рассмотрим теперь случай специальной правой части вида У(т)=гаспар Ор — постоянный вектор). Решение и(г, та) однородной задачи сги ссс — — Аи=О и !с-о =;С'(со) = е "чр зависит от го простым явным образом: и(с со)=елсви(г 0) В дальнейшем мы будем этим пользоваться, опуская в и(с, 0) второй (нулевой) аргумент и записывая решение а неоднородной задачи сзе — — Аас е ср лс ссс ов),„,=0 10 с. к.
годувов сгл. сч 290 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ формулой с пс (1) = ~ и (С вЂ” Фо) ес с, й = есс $ ц (г — Со) е — ' сс — "' Жо. о о Входяшая в этот интеграл вектор-функция и(й) удовлетворяет следую-,. шим уравнениям и начальным условиям: сси — — Ап=О, ссг сс! с-о = 'р. Из курса обынновенных дифференциальных уравнений известно, что ре- . шение может быть, как правило, представлено в виде линейной комбннзции экспонент е ', где Ссс являются корнями характеристического урав- Ф'.с пения с)ет )) и Š— А )! = О. Слова «как правило» означают, что некоторые уточнения должны быть внесены при наличии кратных корней у этого уравнения.
Из представления решения в виде комбинации экспонент следует, что если Ке Л) шах Ке йп то се=с ~ сс(1 1о)е — '" снсйо — — ~ сс(с — 1о)е — 'С' — ")с((с — 1о)= о с,— о о с СО с = — $и(т)е "сст=~ п(т)е 'стт — асс(1)е 'с(сс ц(Л), . о о т. е. последний интеграл сходится. (3 а д а ч а. Докажите сходнмость интеграла при том же предположении ' йе Л > шах Ке й; в случае, если среди корней йс имеются кратные.) В этом случае говорят, что «вынуждаюшая сила» е ср раскачивает Лс систему со своей «частотой». Через п(Л) мы обозначили устанавливаюшуюся при с -+- ОО амплитуду колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
