1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Ог"' () О,'" () 1)я1 Оа () Оч' () Оя ' () О~"' () Тг () Тя () уа. то имели бы право перенести эти утверждения и на неодносвязную область О,() Оя() Ов. Ясно, ° что приведенное сейчас рассуждение является общим. Мы не будем на нем подробнее останавливаться и, доказав в дальнейшем выполнение " принципа Дирихле для односвязных л многоугольников, не будем при ис- пользовании эту односвязность огоа варивать.
Перенесение доказанных фактов с односвязных на многосвязные многоугольники проводится по .- В разобранной на этом примере схеме путем разрезания на односвязные части. Сейчас мы опишем н докажем В 7 одно очень простое и удобное гео- гл гчгг Вг ы г "г Ьг В метрическое условие, из которого г следует выполнение критерия, ' Шварца. Пусть внутри области Оя можно выделить 'подобласть Оч ', ограниченную двумя дугами окружностей, Вггг пересекающихся в точках А, В, легг г жаших на границе О, так, что дуги р, у оказываются по разные сточг Ф Вв роны от луночки АВ.
Рнс. 63. На рис. 63 изображены несколько допустимых для нас вариантов расположений луночки Оя" внутри области Оя, Луги окружностей, ограничивзюших луночку, мы предполагаем не совпадающими. На рис. 64 изображена область, в которую луночку поместить нельзя, так как дуги р' и у касаются между собой в точках Р, О. Оказывается, что если в О, описанным выше образом можно поместить луночку, то крптерггй Шварца выполнен.
Сейчас мы это докажем. 267 мзтод швявцл яви Пусть нам известно, что некоторая непрерывная гармоническая функция их, п1х, у) Равна нУлю на а оп и не пРевышает по модулю 1 на У. 7огда по принципу максимума она не пРевышает по модулю 1 на дуге тружности, ограничиваюшей луночку справа гсм. Рис.
63). Если удастся показа ~звать, что збсолютная величина этой функции не больше неко- рого 6 г6 ~ 1) на левой дУге, огРаничиваюшей лУночкУ, то из пРинципа максимума без труда выведем, что и на 11 такое неравенство имеет место, Достаточно построить гармоническую функцию тв1х, у), равную 1 на правой дуге и неотрицательную на остальной части границы области р О, 1) О," 1) О,"', чтобы из принципа максимума вывести неравенство Ф Ф ~и1х у)~ — (х у) (х.у)ЕО, а тг Если при этом окажется, что на левой дуге, ограничивающей луночку, тв( 6, Р то нужное наи утверждение будет доказано. Гармоническую функцию — мажоранту Рис.
64. тв 1х,у) — мы построим так, чтобы она была однозначна на плоскости с разрезом вдоль правой дуги нашей луночки, равнялась 1 на этой дуге слева от разреза и нулю справа от него. Эту функцию нам удастся построить постоянной вдоль каждой дуги той или иной окружности, проходящей через точки А, В. Для этого достаточно воспользоваться гармоничностью. функции а 1х, у)=а(Агс16 — — Агс1и — ~+Ь ял я яз~ х — хл — ъ ) и подобрать постоянные а, Ь и ветви арктангенса так, чтобы удовлетворить поставленным условиям. Гармоничностью этой функции мы пользовались еше во вводной главе при выводе формулы Пуассона для решения задачи Дирихле в круге.
На левой границе луночки наша тв, очевидно, принимзет некоторое положительное, меньшее 1, значение 6. Правда, использовать функцию а~1х, у) в качестве мажоранты на основе простейшего принципа максимума нельзя, так как она разрывна в точках А, В, лежащих на границе О. Однако она ограничена, что позволяет использовать лемму о разрывной мажоранте 5 20). На этом заканчиваются рассуждения, доказываюшие, что из равенства и1х, у)=0 на стао и неравенства (и! = 1 на у следует неравенство )и)(6 на 13.
Проверка первой половины критерия Шварца закончена. Вторая половина проверяется совершенно аналогично. Сейчас мы покажем, как использование критерия луночки позволяет легко убедиться в разрешимости задачи Дирихле и в выполнении принципа Дирнхле для любого многоугольника. Как уже было отмечено, мы огрзничимся односвязными многоугольниками. 9 с, к. Гадуиов [гл ггг ЯВАВНВННВ ЛАПЛАСА 258 Рис. 66 Пусть некоторый многоугольник можно отрезком прямой АВ, лежа щим целиком внутри многоугольника, разрезать на две части АРВ и ВОА (рис.
65), для каждой из которых справедливость доказываемого утверждения уже установлена. Для краткости мы будем утверждение о раз. решимости задачи Дирихле и о выполнении принципа Дирихле называть утверждением О. Окружим отрезок АВ некоторой луночкой, лежащей целиком внутри многоугольника. Как было показано в предыдущем параграфе, для лу ночки АгВз утверждение 0 справедливо. С помощью нашего геометри.
ческого критерия легко проверить справедливость 0 для области АРВаА, состоящей из много. угольника АРВ, дополненного заштрихованной частью луночки, Р Из справедливости 0 для . АРВаА и для ВЯА уже нетрудно Г вывести, опять-таки с помощью Ат /' условия луночки, справедливость0 для АРВОА. Любой односвязный много-, угольник можно разрезать пря- 4 молинейными отрезками на треРис. 65. угольники так, что каждое сечение увеличивает число раздельно лежащих областей.
Поэтому достаточно ограничиться проверкой справедливости 0 для треугольников н даже для прямоугольных треугольников (любой из треугольников может быть рассечен на два прямоугольных одной из своих высот). На рис 66 изображено, как прямоугольный треугольник АВС разрезается на три области От, О, Оа дугами АЕ, АР окружностей, проходящих через точку А, центры которых помещены в вершины 6 острых углов С и В. Очевидно, что и здесь условие луночки выполнено. Поэтому достаточно уметь проверять справедливость утверждения 0 лишь для круговых' секторов САЕ, ВАР. Ю В конце прошлого параграфа была до- 5' казана разрешимость задачи Дирихле и выполнение принципа Дирихле для любых секторов.
На этом мы заканчиваем описание схемы доказательства того, что по любой непрерывной функции, заданной на границе произвольного многоугольника с конечным числом сторон, внутри этого многоугольника может быть построена гармоническая функция, непрерывная вплоть до границы и там совпадающая с заданной. Если это гармоническое продолжение граничной функции внутрь многоугольника имеет бесконечный интеграл Дирихле, то не существует какого-либо продол- 259 ОБОСНОВАНИЕ ПРИНЦИПА ДИРИХЛЕ жения н я этой граничной функции внутрь с конечным интегралом Дирихле. В ли же интеграл Дирихле гармонического продолжения конечен, то для юбого другого продолжения он строго больше или бесконечен.
докззанными фактами мы воспользуемся в следующем параграфе при изучении принципа Дирихле в случае весьма широкого класса областей. В 23. Обоснование принципа Дирихле гзграиичеивя на область и иа функции. Лемма о поведении допустимых функций вблизи гРаницы и (лемма 2) оценка интегРала кваДРага фУнкции, обРащающейся ва гравице в нуль, через ее интеграл Дирихле. Построение специальной минимизирующей последовательности, изучение ее свойств. Предельный переход, в результате которого обосиовывается принцип Дирихле. В этом параграфе будет обоснован принцип Дирихле для весьма широкого класса плоских областей 0 и доказана теорема существования решения задачи Дирихле в области 0 для уравнения Лапласа. На границе Г области 0 граничные значения и)г = г"(в) будут предполагаться такими, что нх, хотя бы одним каким-либо способом, можно продолжить внутрь 0 с конечным интегралом Дирихле.
Конечно, это существенное ограничение, которое для разрешимости задачи Дирихле совсем не обязательно. Мы должны будем его наложить только потому, что выбрали в качестве метода доказзтельства вариационный принцип, который позволяет работать только с функциями, имеющими интеграл Дирихле конечным. Начнем с описания тех требований, которые будут накладываться на область 0 и на все функции и(х, у) (иь(х, у)), которые будут участвовать во всех теоремах и леммах этого параграфа.
Предположения. 1', Любая из рассматриваемых функций Ь' и(х, у) является кусочно гладкой обладает в области 0 конечным интегралом Дирихле 7)о 0г) = Г))(я' + гг,'Ых гу и принимает на границе втой области значения гг(г=у(з). (Для всех функций и(х, у) гра- Рис. 67. ничнаяу(в) одна и та же.) Обозначение г (в) здесь чисто символическое. Мы не предполагаем, что на границе можно ввести единый параметр в, допуская, в частности, области, изображенные на рис. 67.
Для таких областей дуги аа', ЬЬ' тоже причисляются к границе. Про границу области 0 и про граничную функцию 7"(а) мы будем предполагать следующее. 9' 260 иглвниннв ллпллсл сгл, гп 2'. Существует некоторое йь)0 такое, чспо для любой гра яичной точки Я любая окружность с центром в Я радиуса й~й пересекается с границей. 3 . Функция с'(в) непрерывна на замкнутой границе.
Вследствие этого она равномерно непрерывна, т. е. существует такая положи тельная Функция а(й) 111ша(й) =О), что )ДЯ) — ДЯ') ) (а(й), как ~л о только расстояние между граничными точками С С и Я' будет меньше, чем Ь. Будем обозначать через Оь множество внутренних точек, отстоящих от границы области 0 не более чем на Ь, а через Вол(и) — интеграл Дирихле для функции и(к, у) по этой области.
Лем ма 1. Пусть Я вЂ” какая- нибудь .точка границы области О. Тогда для Ьч Ьа —,— $ $ (сс(к, у)— л »д)1я йх йу ~ 8п 0о„(и) + 2сс'(Ь), где сль — та часть круга радиуса Рис. 68. Ь с центром в точке Я, которая лежсст в области О, с(о к азат ельство. Рассмотрим какую-нибудь точку области ьссь полярные координаты которой равны г и ф (в качестве начала координат взята точка Я) (рис.
68). Так как Ь(йь, то окружность радиуса г =.Ь пересекается с границей. Пусть ближайшая к выбранной точке (г, ср) точка пересечения с 1' имеет координаты г, срс. Тогда / и(г, ср) — и(г, ср,) )=~ $ ие(», ф) йср ( ~ч, сс»$'л с чсьс гтг — ~~~Уя уСг С, о1 Интеграл по углу ср без явного обозначения пределов интегрирования здесь и далее означает интеграл по всем значениям ср, для которых точки (г, ср) Е Йл, Так как точка (г, ср,) лежит на границе и отстоит от Я не более чем на й, то ~ и (», сРс) — Т" Я) ~ а (й). Следовательно, ~и(г, ср) — Д(Я) ) ( )' 2п )с»~ и' (г, ср)йср+а(й), 261 ОБОСНОВАНИЕ ПЭИНЦИПА ДИЭНХЛЕ откуда имеем ] и (г, ~р) — г'(Я)]о ( 4п')ггэ(г, <р) Йр+ 2ая(й). Проинтегрировав это неРавенство по !р, получаем ~ (и (г, ~р) — Г (!й)]о Йр ( 8па ~ и~ (г, ср) йгр + 4пао (й).
Если умножить обе части неравенства на г и проинтегрировать от 0 до й, о в левой части получится интеграл по ьаь, который мы хотим оценитги л Д ]и — Г(0)]Я йхйУ= $ Д (и (г ~Р) — У(Я)]о йгР) г йг ( ал о л з'])! гь.он) е~4 ю —,~ и ~в $)!"— ,'.',гч) г.-~ы, (Ч~ ь =-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
