1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 38
Текст из файла (страница 38)
дт дк Прежде чем дать аккурзтное определение, опишем структуру 0 в интересующем нас случае. Эта область будет представлять собой верх нюю (1)0) половину полосы 0<х — 1(1, ограниченной характеристи. ди ди ками х †1, х — 1= 1 уравнения — + — =О. Эти крайние харак дг дк теристики проходят через концы х=О, х=1 отрезка 0 =.х(1 оси х на котором мы задаем начальные данные. Функпии (р(х, 1), достаточн гладкие внутри полосы (вплоть до границы), мы будем предполага равными нулю на граничных харзктеристиках, и, кроме того, прн все достаточно больших 1 внутри полосы.
Пусть (р(х, 1)=0 при 1)Т (Т для каждой (р(х, 1) может быт свое). Выберем 6 в виде параллелограмма 0(х — 1 =1, 0(1( (см. рис. 58). На его контуре (р(х, 1) отлична от нуля лишь на осно ванин 1=0, 0<х(1. Поэтому для обобщенных решений должно, быть выполнено равенство 1 к ( —.) — „)г (()- ~ Ф(, О) (, О)( ° . В двойном интеграле интегрирование проводится по всей. полуполосы что не вызывает никаких затруднений, так как (р=О прн 1 ) Т. О п р е д е л е н и е о б о б щ е н н о г о р е ш е н и я.
Функция двух пе ременных и(х, 1)"), имеющая ограниченную норму (+1 1и('= ~/ (пах ~ и'(х, 1)йх, ди ди называется обобщенным решением уравнения — + — = 0 внутри полу. дГ дк полосы 0(х — 1(1, 1)0 с начальными данными и(х, 0)=и,(х) если для любой функции (р, принадлежащей описанному выше классу выполнено равенство: (р:о Покажем, что из этого определения вытекает единственность обобшз(" ного решения. Лля этого, очевидно, достаточно убедиться в том, что из равенства и,(х)=0 вытекает равенство и(х, 1)=0. Зададимся нек о) Функция и(к, Г) предполагается измеримой.
223 ОВОВЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ а 191 орым произвольным Т и покажем, что и (х, 1) = 0 при 0 < 1( Т „очти всюду Предположим противное. Из конечности 1и1 вытекает, что ограничен Д па(х, г)Ых (1, о<х — г<~ тЫ>о т. е, что и(х, г) принадлежит пространству функций с интегрируемым квадратом в параллелограмме 0(х — 1«1, Т= 1~0. Каждая такая функция может быть сколь угодно точно аппроксимирована в смысле среднего квадратичного полиномами и„(х, г): г)г) - (и„(х, 1) — и (х, 1)19 йх ЕО 0 При и сю. о<х — гм.;~ т>7>о Построим теперь внутри нашего параллелограмма функции ф„(х, Ф) как решения уравнений хг + а = (х — 1) (1 — «+ $) (Т вЂ” 1) и (х, г), дх удовлетворяющие при 1=Т условию ф„=О. Непосредственным дифференцированием можно убедиться, что такие решения задаются формулой т ф„(х, 1)= — ~ (х — 1)9(1 — х+1)9(Т вЂ” т)'и„(х — 1+т,т) 9(т и являются непрерывно дифференцируемыми.
Последнее свойство не нарушится, если мы их доопределим равенством ~р„(х, 1)=0 при а) Т. Очевидно также, что ф„=О при х — 1=0 в при х — 1=1. Из определения обобщенного решения вытекает, что т е. что Ц (х — а)9(1 — х+1)9(Т вЂ” 1)оп„(х, 1)л(х, 1)г(хМ=О. о<, ~<1 т~с)о Пе ереяодя в этом равенстве к пределу при п-~-со, приходим к соотношению )) (х — г)9(1 — х+1)9(Т вЂ” 1)'и'(х, г)о(хЖ=О, о<, г<~ таис~о кото орое и доказывает теорему единственности. 224 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СоРАВНЕНИЯ 1гл. и Докажем теперь теорему существования.
Пусть для сс,(х) существует 1 конечный $ и,'(х) с(х. с"оы покажем, что п(х, с) = л, (х — с) является ди ди обобщенным решением уравнения — + — = 0 с начальными данными дк по(х) при С=О, О (х( 1, т. е. что для любой функции ср(х, С), удовлетворяющей всем наложенным на такие функции ограничениям, выполнено равенство ! по (х — С) ( — — + - е ) с(х сЫ + $ ср (х, 0) и (х) иох = О. $ О<к †1 о Для доказательства вспомним, что кзждую функцию, интегрируемуюс квадратом на 10, 1), можно как угодно точно приблизить (в среднем) '. полиномом.
Пусть и„(х) — такой полином, что 111 и (Х) ССО (Х)3 1 Очевидно, что и„(х — с) будет глздким решением уравнения ди„ ди„ вЂ” е + †" = 0 и, вследствие этого, удовлетворяет тождеству дС дк 1 ..1 — ОО(иОО.ф) О ОО.О) ОС, Оок,.с ОО -О О<к вЂ С с>о с любой допустимой ср. В дальнейшем мы будем пользоваться тем, что для кзждой ср существует такое Т, что ср(х, с)=0 при с~Т и что, следовательно, Ц и (х — С)Я+ — ) исхисС+ $ ср(х, 0)и„(х)с(х=О. О<к — С<1 о т>с>о Воспользуемся теперь тем, что 1 1 оо 11ос, оо „11о — 1ос, оо .11о !~ со о Сс 1 /1 г' (фГ ) суо(х, 0)с(х 1сс '1(и„— ио)оисх «=ф/ ') сРо(х, 0) сох, Глава И . УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА й 20.
Свойства гармонических функций Инвариантность уравнения Лапласа и интеграла Дирихле относительно коид формиых преобразований плоскости. Новый вывод формулы Пуассона для решь, иия задачи Дирихле в круге иа основе атой инвариаитиости. Две теоремы о сред. ием арифметическом для гармонических функций. Следствие — оценка гармони.' ческой функции в центре круга через интеграл ее квадрата. Из сходимости после. довательиости гармонических функций в среднем вытекает равномерная сходи. мость в некоторой подобласти.
Решение задачи Дирихле в круге бесконечно диф.. ференцяруемо во всех внутренних точках. Оценка его производных в центре круга.. Теорема Гариака о равномерной сходимосги и о гармоничности предела. Сходя. мость производных во внутренних точках. Неравенство Гариака для неотрицательных гармонических функций. Теорема Лиувилля. Усиленный принцип максимума. Теорема о разрывной мажоранте. Устранимые особенности. В этом пзраграфе мы начнем подробное исследование решений про. д'и дан стейшего эллиптического уравнения — уравнения Лапласа — + — =О. дха дуа С этим уравнением мы уже встречзлись во вводной части курса. Остановимся сначала на инвариантности уравнения Лапласа относительно некоторых преобразований плоскости независимых переменных х, у.
Такими преобразованиями являются произвольные невырожденныа конформные преобразования Условие конформности (как известно из теории функций комплексного переменного) записывается в виде уравнений Коши — Римана дх ду Ж дп' дх ду дп дя' Невырождеиность преобрззования эквивалентна неравенству фО Нам будет удобно пользоваться не самими условиями Коши — Римана 227 СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ а легко вытекающими из них тремя группами равенств: дх дх ' дя дт1 дд дд дх ду дх ду д$ д$ дт) дт1 дтх дтх д'у д'д !11' д$2+дча О' %2 +д т О' 11акова бы ни была достаточно гладкая функция и(х, у), мы можем для нее получить следующие равенства: ди ди дх ди ду ття дх йя ду дя' ди ди дх ди ду — = — — + — —, дт) дх дт1 ду дп ' (ди)т+ (ди)а (ди)а [(дх)я+ (дх~а~+ ди ди [дх ду дх ду~+ ду'тв ди дтх ди Уу (-)'+ — — + — —, да( дх дат ду йят ' (-) — —-- ду'та ди Ух ди дту дт)( + дх дт)т + ду д (т ' дти дти (дти тнитт дат + дпт '1дхт + ддт( дти дви дат дят— — + — =0 и Последнее ив ннх показывает, что утверждения д'и дти дх + — =0 эквивалентны.
хт дут = Проинтегрируем равенство дх дх (д$) (дт~) [(дх) + (ду) ~ ду ду по некоторой области у на плоскости в, т): дх 1,1 [('-.~)'+('-")'1 "~" = 1 1 [(~-.")'+(~-",)'1 ', да дти дти ('дх'1а дти дх ду дти д$~ дхт (да( дх ду ття дя дут + + дти д'и ('дх~а дти дх ду дти дт1т дхт (дт1( дх ду дт1 дт1 ду' — = — ~ — ~ +2 — — — +— дх дх ду дд дя дт) дх дт1 ду дп дх дх да дч дд ду д1 дт) СВОИСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 229 ПостРоим тепеРь фУнкцию 1 и(х, у) = — ~ и (х, у, а) г(а.
о В силУ пРедположенноп гладкости и(х, У) интегРал допУскает диффеРенцнрования по параметрам х, у. Поэтому яи 2л 62й дай 1 Г Гдаи даи'! ! à — + — = — ~ — + — 2!г!а= — ~ Ог(а=О. дла дуа 2л ) (дла дуя~ 2л,) о функция и оказалась тоже гармонической. Ее граничные значения 2я 2~ 1 Г 1 Р и (Я соа 6, Я 21п О) = — ~ Е (6 + а) г!а = — ~ Е (а) й» 2л д 2л ~ о 1 Г чение — „Е(а) г(а, нет. Итак, и (О, 0) = — Е (а) ога; 1 и(х, у)= — ~ Е(а)Ыа, о с другои стороны, 2л 2л с') а= иог(а=из.
1 =2л о й(0, 0)= — и(0, О, Та аким образом, мы установили, что гладцое решение и(х,у), принимаюшее на окружности значения Е(6), необходимо должно в центре круга вычисляться по формуле и(0, 0)= — Е(а)г(а=~ Е(6)г(6. Тепе ерь мы уже можем переходить к вычислению значения решения в любой точке круга. Пусть на окружности х=)с созга, у=)сз1пв нам задана непрерыв"аа функция Е(го).
Мы хотим использовать у(го) как граничные значевычислят ""я задачи дирихле. Решение этой задачи и(х, у) мы будем сейчас числять в точке х=р, у=О, )т р)0. Обозначив «=х+!у, =ь+!Ч, сделаем конформное дробнолинеиное преобразование не зависят от О, т. е. постоянны. Константа является решением уравнения Лапласа с постоянными граничными значениями. В силу единственности других решений, принимаюших на внешней окружности зна2й 260 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 1гл.
Н! переводящее точку «=р в ~=0, вещественную ось — в вещественну ось, а окружность 1 г ~ = )т — в себя. Первые два утверждения очевидны, а последнее следует из раве ства ! Т)в рКет ~" ! ( Я вЂ” ре' ~ ! . )1е о"' — Р 1 = ) Й ) ) е ' ) ~ ~, ~ = )т' 1 1 = )с Точка г =)се' переходит при рассматриваемом отображении ~ =. Йе'~, где углы 6, в связаны равенством )(евв )22 )геьп — Р Йо — рдоеьп вв )1е'" — Р е' = )1 — ее' Дифференцируя это равенство, найдем )вв(6 )вп ~ — р я — реьп)о Поставив вместо е' его выражение через в, получаем: гв Р— реоп ы )1ъ рв (Аоо Ро) о)в )оеоп — р (й — рее")' И' — 2Аор сов в -1- ро ' Гармоническая функция и (х, у) переходит при этом преобразован юг в гармоническую же функцию и 12, 2)) = и (х (й, т)), у ($, т))) со значениея в центре о(0, 0)=и(р, 0) и с граничными значения)чи е()т сов 6, )св)п6) = го (6) = Г 1В (6)1.
Мы знаем, что чоо,оО- Оо,о)- —,' $оОоооо ' $ГО О' — 'о . в о)а Подставляя вместо — полученное для нее выражение, приходим к равенств) о)в вп 1 б )'ов ро и(Р, 0)=2л ~2(в)йв — 2р)1сжв+р '(в Чтобы вычислить теперь значение и(р сов а, р 21п а) в произвольиве внутренней точке нашего круга О( р(Я, 0(а( 2П, достаточно пов ротом на угол св по часовой стрелке совместить вектор (р сов се, рв)в4 с вещественной осью. Функция )"(в) при этом перейдет в у(в+И) 23! своястза ГАРЯОнических Функция о юс соображения приводят к уже известной нам формуле Пуассона ое 1 Г ~'>5 ро и(рсоза, Расла)= — Е! С(со+а) с!со= 2л ) С!5 — 2ЙР соз со+ Ро о 1 05 Ро 2л .) Р Йо — 2ЙР 005 (Чс — а)+Ро о 12(ы знаем, что эта формула дает решение задачи Лирихле в круге с любой непрерывной функцией с (ср).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
