1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Равенство $ р,и асх — ррг= 0 пРедставлЯет собой закон сохРанениЯ количества движениЯ Д Роиасх— количество движения, ~РШ вЂ” импульс силы). Иногда в качестве определения обобшенного решения как раз и принимают выполнение интегральных законов сохранения в форме таких контурных интегралов с)с рои стх — р ссг = О, , стх р и сот О. Со Второй из этих интегралов представляет закон сохранения массы, так как Р†э на самом деле отклонение бр давления от состояния покоя, а'для бр справедливо равенство бр=с,"бр. Он опять-таки может „ а ж1 ововщйнные Рйшення быть получен из равенства $ ) ~рая ( дс + д )+р(: дс + д )) сэхс(г+ $ (Рассср+,ф)с(Х 0 (1) с о с=о если выбрать сР=О, а ф — совпадающим с тем ср, которое выбиралось при получении закона сохранения количества движения.
Форма законов сохранения краи дх-р д)=0, —,дх — Раи дС=О Р са иа очень удобна для построения математической теории. Дело в том, что интегралы в этих равенствах берутся цо контурам, имеющим двумерную меру нуль. Изменение же функции иэ ).а иа мере нуль ие меняет ее как элемент пространства ьа. Поэтому для функций иэ Ед (иа плоскости) значение интегралов по контуру, строго говоря, ве определено. Предложенное С. Л. Соболевым интегральное тождество (1) содержит в себе заковы сохранения в форме, более удобной для строгой математики, так как неизвестные функции в вем интегрируются по двумерной области. (Интеграл (раису+ —, ар) сгх содержит лишь значении и, р, задающиеся в качестве иа- Р оа с=о чальных данных.) Обычно уравнения мехзники сплошных сред выводятся в виде интегральных знаков сохранения (прзвда, как правило, в виде контурных интегралов), а лишь затем из них получаются дифференциальные.
Это можно трактовать как первичность понятия обобщенного решения и вторичность понятия решения гладкого или, как иногда говорят, классического. Отметим еще, что для нелинейных уравнений газовой динамики разрывные решения —.ударные волны — могут, по-видимому, трактоваться как обобщенные решения. Однако надо отметить, 'что построение соответствующейй математической теории до настоящего времени не закончено. Теперь мы на примере простейшего гиперболического уравнения ди ди — + — =0 покажем содержательность понятия обобщенного решения дС дх показав теоремы существования и единственности; Мы знаем, что общее решение этого уравнения имеет вид: и =у'(х — 1) с довольно произвольной функцией г Я). Мы предъявляем к ней минимальные требования гладкости †требу дифференцнруемости, так как для того чтобы убедиться в том, что эта функция действительно дает Решение, нам приходится ее производные подставлять в уравнения. С другой стороны, мы видим из этой формулы, что если рассмотРеть последовательность гладких решений вида и„=~„(х — 1) 218 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ.
Ц с функциями е„!Е), графики которых изображены на рис. 55, то обращает внимание тот факт, что эти решения сходятся к п=г(х — Е) с функцией, уже не обязательно всюду дифференцируемой. Предельная функция для последовательности ет, еа, еа,..., указанной на рис. 55, изображена на рис. 56. В точке $=$, функция е($) не имеет производной. Очевидно, могут быть построены и более сложные примеры, ,с! Рис. 55.
в которых дифференцируемость нарушается более чем в одной точке. Можно даже построить пример последовзтельности решений, для которой предельная функция будет разрывной. (Конечно, в этом случае предельный переход должен совершаться не в смысле равномерной сходи- мости.) Такой прймер изображен на рис. 57. Разобранные примеры ведут Рис. 56. Рис.
57, нас к мысли о разумности пополнения множества решений с гладкими Е множеством функций и= с(х — е) с теми г, которые могут быть в некотором определенном смысле получены нз гладких путем предельного перехода. Такой предельный переход естественно делать в смысле сходимости по норме вида Основанием для выбора такой нормы являются следующие соображения, связанные с оценками решений при помосци интеграла энергии.
Рассмотрим для уравнения ди ди дс дх — + — =О 219 ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ х рактеристическую полосу, высекаемую из полуплоскости х, 1 (1) 0) арактеристиками х — 1=сопз1, проходящими через отрезок [О, 1)оси х. Иа этом отрезке 'мы будем задавать начальные данные. Прямая 1=сопз1 пересекает эту полосу по отрезку С(х =.1+1 (рис. 58). Интеграл энергии для этого уравнения имеет вид с)! из бх — иа Ш = О. При интегрировании вдоль характеристик мы имеем )иа(ах — с(1)=0, и поэтому г+ ! ! ! из(х, 1)бх=~ из(х, 0) ь(х=~ иь(х)бх, о о т. е, интеграл от иа по любому сечению 1=сопа1 характеристической полосы будет один и тот же для любых 1. Поэтому, если мы возьмем последовательность решений. и„(х, 1) уравнения див ди» вЂ” + — =0 дг дк с начальными данными и,(х, 0)=и„,(х), то, пользуясь еще линейностью уравне- б ния, будем иметь г+! шах ) [сс„(х, 1) — и (х, К)[за!х= '.
с Рис. 58. ! ~ [иль (х) — и„, (х)[з ь(х, о ь+! [и,— и !1=А/ шах ~ [и„(х, 1) — им(х, 1))абх= с ,Г ! = ~/ ~ [иьо(х) имо(х)[ бх. о диь дип — '+ — "=0 дг дх таких, что [ и„— и [ — «О пРи и -«со. В случае если последовательность [и„ь[ сходится в среднем на отрезке [О, 1], то последовательность решений будет сходиться в смысле введенной нормы. Это утверждение служит основанием для следующего— определения обобщенного решения.
Функцию и(х, 1) назовем обобщенным решением, если существует лоследовательность и„иа, ..., и„, ... гладких решений того зке Уравнения 220 ~гл и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ХРЛВНЕНИЯ Другими словами, мы назовем функцию п(х, 1) обобщенным решением, если ее можно как угодно точно аппроксимировать гладкими ре. шениями. Описанное сейчзс понятие обобщенного решения неудобно тем, что' оно трудно проверяемо. В самом деле, чтобы убедиться, что п(х, ~) является. обобщенным решением, мы должны построить бесконечную последовательность гладких функций и (х, 1), аппроксимирующих и (х, г), причем надо постараться выбрать п„(х, 8) так, чтобы они были точными решениями нашего уравнения.
Ясно, что это сделать трудно, осоди ди бенно если речь будет идти не о простейшем уравнении — + — =О, дГ дх которое мы рассматриваем в качестве модели. С. Л. Соболев дзл другое определение обобщенного решения, кото.. рое в настоящее время является общепринятым. Основная идея этогоа определения состоит в замене дифференциальных уравнений непосред-;. ственно интегральными законами сохранения, из которых дифференци. альные уравнения математической физики обычно и выводятся.
Мы раз-. ди ди берем модельное уравнение — + — = О и на нем постараемся понять" дг дх существо дела. Простейших физически осмысленных примеров мы уже касались в начале параграфа. Начнем с замечания, что для любой функции <р(х, 1) и любой обла-:.' 0 ~ ~ ( — + — 1 ф(л, г) Ь и=о, а если и(х, г) является гладким решением уравнения — + — =О. Для ди ди дт дх дальнейшего нам удобно предполагать, что область 0 имеет кусочно гладкую границу.
Пусть п(х, 1) имеет в некоторой области 0 непрерывные первые производные и пусть для любой достаточно гладкой, например, дваждм дифференцируемой функции ~р(х, 1) имеет место равенство ~~(д'-,"+ — д")ф(х, ) ( «=О. а Тогда (как будет доказано) всюду внутри 0 ~+ди О дг дх Предположим противное. Пусть — + — ~ О в некоторой внутренней ди ди дГ дх точке (лм Га) области О. Для определенности предположим, что г с, 221 ововщвнныя рвшвння ~1 — ' ~, если (х — хе)з+(1 — 1е)Я ( в, ( - не)а + (à — Ге)а М ф(х, с)= О, если (х — хе)з+(г — 1е)з ) з. ныбором достзточно большого р можно добиться, чтобы функция ю былз нужное число рзз непрерывно дифференцируемой. (При р= 3 ф(х, 1) имеет две непрерывные производные.) Очевидно, что для такой функции <р(х, 1) р'е $ $ (а4 г)е(, Пе й)$ (! — — ',~ а.а и )о.
о Мы пришли к противоречию. Итак, утверждение, ~ ~ ~' —,", +'д-") р(х, ) Ь)1 =О при любой достаточно гладкой ф и утверждение ди ди — + — =О дГ дк для непрерывно дифференцируемой и(х, 1) эквивалентны. Теперь, воспользовавшись тождеством ди ди иы сделаем утверждение, что равенство — + — = О эквивалентно для яепрерывно дифференцируемой функции и равенству ~ ~ и~а+д ) 1х~~= $ фи" а по гранина о (2) лля любой достаточно гладкой ар. Из проведенного нами доказательства вытекает даже, что все гр можно считать равными нулю на всей (или яа части) границы О, если мы хотим убедиться в выполнении равенства ди Таг+ — „=О лишь внутри О.
При этом соответствующая часть контурнодн "о интеграла пропадает. Пля гладких и равенства' (2) эквивалентны определению решения. )'ля проверки их выпОлнимОсти не надо, однако, дифференцировать Из непрерывности производных ии и„следует существование такого в, 3 В ди ди д чт то при (х — х,) +(1 — 1е) ( з выполнено неравенство — + --> —, да дл 2' Определим теперь ф(х, 1) формулой !гл и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ и(х, 1). Это и послужило основанием назвать функции, удовлетворяющие равенствам (2), обобщенными решениями уравнения ди ди — + — =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
