1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пусть (Х„ГО) — 'ближайший по х и по 1 узел к точке (х, Г). Тогда !п(х г) <Р(х~ Г)1~! "(х г) п(хо го)!+~и(хо го) ф(хо го)~+ + ( ОР(хе~ ~0) ч'(х 8) /( !п(х, Е) — и(хо, ~0) (+ 6 + 3 ( . ° /Ьх /Ы е е е е е е ~а1/ — +Р у — + — + — ~ — + — + — + — с в. 2 у 2 6 3 6у'2 6)тй 6 3 Мы показали, что действительно наши функции ф(х, Г), определяе- ' мые заданием дискретных значений только в узлах, образуют е-сеть. Нам осталось оценить количество таких функций. Лля этого поступим (гл. и 184 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Понятие е-знтропии, введенное А.
Н. Колмогоровым, играет важную роль з современной математике. Чтобы понять его смысл, представим себе, что мы хотим указать с точностью до з на какую. либо конкретную функцию и(х, Г). Ясно, что для этого достаточно указать номер ближайшей функции е-сети. Если их нумеровать числами в двоичной системе счисления, то длина этих номеров и будет равна 0 (е). Значит, если мы захотим послать телеграмму с ука. занием какой-либо конкретной функции, то зта телеграмма должна содержать О (е) знаков. Понятие е-энтропии не будет играть в нашем дальнейшем курсе какой-либо роли, но мы его разобралн, так как зто вообще очень важное понятие, а отвлекаться в сторону нам пришлось совсем немного. 3 а д а ч а.
Докажите, что бесконечное множество фуннций ( и (х. Г) ) таких, что ( и (х, г) ) ( М, (и(хд, гд) — и(х,, гд)((йг((х,— хд(т+)(д' — Гд(д) (т>0), допускает в ограниченной области конечную з-сеть и, следовательно, компактно в смысле равномерной сходимости.
Оцените его а-энтропию, й 17. Теорема сушествовання решения смешанной задачи Доказательство теоремы существования решения у гиперболической системы начинается с описания продолжения сеточных функций на весь прямоугольник. Оценки для этих продолжений или «интерполяций» как следствия нз оценок сеточных функций. Выполнение начальных и граничных условий для предельных функций. Доказательство дифференцируемоети предельных функций. Формулировка решаемой задачи, предельный переход в разностных уравнениях.
Теорема существования. Попутно полученные неравенства для решений и их производных. Некоторые замечания к доказанной теореме существования и единственности 'смешанной задачи для гиперболической системы: 1) отназ от диссипатизности граничных условий, 2) случай коэффициентов, не зависящих от времени, 3) теорема существования решения задачи Коши внутри характеристического треугольника. Цель этого параграфа состоит в доказательстве теоремы существо- .
вания решения смешанной задачи для гиперболической системы уравне-; ний с двумя иезависимымн переменными. Основная идея этого доказа-, тельства состоит в получении разиостиых приближенных решений и оценок для иих. Этп оценки будут обеспечивать компактность приближен. ных решений. После этого будет уже нетрудно проверить, что пределы сходящихся.
последовательностей приближенных решений являются точными решениями. Оценки для приближенных решений и теорема о компактности уже . были нами изучены. Теорема существования получится как простое объединение этих уже известных иам фактов. Некоторая, правда, не принци. пиальиая, трудность состоит в том, что теоремы о компактности изми ' изучались для функций, определенных во всех точках прямоугольника тогда как приближенные решения строятся только иа дискретной сетке . Чтобы это несоответствие преодолеть, мы начнем доказательство теоре мы существования с научения интерполяции сеточных функций.
Такзя 171 теОРемА сушествовлния Решения смешАннОЙ зАдАчи 18б интерполяция позволит продолжить сеточные функции на все точки прямоугольника и после этого применить к ним теорему о компактности. Рассмотрим прямоугольник 0 = х ( Т., 0 ( Т = Т, на котором постРоена разностная сетка с шагами т (по времени) и й (по пространству).
Будем предполагать, что в основании (О, Ц и в высоте (О, Т) умещается целое число шагов (й или т соответственно). В каждой точке разностной сетки определено значение сеточной функции. Значение этой функции в точке с координатами 1=1т, х=йй мы будем обозначать иип Определим непрерывную функцию й(х, Т) внутри каждого прямоугольника ст ( Т ( (1+ 1) т, йй ( х: (й+ 1) й формулой: 11 (х, Т)=иса (1+1 —,') (й+1 — — ") + ив„+, (1+1 — — ') ( — "„— й)+ + "1 ч'(~-')('+'-~)+ "1" - (-'-') (-".-') функция й(х, 1) будет кусочно линейной по х при каждом фиксированном Т и кусочно линейной по Т при каждом х.
Предположим, что сеточная функция удовлетворяет неравенствзм шах й ч ',и,'А~А, шах й Ч , '(исс ь А — исо)'~ В„ т шах й~(ис.в71 — ись1'(В. й )-' ь Мы покажем, что в этом случае для интерполяции й(х, 1) имеют место аналогичные оценки ь шах~ йя(х, 1)с(х(А, с ь шах~ 117'(х, 1)1(х(В1, о шах с) й,'„(х, 1) 1(х ( В,. с о Ъкааательство проведем сначала для' первого неравенства. При г=(т "при йй~х -(й+1)й имеем для й(х, ст) формулу 81(х,!Т)=ись(й+1 — — )+и; д„(( — — й).
В "числим интеграл Ой+11 ь (Ь+1) А й'(х, 1т)с(х= $ ~иса(й+1 — — „)+и; „+ ( — „— йД всх. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 186 [ГЛ. П Сделаем ззмену переменных — — я=я х Ь («+!) « 1 й«(х, 1т)г(х=й ~ (иг«(1 — $)+иг,«+Д«~$= «« о Ь (и'«+""и'«+1+и1 «+1)~ з ~иг«+ 1(оказав это неравенство и просуммировав его по всем л, мы получим +и) «+11= / и)«+ "1. «+1 2 ~ й'(х, 1т)Ых( А~я, 'иг«. Очевидно, что при 1т(8((1+1)т, т.
е. при 0 - — (1, можно нат писать ~ йа(х, 1т)1(х о ( шах Й ~~и)«. $ 1йг« (х, (1+ 1) т) г(х о с $ й'(х, 1)г(х~гяах о Неравенство п1ах ~ йя (х, 1) Ых ( А о обосновано. Теперь займемся интегралом с ~ йг (х, г)г(х. з На интервале 1т<.-~((1+1)т производная й, не зависит от г и кусочно лннейна по х. А именно, при йй(х<(й+1)й ) Пусть теперь 1т~1((1+1)т. Функция й(х, 1) в атом интервале линейна по й й(х, 1)=~1 — — ) й(х, 1т)+ — 1 и(х,(1+1)т), и" (х, 1)~(1 — — ) из(х, 1т)+ — й'(х,(1+1)т). а 1!! теОРемА сяшестВОВАння РешениЯ смешАннои 3АдАчи 187 («+1! А Оценка интеграла ~ й)(х,1)с!х делается совершенно так же, как АЛ !А+!) а уже проведенная оценка для ~ й'(х, !т) йх1 ы«.11 л 1 я«««с = (1в с«=""о-в-«'- Ъ=д' 1)'л «А -"Е" ' "")'+~"" "' )') Суммнруя этн неравенства по й, будем кметы ! йс (х, 1) с(х ~ й ~ ( !+е А ' а) «а; шах )с ~ ( '+' " ' а~ ( В Ф а Тем самым доказано, что ! шак ~ йс (х, 1) йх ~ В1.
с в Теперь заметим, что прн 1=1Т на ннтервалв йй(х~(Я+1)й промаводная й„(х, !т) постоянна: й. (х, 1т) *."сайф-ай!. Отсюда с й„'(х, !Т) с(х й~~~~ ~в~'"+~ в!А) . На интервале времени 1т(1((1+1)т производная й„лннепна по 11 й„(х, 1) =(1 — '— ") й„(х, )т)+ — '," й.(х, (!+ 1)я) Отсюда «и . «««(3 — =',") $ «и . ю« +=',' 4 «и . ««+ 1 и ( шах А й', (х, !Т) ых ~ шах сс У ) 'А"',, "«), с Последнее нз трех анонсированных неравенств шах ~ й„' (х, !) с(х м Вя а Аоказано.
188 гипяэволнчискив ээ«знания ~гл, и Пусть у нас есть не одна сеточная функция иы, а целое семейство (бесконечное) таких функций. Предположим, что каждая из функций, этого семейства удовлетворяет неравенствам вах й " „'и,'« ~ А, вахй 'У',~"'+'« "ь«) (В;, вах)д ч',(яд'«+д — лд«) -В « т з' Тогда продолжение й(х, г) на весь прямоугольник каждой из функций нашего семейства будет удовлетворять нерзвенствам шах ~ йз (х, д) Их ( А, о<д<го ! днах ~ (йд+й„') д(хм„-', .В«+ В«=В.
о<д<г о Как было показано в предыдущем параграфе, функции (й) образуют ограниченное и равностепенно непрерывное семейство. По теореме ° Арцела это семейство компактно относитально равномерной сходимоста, Мы знаем, что для достаточно малых разностей времен гд — г ! й (хя, Ся) — й (хд, (д) ! ~( ф В ф ) хя — х ) + 4 (' В У! да — Сд 1, ! й (х, д) ! -а; 1/ — + 2 .у АВ.
Фиксировав х„гд, х, г«и выбирая последовательность (й) функций, равномерно сходящуюся к пределу и(х, г) мы, очевидно, для этой предельной функции получим такие же неравенства с теми же константами:" ) и (х„да) — и (х„гд) ( ~ 3~ В дг' ) хо — хд ) + 4 3/В (' ) Со — дд ), ( и (х, () ! ~ 1/ — + 2 )ГАВ. Пусть теперь каждая из сеточных функций иы принимала при д=О значения, равные значениям некоторой фиксированной непрерывной функции ф(х): иа« = сг (лдд).
Тогда соответствующая проинтерполированная й(х, Е), очевидно, будет удовлетворять неравенствам ) й (х, О) — й (Угй) , ,'= ) й (х, О) — ~р (йй) ( < 3/В (Г) х — йй (, ~ао, ч — ~( ~~~увдт:а~.~~(ч — ~рдя ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 189 5 1Л вы~ )рат$ к так, что расстояние между точками х и йй б ет меньше 6 а затем рассмотреть сходящуюся последовательность , „цин (й), проинтерполированных по сеточным, соответствующим все будет м функци б лее малым шагам, то для предельной функции мы получим равенство более О) = ф (х). Следовательно, предельная функция и(х, 1) принимает при а= 0 начальные значения гр(х). диалогично можно установить, что если семейства сеточных функция (и)Ц, (и';Ц, (и)Ц были при й=О (т.
е. при х=О) связаны соотношениями вида и'з =аж (1Т) и)о'+ага (1Т) ы,ь ПР Р функциями агя(г), а, (Г), то пре и~а) и(а) обЯзаны УдовлетвоРЯть гРаничномУ Условию иа>(0, г)= ать(1)иа>(0, 1)+ага(1)и~а>(0, г). )гонечно, мы предполагаем, что для каждой сеточной функции игьг~ выполнены такие же оценки, обеспечивающие компактность, какие мы предполагаем выполненными для и;ь Ма протяжении всего этого параграфа. Число функций, связываемых таким граничным условием, может быть, конечно, любым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
