1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Так мы будем называть условия, при которых для любой вектор-функциц удовлетворяющей граничным условиям, выполнено неравенство: — й и)+,у, 'й;и/~ — й„Ч~ ияь йо ) О. па уходящим д по приходящим д по приходящим д Выбрав р; отдельно на левой и отдельно на правая границах, чтоби удовлетворить условиям диссипативности, мы можем потом построить всюду внутри прямоугольника такие гладкие функции р,(х, 1), чтобв на границах они совпадали с теми, которые там были выбраны. (Мы пишем «по приходящим 1», подразумевая под этим, что суммироа ванне выполняется по всем тем 1, для которых соответствующая характа.

ристика †приходящ. Аналогично истолковывается сокращение «пз уходяшим 1я.) Воспользуемся свободой в выборе нормировочных множителей р, (дс, 1), чтобы сделать граничные условия диссипативными. Рассмотрим, например, левую границу с граничными условиями з Ьй ТЕОРЕМА ЕДИИСтВЕИИОСтИ ЕЕШЕИИЯ СМЕШАИИОИ ЗАДАЧИ 167 В дальнейшем, рассматривая систему ди! ди! — +й; — + ~, шииг=1и ' дк ! ! з ди! ди! д ' ~ д + а'! гп!ги! дг' дх 1 ! 1= 1, 2,..., пеу у=п,+1,..., и, с граничными условиями иг= ~~ а; ит /=зь-!- ! зр и, = У', ргГи7 / ! (1=1, 2...,, и ) прн х=О, (г= и+ 1,..., и> при х=Ь, й 14. Теорема единственности решения смешанной задачи Постановка смешанной задачи с диссипативными граничными условиями. Оценка решения и теорема единственности.

Расширение системы уравнений н гракнчных условий задачи. Получение оценок производных. Обзор оценок решеанй для симметричных гиперболических систем. Условия согласования начальных азакых и граничных условий. Непрерывная зависимость решений от условий заХзчк. Понятие об обратимых задачах. Примеры исследования постановок граничных условий для гиперболических систем. Переходим непосредственно к доказательству теоремы единственности а к получению оценок для решения диссипативной смешанной задачи. Мы рассматриваем при 0(х(7., 1)0 решения системы ди! ди! — +й! — + ~ тггиг=у„ дг дх с-! .л ди! ди! 'ч! — — л! — + ~, гпггиг=.у! дх дх ! ! граничными условиями 1=1, 2,...,пз, 1=п,+1,..., % и! = .У~ а!ти~, I %+! зю и,=~~ ргид 7=! 1=1, 2, ..., пз при х=-О, 1=п,+1,...,п при х=1..

ны всегда имеем право предполагать, что зта задача диссипативна и даже строго диссипатнвна. Доказательство теоремы единственности для диссипативных систем будет приведено в следуюшем параграфе. 188 1гл. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИГ УРАВНЕНИЯ Начальные данные для этой задачи задаются в виде 0 =х(1. (1=1, 2, ..., и).

и;(х, О)=яр;(х) Так поставленная задача называется смешанной, так кзк она требует выполнения для решений не только начальных, но и граничных условии. Предположим, что на обеих границах выполнены условия диссипативности. А именно, предположим, что для любых и;(х, 1), удовлетворяюших граничным условиям, на каждой из границ выполняются неравенства — й;и,' + ~Ч~~ й,и,' ( 0 па удадящии К па прикадящии Г Наша система является симметрической гиперболической системоп Š— +К вЂ” +ти=1" ди ди дг дд со следуюшими матрицами: йд и ~ ), к= 0 т =1тш'1.

Было показано, что для решении этои системы имеет место следующее тождество, носящее название интеграла энергии, ~ ~ [ — (и, и)+ — (Ки, и)~к(хвг1= = ф (и, и) г(х+ (Ки, и) й = =Г))((Рц и)+2(~, и)) дхШ. Элементы матрицы Р могут быть выи числены через элементы матрицы т = =')т;А1 и чеРез пРоизводные от элеменРис.

48. тов К,т.е. через производные от й; (х, 1). Рассмотрим прямоугольный контур на плоскости х, 1, ограничениып справа и слева отрезками вертикальных прямых х=О, х=1., а сверху и снизу — отрезками горизонтальных прямых 1=1д, 1=1д. Такой конкур изображен на рис. 48. я сс! теОРемА единстВеннОсти РешениЯ смешАннОЙ 3АдАчи 159 Рассматривая по этому контуру (А,А,АоА,) интеграл энергии, мы приходим к неравенству Ах ~ ~~ и!~с(х~ ~ — ')~~ !си!с+,У' ,Аси! й+ Ас С ! ' Л, по по прияодящим ! уходящим ! Ах .4я! м о $ — Х хм!о Р хм! пя. $(Бм)с„. ся по по А с=! приходящим ! уходящим ! ся Гд +М~ ~~ '~иду(х, !)4(х~асТ+Ф~ ~~ус ~ '~их!(х, !)с!х й. с, о о Здесь вместо равенства выписано неравенство, так как мы подробно не расписывали двойной интеграл по внутренности прямоугольника.

Этот двойной интеграл ааменен на больший. Константы М и Ф оценивают сверху, соответственно, матрицу !с и вектор правых частей у. Аналогичные рассуждения при оценке интегралов энергии несколько подробнее проводились в й 1О. В силу диссипативности, мы только усилим неравенство, отбросив интегралы по левой и правой границам. Обозначив, Для сокрашения, через !(!) интеграл ((!) = $ ~ч , 'ис (х, !) ссх, о с=! получим для него уже знакомое нам неравенство !(Тх)()(!х)+$ (М((!)+М~')(!)) й, в котором постоянная !!! оценивает сверху правые части (ф/). Из этой оценки по лемме об интегральном неравенстве получается следующее ограничение роста решений М АС вЂ” С г )Г)(!)()с )(0)ег +!хс Теорема единственности следует из этого неравенства.

Действительно, если бы у нас сушествовало два решения задачи с одними и теми же правыми частями !с(х, !) и с одинаковыми начальными данными сй(х, 0)= =яр!(х), то разность этих решений удовлетворяла бы однородной системе (ус = О) и нулевым начальным данным. Рассматривая Однородную систему с нулевыми начальными данными, мы должны считать, что схс=О, !(0)=0. Отсюда !(!)=О.

Больше для единственности ничего не. нужно. 160 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [гл. [т На самом деле мы получили несколько больше, чем доказательство единственности, а именно — получена оценка решений в смысле следую щей нормы [[и[[= шах 1/ ~ ", 'и,'(», г)а~». Обозначим' через (иа[й норму начальной вектор-функции [[ил1л=![и(», 0)[[.= Фиксировав некоторое Т, мы можем полученную оценку записать так; [[и ~ ( сопаг [[[ и, )л+ )[Я. Если мы хотим получить оценку не только для решения, но и для его производных, можно, как мы это уже отмечали, расширить рассматриваемую систему включением в нее уравнений для производных. Эти уравнения получаются дифференцированием исходных уравнений и некоторой группировкой членов.

Прн рассмотрении смешанной задачи удобно воспользоваться специальным способом расширения, который также нами рассматривался. В этом способе расширение производится за счет включения в расширенную систему лишь производных по 1. Все остальные производные выражаются через частные производные по г с помощью исходных урав- ' нений или уравнений, получающихся из них дифференцированием опять- таки по Г. Мы отмечали, что. для проведения такого специального расширения достаточно, чтобы матрица В у системы А — + — +Оп=У ди ди дг дх была иевырожденной. В рассматриваемом сейчас случае канонической системы + х+ ди ди дс дх это требование выполнено, так как роль матрицы В здесь играет диагональная матрица К, на диагонали у которой стоят ненулевые элементы Ц.

Получим теперь граничные условия для расширенной системы. При этом мы ограничимся лишь рассмотрением левой границы и расширением системы путем включения лишь первых производных. Грайичные условия первоначальной системы имеют вид и;(О, 1)= ~ гаГу(Ф)и~(0, г), г'=1, 2,...,.ла. '/ лл+! 161 теогемА единствзнности РешеНия смвшАннои 3АдАчи а 441 Продифференпируем их по 1 и, обозначив д сс;у — — д ауд запишем в следующей форме: иу(0, т)мп .У, ссуу(1)П (О, 1), 1=1 2 ° ° гго /= пв+ 4 и л ан(О, с)= ~ саут(1)44д(0, 1)+ ~ а' (г)иу(0, 4). /=и,+ 4 /= по+! Расширенная система уравнений имеет вид: — + — +младшие члены=О.

Римановымн инвариантзмн этой расширенной системы будут иь ии, причем, в силу клеточной структуры матрицы, функция и; и ее производная ии одновременно отвечают приходящей (или уходящей) на границу хзрактеристике. В самом деле, соответствующие уравнения выглядят так — +лг — +младшие члены=О, ди; диу дт дк дии дии — + лг — + младшие члены = О. дг дк Граничные условия, полученные дифференцированием исходных гра- ничных условий, оказываются разрешенными относительно римановых инвариантов, связанных с уходящими характеристиками расширенной системы.

Отсюда вьпекает возможность приведения расширенной системы к диссипативному виду, а следовательно, и возможность получения оценок для ее решений, Эти оценки дают оценки производных исходной системы. интересно и важно отметить, что в случае, если коэффициенты саут граничных условий не зависят от т, то для расширенной системы они распадаются на две независимые группы л иу ~~ сс44иу, 1=1, 2, ..., ло, /=ив+ 4 л иц= С' ссууиуи 1=1, 2,..., ло.

Характеристики

Список файлов книги