1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Его выпуклость. Способ вычисления границы этого конуса. Неравенство т+Н(1, Н))0 и определение Н11, Н). Однородность и вытекающее из нее равенство 1Нв+ЕН„=Н. Примеры: гиперболическая система с двумя независимыми переменными к, 1 в канонической форме и уравнения теории упругости. Замечание о случае переменных коэффициентов. В предыдущем параграфе при исследовании интегралов энергии мы столкнулись с необходимостью изучать такие поверхности Ю, на которых ')) 11тА+ $В+ т)С) и, и) Ыз ) 0; здесь т, $, в) — компоненты вектора нормали к поверхности 3 А, В, С вЂ” симметрические матрицы, причем А положительно определенз. Мы сейчзс фиксируем некоторую точку (к„1в, уа) пространства и рассмотрим для матриц А, В, С, описывающих коэффициенты некоторой системы в этой точке, мном<ество всех тех векторов (т, $, т)), для которых тА+ $В+ т)С неотрицательно определена.
а 1и НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТЬ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ Во-первых, заметим, что вектор т=1, 3=0, т)=0 отвечает, по условию, положительно определенной форме ТА+ ьВ+о)С. Отметим акже, что вместе с каждым вектором (т, $, т!), отвечающим положи- тельно (неотрицательно) определенной форме, любой вектор т=рт, х — рф, Т1=рт! при р) 0 также дает положительно (неотрицательно) определенную матрицу ТА+ЕВ+т)С=Р(ТА+ИВ+о)С). Это утвержде- ние можно сформулировать так: Векторы, отвечающие положительно (неотрииательно) опреде- ленным Формам, образуют конус. Покажем, что конус векторов (т, $, о)), отвечающих положительно определенным формам, является выпуклым.
Действительно, пусть т,(Аи, и)+$т(Ви, и)+т),(Си, и).= хт(и, и), т,(Аи, и)+$о(Ви, и)+.т! (Си, и)~хо(и, и). Любой вектор (т, в, Т1), лежащий на отрезке, соединяющем концы век- торов (т,, $д, т!т), (то, вя, т!о), может быть представлен в форме г=(1 — а)то+ах„е=(! — а)ят+с4о Т1=(1 — а)т1,+ат1, с неотрицательным а, не превышающим 1, Отсюда ясно, что т(Аи, и)+$(Ви, и)+т1(Си, и)) [(1 — а)хт+ахоД1(и, и) = ~ ш|п (хть хо) (и, и).
Это неравенство и означает положительную определенносгь. Итак, мы видим, что вместе с каждыми двумя векторами, отвечаю- шими положительно определенным формам, все векторы, являющиеся их линейными комбинациями с положительными коэффициентами, тоже отвечают таким формам.
Таким образом, конус векторов (т, а, т!) с поло- жительно определенными формами является выпуклым и содержит век- тор (1, О, 0), перпендикулярный плоскостям !=сопя!. Этот конус не совпадает со всем пространством, так как вектору ( — 1, О, 0) отвечает отрицательно определенная форма. Рассмотрин векторы, лежащие на границе конуса положительно определенных форм.
В силу непрерывности квадратичной формы т(Аи, и)+5(Ви, г0+т) (Сгг, и) относительно вектора (т, и, т!) эта форма на границе конуса будет неотрицательно определенной: т(Аи, и)+$(Ви, и)+Т1(Си, и)~0. С другой стороны, для вектора (Т„В„Т!о), лежащего на границе конуса, эта.,форма не может быть положительно определенной, так как в противном случае выполнялось бы неравенство то(Аи, и)+'Во(Ви, и)+т!о(Си, и) )х)0, которое в силу непрерывности квадратичной формы было бы справед- ливо и для всех векторов (т, я, т)), близких к. (ты $о, Чо). Это противо- Речит томУ, что (то, ао, т(о) —.'ЕРвнио1ный;вектоР.
б* нвотэицлтвльиость квлдэлтичнон моэмы в и! Для этого множества векторов, связзнных с неотрицательной определен- ностью формы тА+$В+т1С, нзше неравенство запишется так: +)'Е+и ь1' я, ="~~0. д/~вфла' ~р.~,~в1 Обычно для выражения р' йв+в)вл (3д'$в+в)в, Ч/Я~в+в)в) используют обозначение Н(й, в)). Ясно, что при а) 0 справедливо равенство Н(а$, ав))=аН($, в)), которое означает, что функция Н является однородной функцией первой степени однородности. Если Н вЂ” дифференцируемая функция, то по тео- реме Эйлера для однородных функций ЕН,+т1Н,= .
Конус векторов (т, $, т1), огвечающих неотрицательным формам, задается неравенством т+ Н (й, в)) ) О. Функция Н(й, в)) еше может быть найдена так. Надо при каждой фиксированной паре Д, в)) найти наибольший корень тв уравнения де11тА+4В+т1С1=0 и положить Н(й, в))= — тэ. Сейчас я проиллюстрирую описанную конструкцию двумя примерами.
Первый пример я рассмотрю в случае всего двух переменных х„1, чтобы подчеркнуть независимость наших выводов от числа пространственных.переменных. Ясно, что в этом случае Н=Н(з), но при этом может быть, 'что Н( — $)~ — Н($). Рассмотрим гиперболическую систему в канонической форме: ди ди дГ дл —, +К-+Яи=.1; йв О /г К= Здесь А=Е (единичная матрица), В=К, т+йв~ т+йв Пе11тА+ $В ~ = де1~1 тЕ+ гК ~1= де1 0 т+ л„$ =(т+дД)(т+дД)" (т+йп5). Уравнение де1~~тЕ+ЦК$=0 определяет конус характеристических нормалей: п прямых в+ад.=-О, которые деля~ плоскость (т, $) на некого Рое число углов. Угол, содержащий вектор т=1, я=О, ограничен лучами прямых т+Ь„Ц=О, отвечающих наибольшему и наименьшему 184 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ.
Ц коэффициентам )гр (рис. 29). функция Н(й) определяется здесь так: Н (й) = шах ( — еяг). В качестве второго примера рассмотрим двумерные уравнения теории упругости »(» » О дх — О у ) да„да ди р д( дх ду ди дан дам р — = — + —, идт дх ду ' да да», да, Ро = — + дт дх ду ' да»» !ди ди~ В этой системе уравнений р — плотность среды, и, о — компоненты вектора скорости перемещения, а;А †компонен тензора напряжений. Постоянные положительные ко- Г эффициенты К и р называются соответственно модулем есестороннего сжатия и модулем сдвига.
Вывод уравнений теории упругости имеется в курсе механики сплошных сред. Выписанная система не имеет симметрической формы 0 и поэтому неудобна для наших целей. Поделим последнее уравнение на р, а вместо третьего и четвертого возьмем Рис. 29. некоторые их линейные ком- бинации. После этих преобразований уравнения упругих волн запишутся в следующей окончательной форме: ди дац дам — — — — — =О, Ра д( дх ду ди да», да„ вЂ” — — — — =-О, Ра д( дх ду ЗК + 4р ЗК вЂ” 2)» д~ ап— 14)»(ЗК+р) 49(ЗК+р) а»» ~ д( ЗК вЂ” 29 ЗК+4р 4р(ЗК+р) " 4р(ЗК+р) и) ди дт 135 нвотрнцАтельность квАдРАтичнои ФОРмы 4 Н! Эта система стема уже является симметрической системой вида 1) этом легко убедиться, если, обоаначнв ит =и', и, =о, и = О , и о„, п,=омв выписать матрицы А, В, С: 0 0 ЗК+4р Ро 0 ра 0 0 4р (ЗК+ р) ЗК вЂ” 2р 0 0 4р (ЗК+р) 0 0 0 0 0 — 1 0 С= 0 Уравнение г(е(~)тА+$В+т)С(=0 для этой системы имеет внд 0 — $ тра 0 ЗК+4р 4р (ЗК+ и) Зк — 2И ' 4р (ЗК+р) тра 0 Замечая, что ЗК+4р ЗК вЂ” 2р ' 4р (ЗК+р) +' 4И (ЗК+р) и вводя обозначения ЗК+4р ЗК вЂ” 2Р— ра ' — 4р(ЗК+р) ' 4)г(зк+и) 0 0 В= — 1 0 0 0 0 — 1 0 0 — 1 0 0 0 .
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ЗК вЂ” 2И 4р (ЗК+р) О ЗК+ 4р 4р (ЗК+ и) 0 ! )г 0 0 0 — 1 0 0 — ! 0 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 0 0 0 — т) ЗК вЂ” 2р ' 4р(ЗК+ р) зк+ар 4р (ЗК+р) 1гл. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ !36 мы перепишем это уравнение менее громоздко: — ΠΠ— ч а — Ь в 0 0 в ч — $ О О 2(а+Ь) — ΠΠ— ч — ч — $ — Ь а О О е — $0 [ — Р+ 2в (а+ Ь)] — $ а — Ь 0 — Ь а =[ — $а+ 2е(а+Ь)] [в(аа — Ь') — айа]=0 Заменяя теперь Р на еа+Ча, приходим к равенству (1).
Теперь можно вернуться к первоначальным обозначениям и написать де1 []тА+$В+ЧС[]= 4 3 1 — а ~.г~) [" —;" а ~-е] о. 4Ф(К+ 3 ") Это уравнение определяет плоскость т=о и два конуса 4 К+ — р — (йа+Ча)=0, 3 Ро т' — г-(ЕЯ+Ча) =О. Ре Эти конусы и плоскость т=о изображены на рис. 30. Внутренней полой конуса, содержащей вектор т=1, 5=0, Ч=О, будет верхняя пола конуса 4 К+ — и — у+ Чя) = О. 3 Ра 'а затем раскроем определитель: [а (еа+ т)') — в (а' — Ь')] [фа+ т|Я вЂ” 2в (а+ Ь)] = О.
(1) Выражение для определителя может быть получено прямым (довольно громоздким) вычислением, Значительного упрощения выкладки можно добиться, заметив, что система уравнений инвариантна относительно вращения и поэтому естественно ожидать, что определитель зависит от переменных е и Ч простым образом: он зависит лишь от $Я+ЧЯ. Полагая в определителе Ч=О и разлагая его по второй и четвертой строкам, получаем равенство 137 уРАВнение глмильтОнА — якОБи 4 !21 Это значит, что матрицы тА+ЕВ+т)С будут неотрицательно определены, если 4 1ГК+ — р Ро Функцию Н($, т)) здесь надо определить равенством у- 4 '+3" Н(кь т)) аг Яа+э)Я Мне кажется, что эти примеры достаточно проиллюстрировали структуру и способ определения множества векторов, отвечзющих неотрицзтельно определенным матрицам тА + $В+ э)С т В заключение сделаем еще одно замечание.
До сих пор мы изучали форму т(Аи,и)+З(Ви, и)+т)(Си, и) в некоторой фиксированной точке (хм уо, го). '..',~! Если матрицы коэффициентов А, В, С в переменные, т. е. зависят от точ- Оп„ ки (х, у, 1), то и конус векторов (т, й, т)), связанных с неотрицательно определенными формами, будет в каж- ,'. ! дой точке свой. Поэтому мы должны писать его уравнение в виде я+Н($, т), х, у, 1) ) О. Рнс. ЗО.
Функция Н и здесь — однородная первой степени по переменным $, т) и, следовзтельно, если она дифференцируемз, $Н +т)Н =Н. Этим равенством мы воспользуемся в дальнейшем. ф 12. Уравнение Гамильтона — Якоби Неравенство и уравнение Гамильтона — Якоби. Схематическое описание приема интегрирования этого уравнения. Бихарактеристики и канонические уравнения Гамильтона для нх построения. Конус характеристических нормалей для уравнений акустики и уравнения Гамильтона — Якоби для этой системы.
Описание областей единственности для нее. Конус характеристик н конус характеристических нормалей. Пример: уравнения акустики. В этом параграфе мы подведем итог в рассмотрении вопроса об облзсти единственности для решений симметрических гиперболических систем. Пусть некоторая область ограничена снизу плоскостью 1=0, а сверху «шапочкой» ф (х, у, г) = 0 (егаг( ф ~ 0). Предположим, что внутри области ф ( О, а вне ае гр О. Итак, мы рассматриваем область, 138 [гл. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ высеченную неравенствами ф ~ О, 1 ) О. Эта область предполагается ограниченной. Внешняя нормаль к <шапочке» ф=О направлена вдоль вектора — градиента (фв ф, ф ). Если (», $, т)) — единичный вектор внешней нормали, то йт=фи Ц=ф„, йт)=фи й .»О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
