1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 26
Текст из файла (страница 26)
— +2 — =О, див див. дт д» = див див — — — =О, дт дх див Ха=0. Эта система имеет два семейства характеристик с положительи наклоном: дх — =2, сМ див=О, < — =1, ш г(нт = О, одно семейство с отрицательным нзклоном и одно — вертикальное < дх дг — =О, г(п =О. Для определения функции и, достаточно ограничиться начальи Чем большую гладкость решения мы хотим получить, тем бо жесткие условия согласования на начальные данные и граничные уел вия мы должны накладывать.
С условиями согласования нам прнд ег иметь дело при доказательстве теоремы существования. При изучена теоремы единственности мы о них говорить, как правило, не буде Нам достаточно предполагать, что та или иная задача имеет достато чна гладкое решение, а за счет какого согласования такая гладкость по лу, чается, нам пока не важно. Чтобы понять, какие граничные условия надо ставить для тех нла иных гиперболических систем, рассмотрим следующий пример.
Пусть в области О~.к((., Г.- 0 мы изучаем решения систеив ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ данныдди "4(х, 0)= остоянна вдоль вертикальных характеристик Эти характе изображены на рис. 44. Значения ид надо задавать при 1=0 ристики изо йрпкп~еутпвки а' Рис. 44. Рис. 46. аа отрезке 10, 11 и на оси 1 при 1)0. Из рис. 45, на котором изо. йх 5ражены характеристики — = 1 (вдоль них ид постоянна), ясно, что нас!с имьные данные ид(х, 0)=фд(х), Ом-.х =(„ да п,(0, !)=д)д(С), 0(1, дяределяют решение всюду в рассматривасиой области.
Аналогично, для определения иа(х, т) достаточно задать и,(х, О)= фа(х), ид(0 1) =др~(~). !, х Руикпня ддд(х, 4) определяется по ее значениям Рис: 46. н основании (Т=О, 0(х(Е) и на правой 'Раияце (х=)., 1~0) области. Это очевидно из чертежа (рис. 46), на ют ором изобРажены линии постоанства иа ~хаРактеРистики — = — 1) . ! дсх ~~а~аем п,(х, 0)=ф (х) (0(х(Е), иа(Е., 1)=дР (4) (1~0). Итак, мы видим, что решение 'системы в выбранной области полно:тью ' ью определяется следующими начальными и граничными условиями. Начальные условия ид (х, О) = фд (х), и (х, О) = фа (х), 1гл. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Граничные условия на левон границе и,(0, г)=фг(1), при х=О, Е)0.
ия(0, 1)=фа(1) Граничные условия на правой границе ив((., г)=4ра(г) при х=(., Е)0. На равных границах нам пришлось задавать разное число условид(„ На левой границе надо задавать столько условий, .сколько у нашеэ гтх системы характеристик с положительным наклоном —. По мере увели: Ж' чення 1 эти характеристики удаляются от левой границы, унося с нее значения соответствующих римановых инвариантов. Мы будем говорит что для левой границы характеристики с положительным наклоноМ 41х йг — )0 «уходящие», а с отрицательным наклоном — «приходящие». Для йх йх правой границы характеристики с — ) 0 — «приходящие», а с — (О-: Й й «уходящие».
В разобранном примере нам пришлось на каждой границе поставитаь столько граничных условий, сколько на этой границе семейств «ухов дящих» с нее характеристик. Эти граничные условия могут иметь И несколько более сложный вид. Пусть, например, и, = атаиа + а„и, + фт (г), на левон границе, иа = сгяаиа+ аа«и4+ тьа (1) гга=ра,и»+()аяия+ра«и«+фа(г) — на правой границе. Задав эти граничные условия, а также указав начальные данные и ра ~=0: и,(х, 0)=ф,(х), ия(х, 0)=фя(х), иа(х, 0)=ф (х), и«(х, 0) = ф«(х), выберем Т так, чтобы за время Т ни одна из характерисгяг не успела пересечь нашей полосы 0 =х((.
от одной границы допру гой. Достаточно, чтобы Т шах~ — )<— — — наклон характеристик) . В системе уравнение нашего прим е(Э (--, цх 411 шах ! — ~ — максимальный наклон характеристик — равен 2. Поэ твв1 1йх1 1441 ~ можно выбрать 1. 1 2 Т— 8 2 ~лх~' 153 пОстАновкА смешАннОЙ зАдАчи При 0«1«Т значения и на левой границе определяются только с помощью начальных данных, без использования каких-либо граничных условий.
Это становится ясно, если обратиться к рис. 47, на котором вх изображены характеристики — = — 1, вдоль которых и постоянна. Ж Для определения и„всюду в рассматриваемой области, в том числе и на левой границе, как мы уже отмечали, достаточно лишь начальных данных. Мы видим, что для 0«1«Т при х=О могут быть найдены я (О, г), н4(0, 1), а после этого вычислены их комбинации 1»на+ 1114П1+ф1 (4) азана+ а»4и«+ фа (1), Эти комбинзции, в силу граничных условий, 7, л Равны н1 (О, 1), пз(0, 1). Аналогично, на правой границе при 0 « «- 1« Т только по начальным данным определятся значения и„ пя, которые «приносятся» на эту гра- ля пх иицу характеристиками с наклонами — „=1, — =2.
Начальными данными Ж ' 4ГГ определяется и граничное знзчение и«. Это дает возможность по формуле па=ни»1 п1+ иизз мз+ ииа« п«+ф« (1) вычислить из. Определив на левой грзнице и„ иа, а на правой из, мы свели задачу к уже разобранному случаю и теперь мы в состоянии определить и1(ж, 1), и1(л, 1) из(х, 1) н«(х, 1) всюду в прямоугольнике 0«1«Т, 0«х«(.. Затем, приняв значения при 1=Т за йачальные данные, мы совершенно так же найдем решение для Т «1«2Т.
Продвигаясь и дальше такими шагами по времени, мы последовательно найдем искомые функции при 2Т«1«ЗТ, ЗТ«г«4Т и т. д„т. е. зри всех 1) О. Лля произвольной гиперболической системы нужное число граничных Условий и'их вид, оказывается, будут определяться. совершенно так же, «ак и в разобранном примере. На каждой границе надо оставить столь- условий, сколько семейств харзктеристрк уходит от этой -границы. условия должны быть такими, чтобы их можно было разрешить 1тиосительно «римзновых инвариантов», отвечающих уходящим харак1еРистикам. О дальнейшем мы ограничимся разбором только таких систем, у ко- Рых нет вертикальных характеристик.
Предположим даже, что в рас:кат ~ вг триваемых областях ! — ! (абсолютная величина характеристической 'корости) ограничена снизу положительной константой. 1б4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. П Пусть гиперболическая система уравнений задана нам в каноническом виде и ди! ди! %! де + ' ди +и~! ! ! ди! ди; — ' — !е! — !+ г ~пц=Я дт 'дх г=! (!= 1, 2, ..., Ле), (1 = па+ 1, ..., и), в полосе 0(х<1. для 0 =1~ Т. Рассмотрим для этой системы следующие граничные условия: и! (х, 0)= гр! (х). Можно доказать, что так поставленная задача имеет, и притом единственное, решение, если наложить на систему и начальные данные некоторые ограничения гладкости. Более того, можно показать, что решение такой задачи непрерывно зависит от начальных условий, коэффициен. тов и правых частей системы, коэффициентов граничных условий.
Доказательство перечисленных фактов (доказательство корректности задачи) и служит обоснованием разумности ее постановки. Приведенные же нами рассуждения на типичном примере могут рассегатриваться только как наводящие соображения, позволившие придумать хорошую поста. новку задачи. Сначала мы начнем проведение доказательства теоремы единствеиности. Теорема о непрерывной зависимости решений от данных задача и теорема существования будут разобраны позже. При их доказатель.
стае мы еще сузим класс рассматриваемых задач, чтобы сделать вывод менее громоздким. При изучении теоремы единственности никакие дополнительные ограничения использоваться не будут. В процессе доказательства теоремы, единственности будут также получены некоторые оценки решения и егв производных. Прежде чем приступать к проведению доказательства (оно буде! разобрано в следующем параграфе), воспользуемся произволом в прв ведении системы к каноническому виду.
На наличие такого произвола пг= Я а! иу прв х=О (1=1, 2, ..., и,), у ее+! ее пг= ~Ч', Д~пГ при х=1 (1=не+1, ..., л). 1=! Для простоты мы ограничиваемся однородными граничными условиями, коэффициенты которых агл Ц являются гладкимн функциями г. Началь- нме данные для описываемой задачи задаются в виде ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ а кй „ы в свое время указывали. Умножнм каждое нз уравнений системы ди! ди; ът — .~- а;— д!«! дШ др;и! д1!!и! дт ' дл чьь! р! д! — л! д . ! рги! + 7„— лтпяп! = РЧЯ.
р! й! Обозначив рчи! через о!, получаем для этна новых неизвестных функцяй опять каноническую систему гиперболических уравнений д ~ и!,у + 7 !пно!=у!. Характеристические корни и!(к, 1) этой системы такие же, как н у исход- ной, а коэффициенты прн младших членах тн н правые части Я— другие. Граннчные условия и; = ~ а!тит у л«+! л« и!= ~' ~!Тит г=! (1=1, 2, ..., л ) прн к=О, (!'=ли+1, ..., и) прн х=Е, перепншутся для нензвестных о;=р;и! так: л о!= т' !в *а!тот (1=1, 2, ..., и) прн к=О, 1=» +! л« т!!= 1» !"-(3!Увт (1=л,+1, ..., и) прн к=1.. т=! ' ру "нтересно, что рп стоящие в числителе, отвечают номерам, связанным с «уходящнмн» характернстнкамн, а р в знаменателях имеют / такие же, аак я «прнходящне» характеристики.
Выбором функций р!(х, 1) можно аобнтьсЯ, чтобы все элементы матРиц гРаничных Условий дла о„оа,... ", ол былн по абсолютной величине меньше любого заданного фнкснРозанного числа. Конечно, уменьшзя этн элементы, мы будем изменять " как правило, увеличивать тп, Я н нх производные. Сейчас будет приведено важное определение, смысл которого вы"спятся в следующем параграфе во время проведения собственно доказательства теоремы едннственностн. на какой-ннбудь положительный гладкнй множитель р=р!(х, 1))О.
результат этого умножения можно записать так: ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ !Гл. д /ранпчные условия, заданные на одной нз границ, называютс диссалативными, если в точках этой границы для любой векто функции (и„ия, ..., ил), удовлетворяющей граничным условиям, вы полнено неравенство — й;иг+ ~Ч~~ йбд; ( О. по прихо- до ухал». дящим д щим ! ляд Гд/ /=ля+1 и подставим значения пд, о„..., от из этих условии в выражение л л, — йдп,'+ ~~ йдпя= — 'у, 'й,п, + ~ч', йдо,'= по по д-ля+1 д прпходмпим д уходящим д л ля / л — йФ+ ~' йд~ ~) В'а~/п/~'.
д= ля+ х /-л,+~ тд! В результате подстановки первая сумма — отрицательно определенная форма е„,.ЬБ ол,.гм..., пл, вторая — некоторая другая форма тех жа переменных. Выбором рл можно сделать все коэффициенты этой второа формы достаточно маленькими, а тем самым полную сумму отрицзтельиа определенной. При таких рл граничные условия для е„пя, ..., пл будут диссипативными. Более того, граничные условия будут строго диссипативными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
