1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 28
Текст из файла (страница 28)
/ по+4 Матрицы 1а;у'1 в обеих этих группах одинаковы. Если еще вспомнить, что инвариантам иь ии отвечают одинаковые характеристические ско- рости й4, то станет ясно, что из диссипативности исходной системы вы- текает диссипативность расширенной. В случае постоянных саут достаточно привеети к дисснпативному виду лишь исходную систему. В дальнейшем мы будем, как правило, изучать 6 С. К. Годунов |Е2 ГИПЕРВОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [гл. и только такие смешанные задачи, у которых матрицы ссгд ]);~ граничных условий постоянны.
Теперь можно оглянуться назад и кратко подытожить те оценки для решений, которые мы получали. Все эти оценки получались для симметрических гиперболических систем. Если требовалось получить оценки производных, то исходнзя система расширялась включением в нее уравнений для этих производных. Такие уравнения получаются дифференцированием исходноп системы. Чтобы эти дифференцирования можно было провести, необходима достаточная гладкость оцениваемых решений, коэффициентов системы и ее правых частей. Были описаны такие способы расширения, при которых расширенные системы оказывались опять симметрическими гиперболическими системами. Все оценки основывались на применении тождества ннтегралз энергии, которое для системы А — +  — + С вЂ” + Сги =~' ди ди ди дг дл ди имеет вид ')) ((тА + ЯВ+ т]С] и, и) (Ь = '))) И В и, и) + 2 ( г, и)] Ых Ыу сК 5 а Здесь Π— некоторая область, Ю вЂ” ограничивающая ее поверхность, (т, $, т)) — единичный вектор внешней нормали к ней.
Симметрическая матрица В определяется через матрицы исходной системы по формуле В=дгА+д — 'В+д С вЂ” Я+гь), Поверхность В при проведении оценок выбирается состоящей из плоских областей, расположенных на плоскостях 1=1„1=1», и из некоторой соединяющей их «боковой границы». В качестве этой боковой границы часто выбирается часть лежащей между плоскостями 1=1И 1=1 «шапочки», нормаль (т, $, т)) к которой удовлетворяет нерзвенству т+ Н($, т), х, у, 1) ) О. Здесь Н(Е, т), х, у, 1) — функция Гамильтона — Якоби, которая строится по матрицам А, В, С изучземой системы с помощью процедуры, которая была подробно описана.
Важен еще один случай, когда на «боковой границе» неравенство Гамильтона — Якоби не выполнено, но зато известно, что на ней выполнены диссипативные граничные условия. Мы изучали этот случай лишь при двух независимых переменных х, ( для гиперболической системы в каноническом виде. При рассмотрении решений смешанной зздачи, т. е. в том случае, когда решения удовлетворяют, кроме начальных, еще и некоторым граничным условиям, на начальные данные надо накладывать, кроме усло- а нс теОРемА единственности Решения смешАннОН зАдАчи 163 вий гладкости, еше и условия согласования начальных данных с граничными.
Действительно, если мы знаем, что решение задачи непрерывно, то начальные данные, очевидно, должны удовлетворять граничным условиям. Если рассматривается расширенная система (при оценке производных) и предполагается, что эта расширенная сиссема имеет непрерывное ре-. шение, то это значит, что начальные данные этой системы удовлетворяют ее граничнылс условиям. Пусть, например, рассматривается система дд дл Ее начальными данными являются п(х, О), сс,(х, О). Последние вычисляются через п(х, О) и п„(х, О) с помощью первой группы уравнений (Ап,+Всс„+...=О). Условия согласования состоят в требовании, чтобы так построенные начальные данные удовлетворяли граничным условиям расширенной системы, на получении которых мы выше подробно останавливались.
Теперь мы кратко остановимся на том, как наша техника позволяет получить теорему о непрерывной зависимости решений от начальных даннных, правых частей и коэффициентов уравнений в случае симметрических гиперболических систем. Оценку разности решений двух систем: Ад д +В, д +Сд д +с«дссд — — Уд дид ди, дид дид дид ди, А, — + В, — + С» — + адил = гз дд дл ди мы будем проводить в области, ограниченной снизу плоскостью 1=0, а сверху «шапочкой», удовлетворяющей неравенствам Гамильтона — Якоби, полученным как с помощью одной, так и другой систем.
Определим норму 1е~ некоторой вектор-функции е как '1 е '1= шах )сс г)г )('У, 'ед) с(х с(У. Двойной интеграл здесь берется по внутренней части сечения с=сопз1, лежащей внутри «шапочки». Предположим, что для решений обеих систем ограничены нормы - !!$1!! !!'— ."'!! Для этого достаточно предположить, что коэффициенты и начальные данные обеих систем достаточно гладкие, но мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта.
6* 1б4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [гл, и Рассмотрим разность уравнений наших систем. Эту разность можно переписать в виде следующего уравнения для разности решений и,— и: д(и — и«) д(и! — и,) д(и»-и») А, ~ + — ~ — +С, д +Я~(и,— и )= х ди =У! — Уя — (А! — Ая) — — (В! — В4 — — (С, — Ся) д — (Я! — Яя) и . ди» ди, ди» Если Ц А,— АБЦ~, ЦВ! — Вя!!, ЦС,— С,Ц, Ц О! — Яя!1, Цу! — (»Ц малы, то мала и вся сумма (по нашей норме ЦЦ), вынесенная в правую часть этого равенства. Рассматривая это векторное уравнение кзк систему для и! — ия и предполагая малость разности начальных данных, т. е.
малость Ц и!« — и», Ц„ мы отсюда можем получить оценку малости Ци! — и Ц. Тем самым дока- зывается, что если начальные данные, коэффициенты и правые части являются достаточно гладкими, то решение непрерывно зависит от всех этих параметров задачи. Точно так же доказывается непрерывная зависимость решений сме- шанной задачи от всех определяющих ее величин. При этом только надо предположить, что ид(х, 1), ия(х, 1) удовлетворяют одинаковым гранич- ным условиям, На самом деле доказательство можно провести и в слу- чае близких граничных условий, но мы не будем останавливаться на нужных для такого доказательства изменениях техники. Если бы для всех разбиравшихся нами задач (задача Коши в области под «шапочкой» и смешанная задача при 1)0, 0(х(Е) были дока- ааны теоремы существования, то из доказанной единственности решений и из их непрерывной зависимости от условий задачи вытекала бы нх корректность.
Мы приведем з дальнейшем доказательство теоремы суще- ствования для случая двух независимых переменных (х, 1). Остановимся теперь на одном простом, но очень важном для даль- нейшего, понятии — понятии обратимой смешанной задачи. Обратимые задачи играют принципиальную роль в теории метода Фурье, научением которого мы будем заниматься в четвертой главе.
При решении системы А ди; ди; —,''+д д'+У. ' =1. =,2."... ! 1 ди; диг 'Ю йг 'д +х! !! ! «ь а+ ' дх й!>0 (О~х аЦ с граничными условиями и;= ~~~ а! п при х=0 (1=1, 2, ..., л), 1 ~~+! А, и;= ~ Дуи~ прн х=(. (1=и«+1, ..., л) 1=! тиоиамх здинствннности»ишвння смишяннои задачи 165 Ф 141 и начальными данными иг(х, 0) = <р;(к) у нас нас может появиться желание рззыскивать решение не при 1~0, а при Г(0.
В слУчзе такого «обРащениа» вРемени «пРиходащие» на „рзницу и «уходящие» с границы харзктеристики меняются ролями. Число граничных условий должно теперь равняться числу характеристик, «приходящих» в старом смысле. Решать задачу в сторону Е(0 и одновременно в сторону 1) 0 возможно лишь, если число характеристик с положительным наклоном равно числу характеристик с отрицательным наклоном (т. е. если п=2п,) и если граничные условия можно разрешить как относительно рнмановых инвариантов, связанных с положительным наклоном характеристик (и» ия...„п„,), так и относительно инвариантоз, отвечающих характеристикам с отрицательным наклоном Гп„+ь пж Рэ ..., и»,,).
В этом случае граничные условия можно записать так: «ф 2«, ,У, 'у~тих=,)~ ~асти« 11=1, 2, ..., ла) г ! 1=«,+1 на одном из концов (ое11у;т)(ФО, де11аЦФО) и аналогичное условие с дРУгими матРицами Т;» а~т на дРУгом конце отРезка. Такие задачи, для разрешимости которых направление времени не играет роли, мы будем называть одратимыхас В заключение этого параграфа разберем на нескольких простых при- мерах, как с ромоп1ью характеристик исследуется постановка смешан- ных задач для гиперболических систем. Пусть нам надо при 1=' О, 0 =х(1 рассматривать систему дг+бд — +16д — — — О, дз ди ди дт дх дк — + — +5 — =О.
Выясним, сколько граничных условий требуется для этой системы задавать при к=О и при к=1. Вычислим, наклоны характеристик для этой системы как корни характеристического уравнения ! 5 — й 161 1 =(5 — А)з — 16=0; А~ 9, А~ — — 1. 1 5 — А1 Наклоны обеих характеристик рассматриваемой системы положительны. Следовательно, при к=О должно быть задано два граничных условия. При к=1 задавать граничные условия не следует. Рассмотрим теперь систему д« ди да — + 3 — +!6 — =О, дг дх дх до ди д» вЂ” + — + 3 — =О. д1 дх дх 166 1гл. ц ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Ее характеристические скорости определяются как корни уравнения =О; й =-7, /гз= — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
