1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если мы хотим, чтобы форма т(Аи, и)+$(Ви, и)+а)(Си, и) была неотрицательно определенной, нам надо, как мы уже знаем, потребовать, чтобы я+На, т), х, у, ~) ~ О. Умножим левую часть неравенства на положительное А и воспользуемся однородностью (первой степени) функции Н: йт+Н~, ~т, х, у, ~) ~ О. Иными словами, уравнение поверхности ф (х, у, Г) ) 0 должно задаваться функцией ф, удовлетворяюшей неравенству ф,+Н(гр„ф, х, у, т))0. Это неравенство называется неравенством Гамильтона — Якоби. Среди всех поверхностей, удовлетворяюших этому неравенству, особую роль играют поверхности, для которых функция ф удовлетворяет равенству ф~+Н(ф„, ф~.
х,у, г) =О. Это равенство называется уравнением Гамильтона — Якоби. Заметим еше раз, что если взять по поверхности = сопят, связанной этим уравнением, интегрзл ~ ~((тА+$В+т)С) и, и]ьЬ, то этот интеграл будет неотрицательным. Отметим еше тот факт, что прн получении оценок для производных мы расширяли изучаемую систему до системы, матрицы коэффициентов при производных у которой принимали клеточный вид А ) ( ь ) ~ с Очевидно, что условия неотрицательной определенности расширенной матрицы '( ~ ~~»~( с )»" ~ с ) совпадают с условиями неотрицательной определенности матрицы тА+ $В+ т|С. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ дфх дфх дф» — +Н вЂ” +Н вЂ” »+Н =О, д» .
Тх дх т» дх — +Н вЂ” +Н вЂ” +Н,=О. дф» дфх дф» дг тх ду ч» ду д1рх дф Заметив теперь, что — = —, перепишем их так: ду дх ' дфх дфх д1Рх Само исходное уравнение ' — '+Н»ф., р„х, у, »)=О, воспользовавшись тождеством Н(~ф„, »Р, х, У, »)=ф„Н я+ф Н (однородность Н по гр„, 1р» первой степени), можно переписать так: — +Н вЂ” +Н вЂ” =О. д1р дф дф д» тх дх т» ду Систему — +Н, — =О, д1р д»р дх т» ду Н вЂ” +Н =О др„ т» ду дЧ+Н вЂ” +Н вЂ” + д1Рх дфх -д» тх дх — +Н вЂ” + дф» д»р„ д» "х дх нетрудно проинтегрировать методом характеристик, который изучается в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений.
В свое время мы определили понятие характеристики как такой поверхности, для которой вектор нормали (т, $, »)) удовлетворяет урзвнению де») ТА+$В+т)С(1=0. Равенство т+Н=О дает только часть решений этого уравнения. Равенство йе»()ТА+ИВ+»)С((=0 определяет некоторый конус — конус характеристических нормалей. Уравнение Гамильтона — Якоби выделяет из этого конуса только одну полу, а именно полу, охватывающую полоокительную полуось т. Способы интегрирования урзвнения Гамильтона — Якоби научаются в курсе теоретической механики. Сейчас я очень коротко остановлюсь на процедуре получения решения (существование и гладкость которого, равно как и гладкость функции Н, предполагаются), чтобы использовать эту процедуру при разборе важного примера.
Наряду с уравнением Гр»+Н»ф, »р,х, у, »)=О рассмотрим равенства, получающиеся из него дифференцированием по х и по у: 740 игл и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Рассмотрим характеристики этой системы д?г ддрд — „=Н Р вЂ” — =И,. Вдоль этих характеристик "Ря — = — и,. д? Ре дрг дрг дрг дрг — = — +н — +н — = — и „ Ф д? Р'дщ 'ддя Кроме того, опять же вдоль харзктеристик дф дф дф дф — = — +и — +и — =о. Ф д? Р дщ вддя Итак, если мы знаем, что в некоторой окрестности плоскости 7=0 точнее, в некоторой окрестности определенной области 'на этой плоскости) существует решение ф(х, у, 7) уравнения Гамильтона — Якоби + И ~ д е У г ) принимающее при 7=0 начальные значения ф(х, у, 0)=фа(е, у), то мы можем построить это решение так.
Через каждую точку (х, у) нашей области на плоскости 7=0 проведем характеристику, определяемую начальными данными йо =У!г-о дфя Рва= др Ио=л !г-о дчв Ргй дл ' и уравнениями — = Нр, дш дГ ! дш — = — Нд,, Ж (канонические уравнения Гамильтона). Траектории этих уравнений Х='?т='?т(г '?ы 'Уяа)~ 3'='?з='?я(7 '?та '?яа) заполняют некоторую окрестность нашей области, заданной при ?=О.
Вдоль каждой из этих тРаектоРий ф=ф(~7„, ~?яа)=ф„(сУИЯ г?яа) не зависит от й Из УРавнений ж=дт(?, дгм дяа), У= ?я(7, ?гм дяа) по заданным х, У, Г могУт быть опРеделены ?,м дям а следовательно,, и значения ф. Обознзчим д,=х, да=У, ф„=-Ри ф» — — Р, и пеРепишем системУ еще раз: дг +НР (Рт Ря рт г?м )д,'+НР,(Р1 Рм й Чя )д, дц, дрг др, дрт — +н„— +и,,— +им=о,- д? 'да, *дат дря дря др — +и,— — +н,— +и,, уРАВнение ГАмильтонА — якози 141 Провести по описанной схеме доказательство существования реше- ния не слишком сложно, но громоздкО и кропотливо. Аккуратно такое докззательство, даже для более обшего случая, проведено в книге И.
Г. Петровского «Лекции по теории обыкновенных дифференциаль- ных уравнений». Мы ограничимся тольки приведенной схемой и перей- дем к рассмотрению примеров. Отметим только, что харак геристики уравнения фг — — Н(ф„ф», х, у, г) = =О, в свою очередь описывавшего характеристическую поверхность некоторой системы, называются бихарактеристимахси. Выпишем уравнение Гамильтона — Якоби для симметрической системы, описывающей распространение звуковых волн в движушейся среде, ди ди др р.— +р (у — + — =о дг о дх дх р — +р (г — + — =о, д д др одг о дх ду= 1 др 11 др ди до — — + — „— + — + — =О. рос3 дт р с1 дх дх ду Здесь и+ у, и — компоненты скорости (и ~~,(у, и с (»), р — возмущение давления.
Если положить 1'=1, х'=х — (Гс, у'=у (т. е. перейти к движущимся со скоростью У координатам), эта система перейдет в уже известную нам систему уравнений акустики: ди др р —,+ —,=О о дт до др —,.+ —, =0 о ду ду' 1 др ди до — —, + —,+ —,=О. рос' ду дх' ду' уравнение бе1[]ТА+$В+Т1С1=0 для уравнений звука в движушейся среде имеет вид р,(т+ Л) О О ро(т+ ($) Ч $ о) — (т+ Л) 1 Раскрыная определитель, получаем равенство ф (т+ У$) [(т+ (»»)а — с1(ьо+Т1а)1=0. о Конус характеристических нормалей для втой системы распадается на плоскость т+ 03=0 и конус второго порядка (т + Щ)о — со (Р + т)') = О.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ !гл. и Таким образом, конус характеристических нормалей разбивает все пространство т, е, Ч на четыре части: 1. т+(1$) са)'Р+Ч' 11. с $~Р+ч')т+с% о, Ш, 0 ) т + 11$ ) — с, Р' $' + Чя, 1Ч. — с, р Р+Ч')т+ (1$. Вектор т=1, $=0, Ч=О, очевидно, принадлежит области 1: 1т+ (1$ )с, Р'Ба+Ча). Именно в этой области лежат векторы (т, $, т1), отве. чающие положительно определенным энергетическим формам. Если ( У((см то для векторов этой области т) с,У'Е + ч — иЕ»(с,— ~ и~ИВ~ О. Вся эта область при этом лежит в полупространстве 1)0.
Если-же Рнс. 31 т ~ У~) с„то область т) с,1 Р+Ч' — 11$ уже пересекается с полупространством т(0. Ее расположение в этом случае изображенона рис. 31 (сг) 0). Уравнение Гамильтона — Якоби, отвечающее нашей системе, имеет вид Чс+ (Лр,— сч)' Ч4+ ф$ = О, (на, ч)=иЬ вЂ”, р'Р+ч') В покоящемся газе (11=0) оно упрощается 4р~+Н(% ЧЪ)=ф~ — с Р Ч)л+(р =О. Построим сначала характеристики для этого простейшего случая (Н(э, т1)= — са3/ Р+т1а). Пусть неравенство ~р (х, у)(0 определяет на плоскости х, у некоторую область, изображенную на рис. 32. Кривая <р,(х, у)=0 является ее границей. Постараемся построить функцию 143 уравнение ГАмильтОнА — якОБи а 121 Р) такую, чтобы ф(х, У, 0)=фа(х, У) и чтобы она удовлет- уравнению Гамильтона — Якоби ворялз уравн са 1' фх+фх'=О ся " "итересозаться лишь тем, „ меняется п стн ф(0, т.
е. как озьмем какУю л„б, фо= =0 и определим в ней Аз=хо Чзо =Уз Раз =фох Рао= фа ° Очевидно, что вектор (Рао Рза) направлен по внешней нормали 'к кри- ф,= О, Выпишем уравнения бихарактеристики, проходящей через ~очку (ха Уа) (О= — са3 Ра+Ря)* ил 3 1, Р, лРа тг тг Р~ 0 а~ — лт яа 3 атча ра — — НР— са Оя = О. Р'р 1 р" Из этих уравнений видно, что вдоль бихзрзктеристики р„ Р будут постоянны, а следовательно, будет постоянен и вектор скорости движения ~ †, †) вдоль бихарактеристики. Этот вектор напрзвлен по той '(31 ДГ) же пРЯмой, что и (Ра, Рз), но в обРатнУю стоРонУ, а его модУль Равен Итак, двигаясь по бихарактеристике, мы будем смещаться внутрь облзсти фа(0 по нормали к ее границе с постоянной скоростью с. Напомним, что вдоль бихарактеристик 'Р (х У т) = с оп з1 = О.
На рис. 33 изображено, куда сместится граница ф(х У 1)= =0 за небольшое время Вспомним теперь теорему единственности, которую мы изучали. По этой теореме га л' начальные данные, известные Р . 33. ис. нам при Т = 0 в области ф(х,у, Т)(0, однозначно определяют решение для т 0 в области ф(х, У, Т)(ОГ Почему с ростом Т на нашем рисунке эта область уменьшает свои размерыР Вспоминая, что скорость движения границы этой области носит название чскорость звука», мы можем дать этому факту следующее нестрогое, но по существу правильное, наглядное 144 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1гЛ и истолкование. То, что мы знаем начальные даннйе внутри области .' гр (х, У, 0) ~ О, еще не значит, что они не существуют при ф (х, у, 0) ь О:.' Просто они нам там неизвестны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
