1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Из этих формул очевидно, что все компоненты гт(х, (), г,(х, 1), ..., гч,(х, 1), гя(х, 1)=1, г 1(х, 1), ..., г„(х, () будут внутри окрестности гладкими 'функциями от х, Е Ясно, что если все г;(х, 1) умножить на одну н ту же гладкую р(х, г)~0, то мы опять получим гладкий собственный вектор. В частности, таким путем можно добиться того, чтобы компоненты гг(х, 1) собственного вектора былн нормированы условием ~Ч,' 4(х, 1)=1.
Так нормированный соб1=! ственный вектор определен однозначно с точностью до знака. Только этот знак мешает нам воспользоваться теоремой Вольцано — Вейер- ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ 119 штрасса и, выбрав конечное покрытие окрестностями произвольной замкнутой подобласти, а затем оклеив в их пересечениях знаки у 22(х, Т), построить собственный вектор гладкой функцией во всей замкнутой подобласти. На самом деле в случае односвязной области такое построение действительно можно провести.
В двусвязной области оно может оказаться невозможным. Мы не будем на этом подробнее останавливаться и огранвчимся построением гладкого собственного вектора лишь в некоторой окрестности точки (2„12). Построив такие окрестности для всех собственных векторов, а затем ваяв их пересечения, мы можем утверждать, что у точки (х„са) существует некоторая окрестность, в которой элементы матрицы «ы 222 22! л! «л2 ''' «лл являются гладкими функциями х, 1.
Столбцы этой мзтрицы мы составили из собственных векторов так, что 22р С 2Р =л лр Иными словами, имеет место тождество 1222! !22222 ... Лл«тл 222! 2222 ' ' ' Л«ал 22!а йа«ал "" йл«лл 22! 2ы ... 22л Й! О «ы 222 ° ° ° «ал = ЯК. «л! «ла ' ° ° «лл О Лл Матрица с, состояшая из линейно независимых собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, невырождена. Поэтому можно написать 2 !СЕ=К. Это равенство ознзчает, что подобное преобразование с матрицей с приводит С к диагональному виду К. Этот факт известен из линейной ннтвгвлл энивгии нужна лишь для построения гладкой 2(х, 9) Если же канонический нд получен, то для построения дальнейшей теории требование некратности совсем необязательно.
Пр и мер. Система уравнений Максвелла е дН„ дН, со де дх ' имеет двукратные характеристические корни, но это не мешает ей при- водиться к каноническому виду (см. й 5 гл. 1) д(г'рН +)'еЕ») со д()'рН„+Г'еЕо) дт У" „е дх д(Г'рН,— Г'еЕ ) со д(Г'рНо — 'Г'еЕ ) )' ре д» д(г' р ̈́— )'"е Ео) со д(г'р̈́— )се Е,) +) ре д()"рН,+г'еЕ ) с, д()'рНо+)'еЕ ) дг +) — дх Ближайшие параграфы будут посвящены подробному исследованию важного класса гиперболических систем — симметрических 1-гиперболических (по Фридрихсу) систем.
Напомним их определение, данное нами в $ 6 гл. 1 для случая трех независимых переменных х, у, 1. Система уравнений А(х, у, 1) — +В(х, у, 1) — +С(х, у, 1) — =Дх, у,' ~, и) ди ди ди называется симмелгрической 1-гиперболической системой, если матрицы А, В, С являются симметрическими, а матрица А к тому же положительно определенной. Мы видим, что в случае двух независимых переменных гиперболическая система после приведения ее к каноническому виду Š— +К вЂ” +Мо=У до дс М дх является симметрической г-гиперболической, так как диагональная матРица К симметрична, а единичная матрица Е положительно определена. Б случае, если независимых переменных больше, чем две, произвольную строго гиперболическую систему (с некратными характеристическими корнями) не удается, вообще говоря, привести к форме, симметричной по Фридрихсу.
рдН дЕ, со й дх ' р дН дЕ со сс дх е дЕо дН„ со дт дх 122 [гл. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Сейчас мы выведем для симметрических г-гиперболических систем одно очень важное тождество, называемое иитегрилом энергии. Оно будет играть основную роль при построении всей теории симметрических систем. ] Ограничимся линейными системами вида А — + — -]-С вЂ” + Оп=1 ди ди ди дГ дг ду где А=А(х, у, (), В=В(х, у, Г), С=С(х, у, (), (е=Сг(х, у, г), У'=,1(х, у, Ф), и А=Ав, В=Вь, С=С*. Матрица О симметричной не предполагается. Умножим систему скалярно на вектор 2и 2(А —, и)+ 2( —, и)+2(С вЂ”, и)+ 2Яи, и)=2(у, и). Преобразуем отдельные слагаемые полученного равенства (пользуемся тем, что А=А", В=В", С Св): 2(Ау, и)=(Ад —, и)+(Аду, и)=(А~, с)+(~ —, А~и)= =(Ау, и)+(у, Аи)=(Ад(, и)+(Аи, у)= =(а ]Аи]' и) (Ии' и)+(Аи' 4='ас (Аи, и) ([М А1и, и) Аналогично: 2 (Вд ' и) д (Ви' и) ([д В|и, и), 2 (Сд —, и)=д (Си, и) — ([д-С]и, и).
Кроме того, 2 Яи, и) = Яи, и) + (и, Сг" и) = (Я+ Я*] и, и) После выполнения всех этих преобразований можно написать, что д — (Аи, и)+ — (Ви, и)+ — (Си, и) =(Ри, и)+ 2(Г, и). д д Здесь Р=уА+~ В+д — С вЂ” Я+ Се*)=Р(Х, У, Г), д д д Из последнего равенства ясно, какой гладкости надо требовать от А, В, С, ьь чтобы Р, обладала той нли иной определенной гладкостью. ' 123 ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ З 91 Рассмотрим какую-либо облзсть О, лежащую внутри области существования решения и, ограниченную кусочно гладкой поверхностью Ю. Проинтегрируем наше тождество по области 0 ))[ен, Н.г(е 11- — 1е, 1)~ Ое Гд д д = Ц [(011, и) + 2 (У, и)) 11х г(у й.
а Интеграл в левой части, как интегрзл от дивергенции, может быть преобразован в поверхностный по теореме Гаусса — Остроградского. Мы будем единичный вектор внешней нормали к поверхности Ю.обозначать (т, $, т1). Имеем )) [т(Аи, и) +э(Ви, и)+ ц(Си, и)) а1з= Щ[(Ви, и)+ 2 (г, и)) г(х ь(у 1Ы. 3 о Интегральное тождество Ц ([тА + ЕВ+ т)С) и, и) 1(з = Я [(В1п и) + 2 Д, и)) г1х ТУу Ж 3 о называется интегралом энергии для симметрической системы. Если взять в качестве примера систему уравнений, описывающих распространения звуковых волн (см. 2 6) с матрицами †.
О О . О 1 О~ О О 1 1 Рьс) А= 0 О, В=11 0 О); С= 0 0 0 ~0 0 О/ 1 0 0 0 0 р (матрица Я и вектор у — нулевые), то получится тождество ~ ~ [т( —,+р,и +рата)+Й2ри+Т12рв~1(з=О, выражающее (после деления на 2) закон сохранения энергии звуковых волн. В случае двух переменных х, Г мы таким законом уже пользовались в й 5 при доказательстве теоремы единственности. Выведенный нами интегрзл энергии будет использован в следующем параграфе для доказательства единственности решения задачи Коши з случае произвольной гиперболической системы.
А пока мы в заключение этого параграфа докажем вспомогательную лемму, которой в дальяейшем не раз будем пользоваться. Лемма об-интегральном неравенстве. Пусть при 0( % Г ( Т фуннг1ил 1(1) =- 0 непрерывна и дифференцируема. Вели тания игл. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ц!) для любых 0(! (Г (Т-удовлетворяет неравенству с, С !(С,Ыцг,)+мг,ц!)бг+д!(„)у'1(!)б! (м~о, !у о), то 'У' Ц!) =ф' ЦО)еУ + — (еУ вЂ” 1).
Доказательство. По предположению, для ! (!я имеет место неравенство ) (м!+Ас ~"у) вс ! (Сс) ! (СС) =СИЦСВ)+ МУ7(! ). — С,— С, Мы воспользовались здесь теоремой о среднем значении, выбрав с ее помошью !ч (!С(!ч~!я). Стягивая [!и Ся] к внутренней точке ! интервала и пользуясь дифференцируемостью 1(а), получаем — СИ ! (!) + д! ) !1 (!). (2) Если для выбранного значения ! Ц!) = О, то выполнение неравенства (1) в точке ! очевидно. Пусть теперь ц!))О. Обозначим посредством 1, либо наибольшее из тех значений 1, для которых Ц!)=0 и !(г, либо (если ц!))О для всех !(!) точку 1=0.
На интервале (С„!) функция Ц!) положительна. Поделим обе части неравенства (2) на 2)/Ц!). Имеем л У'! (с) Ас .ц!) св с(С 2 2 э аС 21 () 2' Умножим обе части последнего неравенства на е м М сг (в У7 (С) 1 АС Проинтегрируем это неравенство от 1, до ! М М е ' сс ц!) — е я )с ц!С)( — ~)е я — е Следовательно, я (с-с1) Ас à — (с-са) )' !ц!) -а )с 1(гс) в я ' + д (ву Так как à — Ст = С, а Цгд) либо Равно ЦО), либо Равно нУлю, то инт гральное неравенство (1) доказано. 125 ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ а ю1 ф 1О. Теорема единственности и оценки решений гцперболическнх систем Использование интеграла энергии для оценок решений симметрических гиперболических систем. Оценки проводятся м области полупространства г>0, ограниченной сверху некоторой «шапочкой», про которую известно, что по ней поверхностный интеграл энергии неотрицателен. Как проверить это условие, пока не выясняется.
Теорема единственности для рассматриваемых областей. Получение оценок для производных путем применения изучаемой техники к расширенным системам, включающим уравнения для оцениваемых производных. Специальный способ расширения путем включения только уравнений для производных по д Мы начинаем изучение теоремы единственности и теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных данных для симметрических гиперболических систем.
Попутно мы получим некоторые важные оценки для решений н их производных. Все эти теоремы и оценки получаются из исследовзния интегралов энергии с помощью интегрального неравенства, доказанного в конце прошлого параграфа. Локазательство, которое здесь будет проводиться, предполагает неотрнцательность некоторых поверхностных интегралов. Сейчас мы этими интегралами заниматься не будем, поэтому все наши выводы будут носить условный характер.
Условия неотрицательности таких интегралов будут изучены в последующих параграфах. Их изучение связано с важными идеями. Изучая гиперболическую симметрическую систему А — + — +С вЂ” +Ягг=г ди ди ди дт дх ду мы в предыдущем параграфе установили для ее гладких решений интегральное тождество, которому было присвоено название «интеграл энергииж ))([тА+йВ+з)С)п, и) Ыз=Я[(Ри, и)+2(г, п))Шг(хау. В этом тождестве поверхность 8 ограничивает область 0 в пространстве (б х, у), вектор (т, й, з)) — единичная внешняя нормаль к этой поверхности. Матрица Р определяется равенством Р = — А + — В+ — С вЂ” (Я+ Яе) . д д д аг ах ау Пусть некоторая область ограничена поверхностью, которая разбивается на две части. Первая нз этих частей представляет собой ограниченный кусок плоскости 1=0, а вторая — является как бы «шапочкой», опирающейся на границу первой и расположенной в полупространстве г) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
