1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Такая «шапочка» изображена на рнс. 25. Мы будем предполагать, что всюду на поверхности «шапочки» квадратичная форма ([тА+$В+т)С1 и, и) неотрицательна. При каких Условиях это предположение выполняется, мы сейчас выяснять не будем. 126 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. и Проведем сечения 1=1м С=аз(С )1,) и рассмотрим область О, ограниченную этими сечениями и поверхностью «шапочки». На сечении 1=1з вектор внешней нормали (т, Е, т)) имеет координаты (1, О, 0), а на сечении 1=1, координаты ( — 1, О, 0).
Опуская в тождестве интеграла энергии неотрицательный интеграл по боковой поверхности и замен!я тройной интеграл по области О на пой вторный, получим неравенство ')) (Аи, и)с(хс(у« е г= св «Д~ (Аи, и)с(хс(у+ с-с, + $ ~ ')) [~(Ри, и)(+ + 2 ! (У, и) Д с(х с(у ~ Ж. Здесь все интегралы по сечениям 1= Са, 1= 1„ 1= сопя( берутся только по пе- Д' Рнс. 25. ресечению О с соответствующей пло- скостью. Обозначим через ЦС) интеграл ')') (Аи, и) с(х сву.
С=сопвС Воспользуемся неравенствами: — М(Аи, и)«(Ри, и) «М(АЕ, и), ')) ~ (Рсс, и) )с(хсву = М )) (Аи, и) с1х с1у='Мц(), С сопвС С=сопвг Я 2!(у, и)~с(хс(у«2 Я )~~~,Гу)с(и, и)с(хну« С сопвС С сопвС «21!се Ц (У у)всхс(у ф/ рп Ц (Аи, и)с(хс(у« С=сопвС С =сопвС «Ф 1/ Ц (Аи, и) с1х с(у = 1в1 )с!1(1)-.
Г 1 сопвС С их помощью получаем, что С, Св ЦС,) «1(1,)+ М („ЦС) (1+Д1 г)Я1(1) с)1. с, Применяем теперь лемму об интегральном неравенстве, доказзнную в конце прошлого параграфа: м — с ез — 1 )Г ЦС) = )' 1 (0) ей + Х (27 ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ я со! Постоянная М здесь оценивает коэффициенты системы и их производные, а дС вЂ” правые части сх. Из доказанного неравенства вытекает, что если и=О при Т=О и если с(х, г)=0, то!(Т)=0, а следовательно, всюду внутри «шапочки» я=О. Это утверждение представляет собой теорему единственности.
Правда, мы пока не обосновали важнейшего условия положительности поверхностного интеграла по «шапочке» и поэтому не установили, для каких «шапочек» такая теорема имеет место. Заметим, что (а. и)(сопя((Асс, и), и, определив норму ЦиЦ вектор- функции а(г)=се(х,у, С) на сечении г=сопя1 равенством Ци(С)Ц=у )) (и, и)с(хссу, с=сапес запишем выведенную оценку в следуюшей форме: Ц а (С) Ц ( сопят Ц и(0) Ц+ сопят снах Ц у'(С) Ц. с Мы предполагаем здесь, что г меняется на конечном отрезке 0(С~ Т, м м г — е — 1 и благодаря этому оцениваем е, —. сверху через некоторые по- 'М стоянные. Рис.
26. Рис. 27. Рассуждении, которые мы проводили, никак не связзны, кроме обозначений, с тем, что число пространственных переменных х, у равно двум. Точно так же могут быть разобраны случаи трех пространственных переменных х, у, я или одного только х. Остановимся кратко на последнем случае. При этом надо рассмотреть Рис.
26. «Шапочка» в этом случае. представляет собой не поверхность, а кривую, вместо двойных интегралов по сечениям С=сопз1 иы должны Рассматривать однократные. Норма Ци (С)Ц определяется здесь так: ,Гх,ш Ци(с)Ц=$,/ $ ~~ис(х, с)~сХх. хИСС $ С ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 128 [ГЛ. П Конечно, можно представить себе случай «шапочки», изображенной на рис. 27. Сечения такой шапочки прямыми с=сопя[ могут состоять из нескольких не связанных между собой отрезков, Без всякого труда можно получить аккуратные формулировки, пригодные и для таких случаев.
Сейчас я расскажу, как описанный выше прием может быть использован для получения оценок не самих решений, а их производных. Рассмотрим наряду с исходной системой А — +  — +С вЂ” + ()и=у" ди ди ди дг дх ду еще три равенства, получающиеся из нее дифференцированием по г, х, у. Эти равенства вместе с исходной системой образуют расширенную систему, содержащую в четыре раза больше уравнений и неизвестных, чем исходная: А дт +В дгч+С д"'+([«+А[)и[+Впх+Сиу+Яи=Ую дх+ д + С вЂ” х+ Ахи, + (Вх+ [ [) и„+ Схпу + Схп = Гх, А — +  — + С вЂ” + А и, + В их+ (С„+ ()) и, + Я„и = У„. Эту систему можно записать с помощью клеточных матриц еще в сле- дующей форме: А дт и„ + В дх и„ [ + С ду, и„/ + 0 0 В, ьт+ Вх Сх В Я+С [.т 0 [«г «+А[ + [[х А„ А„ и[ пх и„ Из этой формы видно, что расширенная система тоже будет симметрической.
Это позволяет применить к ней рассуждения, разобранные нами выше. С их помощью могут быть оценены производные от и(л,у, 1) через их начальные значения при 1=0 и через правые части и их производные Уь [х, ~. Константы в этих оценках зависят от матриц расширенной системы. Для их получения надо требовать большей гладкости от коэффициентов исходной системы и ее правых частей, чем при оценке самой вектор-функции и(х, у, 1). Начальные значения производных и и могут быть получены дифференцированием начальных данных, а начальные значения производной и, ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ а !О! вычисляются через начзльные значения и, и„и„с помощью основной системы уравнений: Аи, = — Ви„— Си — Яи+г и! — — А ~(У вЂ” Ви„— Си,— Яи).
В случае, если надо оценить не только первые, но еще и вторые производные или лаже производные более высокого порядка, то, аналогично, дальнейшим дифференцированием расширяют систему так, чтобы она после этого содержала в качестве искомых функций производные всех тех порядков, какие мы только хотим оценивать. Ясно, что чем выше порядок производных, для которых мы хотим получить оценку, тем большей гладкости нам нужно требовать от коэффициентов исходных уравнений, их правых частей и от начальных данных. У п р а ж н е н н е.
Получите расширенную систему, с помощью которой можно оценить вторые производные от решений. В некоторых случаях при проведении оценок бывает удобно расширять систему за счет включения в нее уравнений не для всех производных, а только для части из них. Остальные производные можно при этом оценивать с помощью самих уравнений. Мы покажем, как этО делается, на примере системы с двумя независимыми переменными х, 1. Расширение системы будет производиться за счет включения в нее уравнений для производных по 1. Предположим, что изучаемая симметрическая гиперболическая система с гладкими коэффициентами записана в виде Ад— ,+В д +!ми=у.
ди ди дх Матрицу В будем предполагать невырожденной (бет~(В~~~О). В этом ди ди случае — можно выразить через —, и, у' н коэффициенты системы: дх дт' ди ! ди дх дà — = — В А — — В Оп+В У. Поэтому, если мы сумели оценить и, и„то с помощью выписанного равенства легко оценится также и . дифференцируя заданную систему по г и дописывая ее к исходной, получаем следующее расширение: А — + — + !'!и ди ди дт дх А щ'+В д„'+ Ф!и+(А!+ Шит+В!и =Л Это расширение в той форме, какая выписана, еще неудобно, так как среди младших членов стоит подчеркнутый нами член В!и„, который не выражен через искомые функции и, и, расширенной системы. Но, б С. К.
Годунов 1гл. и 1ЗО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ как мы только что отмечали, возможно выразить и„ через и, иг Сделав это, получаем следующую форму расширения: А — + — + Яи= г", А — '+  — "'+ Я, — В, В 'ф п + (Я+ А, — ВгВ 'А) и, = ~, — В,В '~. дт дх В матричной форме расширенная система выглядит так: ( :'М,) '')'2 в Вв 'в ввв — вв 'А)Ы ( — вв 'т) В случае достаточной гладкости коэффициентов, дальнейшим дифференцированием можно получить уравнения, которым удовлетворяет диг вектор и, ии ии. Прн этом придется воспользоваться тем, что и,„= — г дх выражается через и, ии ии с помощью уравнения, полученного в процессе уже описанного рзсшнрения.
Точно так же получаются уравнения и для иги, иип или даже для еще более высоких производных по 1. Уп ражиен ие. Выпишите матрицы расширения, проведенного по описанной сейчас схеме, в случае, если предполагается оцейивать производные вплоть до второго порядка. й 11. Условие неотрецательностн квадратичной формы, связанной с интегралом энергии Конус векторов, связанных с неотрнпательно определенными квадратичными формами интеграла энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
