1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Влияние этих начальных дан алых распре. страняется со скоростью звука с,. В каждый момент времени 1 линияф(х, у, 1)=0 разделяет области, до которой дошло и до которой ие дошло влияние неизвестных нам начальных данных. Поэтому ничего удивительного в том, что граница ф(х, у, 1)=0 движется внутрь обла сти ф(0 со скоростью с, нет. Более того, пользуясь этим наглядным истолковзнием, нетрудно понять, как меняется с течением времени 1 область единственности и в случаях, когда граница начальной области тра(х, у)= О имеет изломы.
Уравнение Гамильтона †Яко ф,— га]~ф'„+ф'=0 имеет, например, следующие решения, являюшиеся линейными функциями х, у, Й ф=саг+сгх+])у+у (сг'+()'=1). В частности, такими решениями будут фа=фа(х, у, 1)=с,1 — х — 3, ф =ф (х, у, 1)=с 1+», фа=фа(х у, т)=гас+у ф,=ф,(х, у, 1)г сат — у — 1. Кусочно гладкая функция ф(х, у, 1)=ш!п(ф„ф„ф„ф,)= =ппп (с 1 — х — 3, са(+х, са(+у, са1 — у — 1! в каждой области гладкости будет решением уравнения ф~ — са ]~гфх + фу Поэтому, если в этих областях гладкости направить единичный вектор (т, $, Ч) по внешней нормали к границе области ф ( О, мы будем иметь, что Ц (т(Ап, и)+$(Ви, и)+т)(Си, п)]Из)0. т-о (Этот интеграл можно разбить на сумму интегралов по областям гладкости поверхности ф = О.) Область ф(0, 1)0 является областью единственности для уравнений акустики.
Рассмотрим ее внимательнее. Неравенство ф(х, у, 0)(0 выделяет на плоскости 1=0 прямоугольник — 3(»<0, — 1(у<0, хвлвнвниз гамильтона-яковн 143 $121 ый на рис. 34. При увеличении С грзница гР=О будет перемеизображенны пр оу о шаться внут еремещення равна с, Н этого пере видно, как с течением в сунке види, область ф б ть Ф ( О уменьшаетс., При 3 11 — горизонтальные грани 2са нутся ся и, начиная с этого времени, об ласть ф сть ф ( 0 перестанет существовать, Если изобразить эту область в -у пространстве х, у, г, то она выглядит как насыпь (рис. Зб), Начальные данные, заданные на основании этой насыпи, определяют единственное решение всюду внутРи нее. Боковые грани насыпи, ограничивающие область единственности, являются характеристиками уравнений акустики.
Не.все характеристики годятся для ограничения области единсгвенности — нздо, чтобы нормали к ним принадлежали к границе конуса положительно определенных форм. Уравнение Га~у х мильтона — Якоби выделяет именно тзкие характеристики. Вот еще важный пример области единственности для той же системы. Пусть теперь область задания начальных данных представляет собой круг )гха +ув = Й. Рассмотрим функцию / ф (х, у, с) =)/ х'+у'+ с,с — )т Эта функция удовлетворяет уравнению ш, — св ) гф'„+ фт = 0 в начальным данным ~р (х, у, О) = 1~'ха+уз — 1с ОР(х У, 0)(0 внутри круга).
Поэтому поверхность Ргх'+уз+ свг — )с = 0 "Редставляет собой границу области единственности (рис. 36). Эта гра"ина является конической поверхностью с вершиной в точке х=О, У=О, г= —. Для С) — эта поверхность 1 х'+у'+с г — Й=О пере- Р "0 св в стает существовать. На границе существования она имеет особую точку— вершину конуса.
Ясно, что геометрически картина не изменится, если центр круга бу- дет Расположен не в начале кооРдинат, а в пРоизвольной точке (Хв, Ув). [гл. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Это позволяет нам сказатгь что решение при некотором г=ге в точке (к„уе) зайисит лишь от начальных данных при г =0 в области О, если хаРактеРистический конУс (х — хз)з+(У вЂ” Уе)з — сз(г — 1е)Я = 0 ',(точнее, его пола при г(ге) опирается при Е=О на круг, целиком лежащий в области О (рис.
37). Рис. 37. Рнс. Зб. Полная область единственности будет объединением таких (характеристических) конусов, опирающихся своим основанием на область О. 3 а д а ч а. Опишите структуру области единственности для случая, когда на-. чальные данные для той же системы заданы в области, изображенной на рнс. 38. В скобках около вершин многоугольника поставлены координаты (я, р) этих вершин.. (йу) В свое время, давая определе" ние характеристической поверхно' сти, мы ее определили как поверх-.
ности, вектор (т, й, т)) нормали к которой лежит на конусе характери. / стических нормалей дет'(тА+ЕВ+ т)С'(=О. Пусть вектор (т, й, т)) пробегает такой конус. Сопоставим каждому такому вектору перпендикулярнуй. к нему плоскость Рис. 33. т (а — гз) + ь (х — хе) + з) (у — уе) = и Когда (т, $, з)) пробегает конус характеристических нормалей, зти плв скости огибают некоторый другой конус. ясно, что если поверхность имеет нормаль, лежащую на конусе характеристических нормалей, т , та она сама касается одной из плоскостей т (а ае) + еь (е ле) + т) Ь уз) = 0 $47 ТРАзнеНие ГАМИльТОНА — ЯКОБИ И) Плоскости ТИ вЂ” ~о)+ е(х — хо) + Ч(у — уо) = О, ортогональные векторам (т,ф, о)), связанным равенством т+ (7$=0, проходят через прямую х— — Я = х — Им у =у„о дно ждества т(à — (о)+ В(х — хо)+ Ч(У вЂ” Уо) = — Л И вЂ” ~о)+ В (х — хо)+ + т) (У вЂ” Уо) =Их — (7~ — (х — (7~о)) + о) (У вЂ” Уо) = 0 Эта прямая и является «корусомо, который получается как огибающая плоскостей, нормаль к которым лежит на плоскости т+ 0$=,0.
Если (т, й, о)) пробегают конус (т+ (7$)о — со«Яо+т)о)=0, то нормальные к ним плоскости 'огибают конус <р(х у г)=со(г го) — Нх — (7Ш) (хо (7~о)) — (у — уо) =0 В этом легко убедиться, проверив прямым вычислением, что у(х, у, 1) удовлетворяет уравнению (<р, + Ир„)о — с,' (<р-'„+ гр."„) = О. Итак, для уравнений распространения звука конус характеристических нормалей состоит из плоскости т+ (7$=0 (т+ ()р —.,(р+В )=о, в из конуса тогда как конус характеристик распадается на прямую х — И=хо †, У=у, и на конус с; (~ — Г,)о — ((х — (Ц вЂ” (х, — а,))о †(у у,)о = О, расположение конуса характеристик с вершиной в начале координат "«=0, Уо — О, Го=О изобРажено на Рис.
39 в дозвУковом (( (7((со), ' на рис. 40 — в сверхзвуковом (( (7!) с ) случаях. Конус хврактериивк для рассматриваемых уравнений (точнее, одна из его пол) всегда 'асположен в верхнем полупространстве и содержит ось ( только в до'вУкоаом случае. (Сравните рисунки конуса характеристик с рисунком 'ояуса характеристических нормалей, когорый рассматривался в начале 'то~о параграфа: рис. 31, сверхзвуковой случай.) В заключение приведем область единственности для уравнений звука движущемся газе, если начальные данные заданы при ор(х, у) = )схо+у' — )т'(О, т.
е. внутри круга радиуса )с с центром в начале и огибаемого ими конуса. Этот последний носит название конуса хараклгераслоик. Проиллюстрируем понятие конуса характеристик на примере уравнений звука в движущемся газе. Конус характеристических нормалей для этих уравнений задается, как мы видели, равенством (т + Щ) ((т+ ( ь)о со гьо + т)о)7 О. 148 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1гл координат. Решение уравнения Гамильтона †Яко <р,+ (лр„— ся)' ф„'+ гр'„=,0 с начальным условием ф(х, у, 0)=)схя+уя — Й дается формулой Ч (х, у, и) =Их — АР +у + са1 — К Поверхность У( — к*+у + с,1 — К=0, ограничиваюшая нужную нам область единственности, предстзв ' Рнс. 39.
Ряс. 40. Рис. 42. Рис. 41. собой одну полу характеристического конуса с вершиной в точке й ил — х,=(11~= —, у =0, сц ' са Расположение области единственности в пространстве х, у, 1 изоб жено на рисунках 41 (дозвуковой случаи) и 42 (сверхзвуковой случай 149 постхновкА смешАнной зАдАчи й гз! В 13.
Постановка смешанной задачи для гиперболической системы Обсуждение '""' "' " ""' ' постановки граничных ской системы, н Ч сло условии которое надо задавать на той нлн иной границе н ч'„ой разрешимости залечи. Условия согласования начальных данных мх условий (на примере). Днсснпативные граничные условия. Возможлн однозначно ' н граничных ения гиперболической снстемьг к каноническому внпу чтобы ность такого граничные нчнме условия стали диссипативными В ближайших параграфах мы будем изучать способы получения оценок решений и .теорему единственности для гиперболических систем а случае, когда решаемая задача не является задачей Коши. Мы пока- жеч, что кроме начальных данных разумно иногда задавать еще и некоторые граничные условия.
ди ди Например, решая урзвнение — + — =0 при х)0 мы можем вада- дГ дх взть значения и не только при Т=О, но и на некотором отрезке оси б (х=О). При этом решение и=у(х — 1) определится во всех точках плоскости х, г, через которые проходят характеристики, пересекающиеся с областью задания начальных данных и граничных условий. Если решение имеет смысл разыскивать только при х)0, б)0, то его область определения будет иметь вид, изображенный на рис. 43. С этим примером мы встречались в й 5.
Гладкие начальные данные и(х, 0)=гр(х), 0(х(Е, и(0, б)=ф(г), 0<((Т должны, конечно, удовлетворять условию согласования гр(0)=ф(0), чтобы решение б, н(х, г) было непрерывным на хзрактеристике х — Т=О. Так как, в силу уравнения, Рнс. 43. дн ди м = — —, то для непрерывности производных в точке (О, 0) надо дх' потребовать равенство ф'(0) = — гр (О).
Если мы знаем, что и(х, б) два' раза непрерывно дифференпируема, го ~р(х), ф(б) удовлетворяют еще равенству гр" (0) — ф" (0) =О. В самом пеле, для решений выполнены равенства: д ('ди ди') дни дни дГ гдс дхг дсн дхдà — ( — + — 1= — + — =о, Э азность левых частей этих равенств дни д'и — — — = О. дтн дхн ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (гд. Это равенство, рассмотренное в точке х=О, Г=О, как раз и преп щается в сформулированное условие вр" (0) — тр" (0)=0. Задача. Выведите условия согласования в точке »=0, (=0 произв третьего и четвертого порядков от начальных и граничных данных. Напои что изУчаютсЯ такие РешениЯ УРавнениЯ и,+и»=0, дла котоРых и(х 0) = вр (х), и(0, Г)=вР(Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
