1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 29
Текст из файла (страница 29)
! 3 — й 161 1 3 — )г~ Нак при х=б, так и при х 1 эта система требует задания одного граничного условия. Можно ли задать этн граничные условия в виде: и = О при х = О, и О при х= 17 Для ответа нз этот вопрос нздо привести снстему к каноническому виду. В разбираемом примере достаточно к первому уравнению прибавить (нли вычесть) второе, умноженное на 4. При этом получаются уравнения — 37 — +7 д —— О, д(и+4о) д(и+4о) д (и — 4о) д (и — 4о) — — =О.
дг дх Граничное условие и О можно записать в анде равенства и+ 4о = = — (и — 4п), которое разрешимо как относительно инварианта, отвечающего положительному наклону характеристик, так и относительно другого ннварианта. Поэтому условие гг= О можно задавать как на левой, так и на правой границе.
Эти условия отвечают обратимой задаче. А вот граничное условие и + 4о= О на правой границе задавать нельзя, так как и +4о †э рнманов инвариант, отвечающий приходящей на эту границу характеристике $16. Оценка решеннй разностных уравнений дип смешанной задачи Разностная схема решения смешанной задачи для гиперболической системы. Оценка решений развоствых уравненнй в случае диссипативных граничных условий. Начальные данные должны удовлетворять граничным условиям. В этом пзраграфе мы опишем простейшую разностную схему, с помощью которой можно приближенно решать диссипативиую крзевую вздачу для гиперболических уравнений. Доказывать, что приближенные решения близки к точным, мы не будем. Да мы и не смогли бы этого сделать, так как пока нам не известен факт существования решения у дифференциальных уравнений. В дальнейшем теоремз существования будет доказана.
В ее доказательстве важную роль играет разностная схема, которую мы сейчас изучим. Оценки решений разностных уравнений, аналогичные оценкам интегралов энергии, будут существенно использоваться в доказательстве теоремы. Основное внимание прн оценкА Решений РАзностных уРАВнений 167 $ !5! изучении ии разностной схемы мы обратим именно на получение этих оценок. Система, которую мы будем рассматривать в прямоугольнике 0 ~ х ( 1., 0(1~ 7; имеет вид — +71! — + г т11п1=~.
дк1 ди1 ~р д! дк 1=! и дш ди~ дт 'дл — — л1 — + У т!1и1=ян ", ло, ля+1 °, л. )~0' тн(х 1) и правые части г,( А) „ латаются ограниченными и достаточно гладкими функциями. Граничные условия некоторое время нам не понадобятся. Построим разностную сетку, разделив отрезок 0(х(7. на некоторое число равных частей. Длина л каждой из них называется шагом сетки по х. Шаг по времени обозначим т. Сетка будет состоять из точек х=рй, 1=17т с целыми неотрицательными номерами р, 17. Номер р не должен быть слишком большим, чтобы все точки лежали при х(1.. Нз каждом временном слое (1=!7т) самая левая точка (р=О) имеет координату х=О, а самая правая х=ь.
Временной слой 17=0 состоит из точек, лежащих в основании 1=0 нашего прямоугольника. Мы предполагаем известными значения коэффициентов 711, тн и правых частей 71 во всех точках выбранной разностной сетки. Построив приближенное решение системы на сетке с некоторыми т, 11, мы в дальнейшем будем шаги сетки стремить к нулю. Нам важно получить для приближенных разностных решений оценки, которые при всех достаточно малых шагах т, 11 от этих шагов не зависят. Значения и,(1= 1, 2, ...,) во всех точках начального слоя (!7=0, г=О) предполагаются заданными. Схема, которую мы построим, позволит по этим начальным значениям (при помощи граничных условий, которые пока даже не формулировались) вычислить приближенные значения искомых функций на первом временном слое !7= 1(1=т).
Затем, считая слой т= т за начальный, мы по той же разностной схеме рассчитаем значения и; на слое !7=2. Считая теперь начальным слой 17=2, рассчитаем слой 17=3, и т. д. Для того чтобы описать схему, нам, очевидно, достаточно будет,показать, как величины на слое 1=(17+ 1) т вычисляются по известным величинам на слое 1=!7т. Пока мы будем иметь дело только с двумя слоями (1=1)т, 1=(д-(-1)т), величины на нижнем слое (1=!7т) будут обозначаться пь 711, лг!Р ~~ с дополнительным указанием координаты х =рЬ или соответственного номера р.
Над величинами, относящимися к верхнему слою (1=(17+1) т), будет ставиться крышечка й;(х, (17+1)т). Для упрощения записи при описании схемы нам будет удобно комбинацию правой части 1~ и младших членов т1,а, 1-го уравнения 1гл. и 168 гипияволическни гялзнвния обозначить одной буквой з,: ~ = у —.'Е /ниии Очевидно, что з', =. сои з1 ~Д + ~Ч ', и1 ] с Ясли величины и; известны во всех сеточных точках слоя Г=дт, то в этих же точках нам будут известны зь После введения этого обозначения рассматриваемые дифференциальные уравнения перепишутся так: ди~ ди; — + И~ — =зь да дх Разностная схема для уравнений со знаком плюс перед И~ будет строиться иначе, чем для уравнений со знаком минус.
Иы опишем отдельно схему для уравнения ди ди — +И вЂ” =з, дг дк а затем отдельно для уравнения ди ди — — А — =з дг дл и получим для решений этих схем нужные оценки. Оценки для системы появятся в результате объединения оценок решений отдельных уравнений. При описании схемы для одного уравнения мы опускаем индекс 1, нумерующий неизвестные функции иь коэффициенты Иг и правые части зе Это упрощение сделает выкладки менее громоздкими.
Обозначим значения сеточных функций и(х), й(х), относящихся к слоям 1==дт, 1 (д+1)т, в точке х=рИ через иы>, йШ1. Лля вычисления й1Ш мы предлагаем воспользоваться разностной схемой йоз — ипн Ш1 иоч — и~У ~' 1Ю +И „=з приближенно заменяющей дифференциальное уравнение ди ди — +И вЂ” =з. Ш дл Неизвестное значение й<ю из этой схемы определится формулой йШ1= ~1 — ~ и<Ю+ — и<' "+ сзш>. г таю 1 тИ" и ~ И та Шаги т, И мы будем всегда предполагать подчиненными условию — „(1.
Зная эсе значения ию>, ип>, ..., июта1 на нижнем слое, можно опреде- 169 ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИИ $ гй лить да!, й!Я!..... йиай!. ЗНаЧЕНИЕ жЕ дш! В СаМОИ ЛЕВЕЙ ТОЧКЕ ВЕРХ- него слоя при этом не определится. В дальнейшем для определения этого значения нам придется привлечь граничные условия. Прежде чем переходить к оценкам, докажем следующую лемму, Лемма. Пусть си=(1 — а)у+иг+тг, 0(и(1, и пуслть )и — [3)(Ат. Тоада ал ( (1 — а)уя+ [Ья+(1+ А) т(гав+ ля+ аа).
тая = [(1 — а) у + ия] я + 2та [(1 — а) у+ аг] + (тз)я ( ( [(1 — а)у+ аг]я+ 2тв [(1 — а)у+ из]+ 2 (тг)'— = [(1 — а)у+ аг]я+ 2тзтэ ( [(1 — и)у+ ие]я+ т (ля+ тэя) = = (1 — сс) уа + ага — а (1 — а) (у — г)Я + т (за + гиа):~, ~ (1 — а)у'+ аеа+ т(за+ гэа) = =(1 — а)уя+ рая+(и — р) за+ т(за+ил) ~ = (1 — а)уа+ ~га+т(!+А)(аР+ЕЯ+за). Прежде чем применять эту лемму к нашему разностному уравнению, заметим, что тйани тйаР О й~ла йаР-Р дй ~ — г — т й Ь й дх х ха' (р — 1) й < Л* ..
рйа н что поэтому тй'Р' тйа~ " — — = О (т). й й Оценка 0(т) равномерна по всем достаточно малым шагам т, Ь. Обозначая й!Р> аА идиш=у, и<Р Ы=л, МР С й тйаР Оа й и применяя лемму, мы приходим к неравенству Е 1 + сопя! т [[й!Р>]Я+ [и!Р-т!]Я + [а!Р1]Я]. Выписав такие неравенства для р=1, 2, ..., — „, просуммируем их. В результате получим а а Х' -' а'Х ~Ф-а * Р,„;„-а, ха„а-а, а ~а'Х~Ха.~а]. а' х х х х Д о к а э а т е л ь с т з о следует из следующей цепочки очевидных равенств и неравенств: 17О ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ.
>1 ди ди — — /а — =з дг дх мы предлагаем писать разностную схему так: Й~Р' — и'В' га> ииаа!' — и'Р' >р> л При этом для нахождения й!Р> получится формула й!Р>=(1 — — ~а!Р>+™Р1 и!'""+тяга>, л / ь которая позволяет вычислить й во всех точках, кроме самой правой, отвечающей индексу р=/.//а. Опять предполагая шаги т, й связаннымн неравенством т/е//>(1 и рзссуждая совершенно так же, как и в случае схемы для урзвнения со знаком + перед /а, мы выведем неравенство й ~,в и + [ /алевалев+/авравийрав>!+ Ь +тсопв(('Я йа+,5,'ив+~, 'аа).
1» л л Знак суммы с поставленным справа от него штрихом '~,' мы применяем для обозначения суммирования по всем точкам х=р/>, кроме самой правой (р=///а, х=Л). Вернемся теперь к рассмотрению системы в ди! ди; д>+/а! — '=з>=л> — ~ т>>и! д! дх ! ! в ди; ди; — ' — й! — = з! =.Š— »ати! д! д» "' .й г-! (1= 1 2 ° ° ° пе) (1=ля+1, ..., п).
В этом равенстве знак суммы с поставленным слева от него штрихом 'а означает суммирование по 'р от 1 до /.//а (слагаемое, отвечающее самому левому значению индекса р=О, опускается). Нештрихованный знак суимы ~; означает суммирование по всем р от О до /.//>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
