1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Отсюда заключаем, что ! (х,)((~/ М вЂ” + 1//Г —, (3) В втой оценке М вЂ произвольн натуральное число. Так как разность между квадратными корНями из двух последовзтельных натуральных чисел меньше единицы )/и+1 — 1/и= ' (1, )~п+ 1+ )~п то можно выбрать М так, чтобы Ь1/г (В/А)'/ь ()I М ( /.Уг (В/А)ич+ 1. с с шах ~ ия (х, 1) йх ~ А, шах ~ (и' + иг) К вььвв ввх ( В. Ь<ВЧ,ть а<Г<Г ь Тогда вта функция удовлетворяет неравенствам ! й(х, /) ( ( (А/Е)'/в + (ВЕ)Ч», /и(х, Г)/ 2(АВ)Ч.+(А/Е)'/в, ! и(х, Гт) — и(х, Г ) / < 4ВЧв , 'à — Г !в/в+ В'/в / х — х !в/в (4) (б) для любых двух точек (хт, Гт) и (х, Г ) из рассматриваемого прямоугольника таких, что ~ст — Га ~ (1.. ' Первые два неравенства непосредственно следуют нз предыдущей леммы. Для того чтобы доказать последнее, рассмо грим два произвольнык Из этих неравенств и из оценки (3), учитывая произвольность точки хь, приходим к оценке (2).
Если же в неравенстве (3) положить М=1, то получим оценку (1). Лемма доказана. Лемма 2. Пусть функция и(х, Г) непрерывна, кусочно непрерывно дифференцируема в прямоугольнике О(х((., 0(/<Т и удовлетворяет неравенствам !61 КОМПАКТНОСТЬ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕННЙ ,момента времени 0~(д«гя«Т (гя — гд~Е). Очевидно, что 179 г» ,.», ».» —.»«»6~-(1,». 6»»(~ /и г —.
«~уу ~ и[(х, »)»(с~/ ~ 1 ° »дх — (га сд)с*~/ ~и»(х, г)с(г. Обозначим о(х)=и(х, »я) — и(х, гд). Тогда с с,с 1з'(х)с(х«ия — С;) 1 1 и)атхс(С«(16 — гд)з В. о с,о Кроме того, с с ~ о„' с(х ~ 2 ~ [ [и„(х, гд)]Я + [и„( х, г )]Я] Ых «2В. о о Если применить к функции и(х) неравенство (2) из предыдущей леммы (роль постоянной В играет здесь 2В, а роль постоянной А — величина (гя — гд)ЯВ), то получим и» ]и(х) ~ «2. 2и»ВН»((а — сд)ы»+ (с сд) «.-,4Вы»(ся с )ц»» так как»я — »д«(..
Таким образом, ! и(х, 16) — и(х, Сд)] «4ВЦ»] г — гд )'l»т Если учесть к тому же, что ]и(х„г) — и(х„г)]= х, г с ~ и (х, О с(х1 ='[Г~ х,— х, ~ ~/ ~ и„' Ых «Ви» ~ х; — х, ]и», х» о то мы получим 'последнее из неравенств в утверждении леммы 2. Эти простые, но важные оценки игрзют основную роль в нашем доказательстве существования решений у гиперболических уравнений, поэтому мы уделили им столько внимания. Если у нзс целое семейство [и] функций удовлетворяет выписанным интегральным неравенствам, то для любой функции из этого семейства выполнены неравенства (4) и (5). Неравенство (4) утверждает, что семейство [и] равномерно ограничено. В силу неравенства (5) это семейство равностепенно непрерывно 6).
' ) семейство (и(к, й) называется равном»мненно ненрерыаным, если для любого, 6~0 существует 4~0 такое, что вз ]АХ]+] сдс]«б вытекаетдля каждой я (к, С) из семейства неравенство ] Аи] (з. 160 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1гл.
и Теорема Арцела гласит. всякое равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное в прямоугольншсе О ( х ( 1., О (1 ( Т семейство функций (и) компактно в смысле равномерной схо-. димости. Другими словами: из всякой бесконечной последовательности функций, принадлежащих такому семейству, можно выбрагь равномерно сходящуюся подпоследовательность. Следствие из теоремы Арцела и неравенств, нами выведенных: Семейство функций (и(х, 1)) в прямоугольнике О~к~ 7, 0~1~Т, удовлетворяющах тпам неравенствам А шах ~ и'йх( А, о<(<т о Е ~(и„'+~) а( ~ В о<(<то компактно в смысле равномерной сходимости. Приведем доказательство теоремы Арцела. Мы ограничимся только случаем, когда равностепенная непрерывность задается неравенством (.(,ч() —.(,. А)(~.у ( — (-;ь ) (ч — ).(.
(6) Пусть, кроме того, (и(х, 1)((М. (7) ' Мы докажем, что функции, удовлетворяющие неравенствам (6) и (7) с произвольными, но фиксированными а, р, Лч, образуют компактное,' множество, т. е. что из любой бесконечной совокупности таких функций можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся к неко- торой непрерывной функции.
Для этого нам достаточно будет показать, что из всякой бесконечной последовательности таких функций (и,(х, 1),... ..., и„(х, 1)ь .. ) можно выбрать подпоследовательность (иье иь„иье... ) так, чтобы для любого целого р было выполнено неравенство 1 1иь,(х, Ф) — иь,(х, 1)~( р прн г, з)р.
В самом деле, последовательность (иь (х,с)) удовлетво- ряет критерию Коши равномерной сходимосги и, следовательно, равно- мерно сходится к непрерывной функции и(х, 1). Переходя к пределу при г-ьсо в неравенстве (6), записанном для функции иь, приходим к выводу, что предельная функция й(х, 1) удовлетворяет тому же неравенству: ! й (х,, 1т) — й (х„ 1ь) ~ == са '1Г( хт — х, ) + () 3/ ) ат — т ) . Теперь мы сведем вопрос о возможности выбора бесконечной под- последовательности (иь,, иь,, ..., и„, ...) к другому вопросу, с кото- рым мы без особого труда справимся. А именно, мы покажем, что воз- можность выбора такой подпоследовательности следует из того, что для каждого е) 0 существует конечное число' 2 (') функции ф,(х, 1), КОМПАКтноотЬ РЕШЕНИЙ РАЗНОСтнык уРАВНенип 1М !и ф н<,(х, г) таких, что для любой функции и(х, 1) из щего множ из таки" фь Отетоящая чее чем на е: о.
!и(х, 1) — ф„(х, г) ! фя "° фзн!е! образуют ионечнУю е-сеть. Ч ® характе рактеризующее минимальное число функций, образующих е-сеть, называется е-энтропией множества функций (и(х, г)1. Выберем ед=1д'2я. Среди функций е,-сети найдется хотя бы одна, з в -окрестности которой будет лежать бесконечнзя подпоследовательв в,-ок ность (и„е иье ...) последовательности (ид, и„...). Эту функцию ед-сети обозначим через ф. Каковы бы ни были две функции иь, иь из этой подпоследовательности, для них будет выполнено неравенство 1 1 1 !илд — иь.! ба! ь,— ф!+!ф — и,.!~2,+у--,.
1 Положим тепеРь еа= —, и из подпоеледовательности (ддье иье ...1 выберем бесконечную подпоследовательность (ид,, иье ...) функций, лежащих в в,-окрестности одной из функций е,-сети, так что !дай. Для функций этой подпоследовательности 1 !ид.— ид.!<~аз= ~. Продолжая и далее таким же образом, мы видим, что последовательность, образованная первыми функциями (иье ддде ...1 наших подпоследовательностей, будет удовлетворять критерию Коши.
Тзким обрззом, мы свели вопрос о компактности нашего множества функций к вопросу о конечности его з-энтропии. Оценим сверху з-энтропию множества функций и(х, 1), виданных на прямоугольнике 0 ~ х:-- 1., 0( 6( !' и удовлетворяющих неравенствам !и(хи Гд) — и(хм 1а)!(дт'У !хд — ха!+~3/!Гд — 1з!, (6) !и(х, Ф)!(М. (7) !для этого разделим прямоугольник на маленькие прямоугольнички со сторонами ая ГзбссЧ.
! ~ Згкдд ' зя Л! т ГЗЗЗЯТ! ~ Зб~~' а' ! Вершины этих маленьких прямоугольничков (рис. 49) будем называть Узлами. 182 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. П Рассмотрим функции, определенные только в узлах, принимающие в них значения, равные одному из чисел и изменяющиеся при переходе от одного узла к соседнему не более, чем на е/3. Каждую из тзких функций мы можем линейно проинтерполировать на всех горизонтальных ребрах между узлами, а затем линейной интерполяцией по Г доопределить всюду в полосках между соседними гори- Т зонтальными рядзми ребер, т. е.
всюду внутри прямоугольникз 0 ( х ~ /., 0 О : Ге,Т. Легко проверить, что для кзждой точйк А х ки (х, 8) этого пРЯмоУгольника найдетса , узел, удаленный от нее не более, чем на Рис. 49. гах/2 по х и на сгг/2 по 1, причем в этом узле значение нашей функции отличзется от значения в точке (х, г) неболее,чем на е/3. Я утверждаю, что можно построить з-сеть только из этого множества функций. Возьмем какую-либо функцию п(х, Г), удовлетворяющую неравенетвам (6) и (7), и рассмотрим ее значения в узлах.
В каждом узле найдем ближайшее к и(х, г) число вида ре/3 с целым р. Очевидно, что Так как значения и(х, 1) в двух соседних узлах отличаются не более, чем на е/3: +е1 Г' 36ао ~ т 36РО 3 ' то числа р в соседних узлах меняются не более, чем на 1, т е. выполнено поставленное нами требование. Продолжая так, как было описано, эту определенную только в узлах функцию на весь прямоугольник/ мы получим некоторую ф(х, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
