1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 35
Текст из файла (страница 35)
С йчас мы проверим, что выведенная формула действительно дает решение У „„е уравнения и что это решение действительно удовлетворяет поставн„ым начальным условиям. Тем самым будет доказано существование решен щения и завершено обоснование формулы. ' Сначала докажем следующую лемму. Пусть и(к У .«) — деа Раза непрерывно дифференцируемая фу цсся. Тогда сбуняция (),4лс«С ~ и( .)' «) ссв ! ««С(«а Уо. «а) обладает следующими свойствами: (с (о) о, и"— „с,~ =и,=и(о,о,о), я~ =о.
Напомним, что и(х,у, ) (в= В««С("а Уа «а), 2 = $ ~ и (ха + сс с всп 0 сов цс* уо + сс,( в! и 0 в(п ср, «, + со( сов О) саР в(ссв 0 с(0 с(ср. о о с(ля доказательства представим и(х, у, «) по формуле Тейлора (к — ка)а и=('О+ иа«(Х Ха)+ иау(У вЂ” УО)+ иа«(««О)+ иа«к 2 + + иоу (У Уо) (««о)+ о Нх хо) +()с Уо) +(««о)Ч Проинтегрировав эту формулу по сфере Ю,,с(хо, уа, «а) и замечая, что интегралы от линейных членов равны нулю, мы получим: и(х,у, )( «4 с,'(ви,+А(о+о((а), З«ас («а Уа «о) )с(с) ) $ и(х, ) св и а+ сосо+о(св) З«ас("а Уа «о) Нз этой формулы следуют все сделанные нами утверждения.
Применяя к формуле представления решения з«ас(«а Ум «а) з«ас(«а Уа' «а) 204 !гл,ц ' ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ результат леммы, мы видим, что Ф (ха Уа зо 0)= (а)а(хо Уа «о) а( — Ф(хо Уо зо () =!па (хо Уо зо). Эти формулы и доказывают, что начальные данные принимаются. До сих пор мы пользовались формулой, записанной так, что оиа. давала значение решения в фиксированной точке в разные моментик времени !. Чтобы ее можно было применить для различных точек, надв1 д д производную — в правой части заменить на —, чтобы подчеркнуть, чю. д( дг ' дифференцирование по времени производится в фиксированной точке.„ пространства. В дальнейшем мы и будем записывать формулу для реше.$ ния в следующем виде: ! 1 Гд 1 Г ! г а з«(" т а) з а("а'уа о) Прежде чем доказывать, что Ф(х, у, г, !) удовлетворяет уравнению,б) заметим, что если п(х, у, з, Ф) — достаточно гладкая функция и дои (дои дои дои ! — — сб ( —.
+ — + — ) = О, д(о (,диа два дао ) ао и Благодаря этому нам достаточно будет показать, что интеграл типа и(х, у, з, Ф)= — $ ()(Е, а), ~) г(з 1 ' Зяаг(иа' Уо Яо) является решением волнового уравнения. Запишем это равенство по. дробнее: ая ! и(х, У, г, г)= — (((х+ сота!Пб сов <Р, У+сота!п ба!птР, г+ ао( ) + с,! соа О) 4(о з! п 8 а(8 о(ар = ая я =со(~ ~ (((х+гь(з!п 8 соа у, у+своз!ибо!Пор, я+со! соо 0)з!пб Иб йр а о и будем его дифференцировать. 205 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ФОРМУЛА КИРХГОФА я )о! ди, Начнем с вычисления —; 2» (у' У+со<21п 821пф д! -=1 о дг 2«» и "'"'"""' ' 'Р— !+со! с.
1 1)У з(пдс, +у о 2» « и 1 (' + 1 д( ~ )У! з!п 8 соз, ) у о д + У соз 8) са(2 з)п 8»8 ( Теперь мы обратим внимание на то, что со<221пда!8с)(р является элементом поверхности сферы радиуса со<. Заметим также, что аргументы пРоизводных УР Уч, Ус лежат на этой сфеРе (эти аРгУменты х + + со!2!о 8 соз(р, у+со12(йда!п(р, 2+со< сов 8).
В то же время з!п8соз(р, з)п 8 з!и ф, соо 8 являются компонентами единичного вектора внешней нормали к этой сфере. Зти замечания позволяют нам записать результат в следующих формах: ди и 1 ~ д(1 дг 1 1 ) да = — + — 1 — да= з с(», у, с) = — ", + — ', ~ ~ ~ <У„+ У,„+ Ус ) дй.ж| Ц= — ", + — ', и «)е+(ч у)!+(с )с<сесе (интеграл мы обозначили через Г!. Дифференцируем еще раз: д'и !ди и 1д1 1 11и 1! и 1 1д1 1д1 — = — — — — + — — — — = — ( — + — ) — — — — + — — = — —. дго= 1дг 12 181 22=1 (,1 1/ 12 12+ 1 дг 1дг' Так как ) У!(+ У„+ У„) Д д ( Ц = д — »)е+(ч — у)е+ (с — с)с~сед е сеа 12» « — 1)11(о„., с„а.с„) е,еаеае,'~)а, о о о то д1 $~ ( + 1 + Зсес (»' у с) (В самом деле, производная по 1 от интеграла по шару переменного радиуса равна интегралу по поверхности, умноженному на производную )гл. и ГИПЕРВОДИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 206 радиуса по 1.) Итак, мы установили, что ФФ 1~ ( ~ч~ч" 3 )(х, у, х) (2) С другой стороны, непосредственным дифференцированием формулы мы приходим к равенству (З) т — ) си .о с„„-,- си„) ои.
1 ' Зоых.у,.) Сравнив (2) и (3), видим, что ин = со (пхх+ и»у+ пхх)о а это и надо было доказать. Тем самым формула Кирхгофа 1 Г Ф(х, у, 2, 1)= ~ — ~ — т Фог(з)+ — 1 Ф,о(з 4ясо ~ОГ со) ) соГ аоо))х. У х) Зоо)<х. У обоснована. Чтобы получить аналогичные формулы для двумерного -; уравнения 'заметим, что этому уравнению, очевидно, будет удовлетворять решение трехмерного уравнения не зависяшее от 2. В,ля получения таких решений достаточно рассмат- ривать начальные данные, не зависящие от 2. В этом случае интегралы по поверхности сферы (Š— х)я+(у — т))я+(2 — ~)я=со(о могут быть ва. писаны как интегралы по внутренности круга (Š— х)'+(»1 — у)' = соао.
Покажем„как это делается. Пусть (»=с)(х, у) не зависит от л п(х, у, 2, 1)= 2«« — ()'(х+ со1 з!п О соя ор, у+ со1 з1п 8 з1п ор, 2+ со1 соа 8) сто з)п 8 в)8 о(ор о сот ~ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ФОРМУЛА КИРХГОФА 202 в !в! Тогда $ $ (у(х+софв)п Осовф, у+ сося)п82)пф)с",явв)пВ с!8 с(ф= о о 2с с!2 $ У(х+ с~я в)п 8 сов ф, у+ с Е в)п В в)п ф) с'Р в)п 9 ИО о(ф+ о о 2с с +$ $ У(х+сосв)ВВ сов ф, у+с,св!В В в!пф)с!'2)В О о(Ойр= о сд 2с с/2 =2~ '~ (У(х+сосв)В О сов ф, У+сося)п Ов!пф)соссяв!ВОИОЙР.
о о Проделанное нами разбиение интеграла на два одинаковых имеет следу!ощий смысл. Каждая прямая, параллельная оси л, пересекает сферу о„с(х, у, з) в двух точках, которые лежат одна на верхней, а другая на нижней полусфере. Наше разбиение интеграла и означает его разделение на части, относящиеся к этим полусферам. Обозначим р='сося)п 9, с(р=сос сов Ос(9. Заметим еще, что при 0(В( и/2 В = р'! — М~ 0= 1/ ! — — ",„= ~, р';! — р'. Теперь можно написать, что ~ ~ У(х+сосв!ВО сов ф, у+сося!ВО в)пф)со!22)ВОВ!Ойр= во 2с с!2 (с( + + ° ) сс! яп асс! сова о о 2 со =2 ~ ~ (у(х+р сов ф,у+рв)пф) "!' р ф= 2с с,г 2 С (' (' ст (л+р ф, у+р Мп ф)», с)гс - рв Подставляя так преобразованные значения интеграла по поверхности сфе- ры в формулу Кирхгофа, мы получим: 2с ссС г сор — Р 2с ссг ( 9 Ф,(2+рсовф,у+по)пф) „„1 208 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ )гл.
2, Эта формула, дающая решение волнового уравнения в двумерном сл,с чае, носит нззвание формулы Пуассона. Обосновывать эту форму,' проверкой, показывающей, что она удовлетворяет уравнению и начал. ным данным, не нужно, так как она является следствием уже обосно ванной формулы Кирхгофа. Сейчас мы сделзем качественные выводы из полученных формул дл„ решения волнового уравнения во всех трех случаях и покажем, как они применяются к решению уравнений звуковых волн.
Выпишем для справок сводку формул: «+см Ф( ! ) о(»+со()+Фо(» — со() + 1 '! Ф (ос) ~оя 2 « — соо — формула )(аламбера (одномерное пространство) 2«сс Ф( () ! д ~ ~ Фо(»+Рров22, у+Р в)п ~Р) к«! + 2лсо ~д( р'с((о — р' 2« со! + ~ ~ Ф,(»+усов~у, у+у явор) Усот' — р' ррф — формула Пуассона (двумерное пространство).
вк к 3. Ф(х, у, з, ()= — — — Фо(х+со(в)п 9 сов ф, у+ 4ясо~дг )со! ) 2« к +со( в!п 8 в!п ор, з+ со( сов 8) со(2 в!и 8 асй йр +: Ф, (х+ сог,) + с~( вш 8 сов ф, у+ с~( гйп 8 в!п ф, г + с~( сов 8) с~~!' в(п д овз о(ф~ — формула Кирхгофа (трехмерное пространство). В приведенных формулах Фо обозначает начальное (при 2=0) значение Ф, а Фт — начальное значение производной ФР Непосредственно из этих формул видно одно существенное обстоятельство. В одномерном и двумерном случае решение в некоторой точке выражается через начальные данные на всем основании характеристического треугольника (или конусз), тогда как в трехмерном случае зна.
чение решения выражается лишь через начальные данные на границе области зависимости (ннтегралы берутся только по поверхности сферы радиуса со! с центром в точке (х, у, 2), а не по всему шару, ею ограниченному). Говорят, что.в трехмерном случае имеет место лакуна. Тонкие работы, посвященные исследованию гиперболических уравнений с точки зрения лакун в областях зависимости, были сделаны И. Г. Петс ровским.
волновОЕ УРАВНЕНИЕ. ФОРМУЛА КИРХГОФА а со1 лакуны в области зависимости дла трехмерного волнового Наличие ла приводит к существованию резкого переднего и заднего фронозмушения, описываемого этим уравнением, если начальное возравнения приз тов у возмуш 0) было заключено в конечной области пространства обрушение при У'1 Рези~и то!лько В двухмерн что дзуме д умерная задача может рассматриваться как трехмерная, у которой начально алиное возмущение задано в длинной цилиндрической области, вытянуто и вдоль оси х. Например, двумерными уравнениями будет описываться ся распространение и взаимодействие волн от мгновенного подрыва параллельно расположенных шнУРовых зарядов (на некотором расстоя„„и от зарядов такие волны могут рассматриваться как звуковые).
При„ором трехмерной задачи может служить распространение и взаимодействие волн, образовавшихся при взрыве несколько точечных зарядов, Если такой заРЯд был только один, то введением сфеРических координат можно привести уравнение процесса к одномерному, когда решение рассматривается зависящим только.от г и от 1. Со(ы скоро рассмотрим такой случай для уравнений звуковых волн, а пока покажем, как решать задачу Коши для этих уравнений в общем случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
