1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Новый ее вывод мы привели сейчас лишь для иллюстрации. Напомним еще следующий вариант записи формулы. Пуассона, который будет нам иногда полезен: те 2е ге + 1 ~ 1(ср) костер + 1 '! 1(су) Йе !ос(ср д 2л д йест — (х+су) 2л / йе ст — (х — су) ' 1 Г и(хо Уо) = 2 и (хо+ Й соз сР, У, + Й 51п ср) асср, $ ~ и(х, у)ихс(у ($и(х, у) Весту и(хсо у,)— ~ Ех ау л)!' 2' Лля доказательства первого угверждения достаточно переписать формулу Пуассона для круга с центром в точке (х, у)с в(хо+Рсоза, у,+росна)= = — ! и(хо+Йсозср, уо+Йзспср), Жр о " положить Р=О.
Этой формой теоремы о среднем арифметическом "" недавно уже пользовались при выводе формулы Пуассона из конФормной инвариантностн уравнения Лапласа. лторую форму теоремы о среднем арифметическом легко вывести ' пер~ой. Действительно, при любом г (О ( г ~ Й) 2п 1 и(хо, Уо)= — $ сс(хо+ с соз сР, Уо+гз!псР)с(сР. о Сейчас мы установим целый ряд интересных и важных свойств гзрмоиических функций. 'Две формы теоремы о среднем арифметическом. Еслсс и(х, у) непрерывна в круге К ((х — х„)2+(у — уо)' =.Йя) и гармонична внутри него, то свойства гаямоннческнх ахнкцни (йе'т — (х+ (У)) ) й — )с ха+Уз.
Последнее становитсЯ очевидесли на комплексной плоскости рассмбтреть треугольник со следую ,дими вершинами: йест, х+!у и начало координат. Отсюда дч дха ди" ес ссесг — (х+1В) ~ (й — 'асяс+ус)"~~ Аналогично 1-.. дч йе са дх дул-а Существование, ограниченность и непрерывность всех этих производных делают законным формальное дифференцирование внутри круга ха+у'( ~ гя ~ й' формулы Пуассона сч зч 2~ 1 ~ . ( + 1 ( ((чс) йеСтдсв + 1 ( ((св)Ре Стйср 2п д 2сг д С!ест — (х+св) 2п д йе сг — (х — сд) о о о по параметрам х, у любой конечное число раз.
(Непрерывность и-х производных вытекает из ограниченности и+ 1-х.) Для производных получаем оценку (и) 0)с 1 дни(х, о! ( 2п! йМ дх"' дйп и ~ (й — г"ха+у')"ю Через М мы обозначили шах)с(ср))=шах)и(йсозср, йз!пср)(. В центре круга, т. е. при х=у=О д"и(х, д) 1 ! 2п! М дх'ч дз" '" ( .=о х=о Ясно, что такая же оценка может быть написана и для круга с центром з произвольной точке: ! ~~'„в~„1 ( — "„шах(и(хо+йсозср, у,+йз!п<р)(. у=со Перв зя теорема Гарн ака. Последовательность непрерывных на 0 гармонических функций, равномерно сходящаяся на границе Г области О, равномерно сходится и внутри О, причем ее пределом является гармоническая функция. Для каждой внутренней подобласти сходимость равномерная не только для самих функций, но и для их производных любого фиксированного порядка.
Равномерная сходимость последовательности (иь(х, у)) внутри 0 вытекает из ее равномерной сходимости на границе. Это проверяется применением принципа максимума к гармоническим функциям ссь(х, у)— с(х, у). 234 <гл. <и УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА Локажем теперь равномерную сходимость производных некоторого фиксированного порядка деиь (л, у) дх"' дд" ы внутри Оь. Построив вокруг произвольной точки (х„у,) круг радиуса 6, целиком лежашей в О, применим к гармонической функции иь(х, у)— — и< (х, у) оценку ( — „— и<ах ~и„(х, у) — и,(х, у))( Г-Рь 4 <У,'Ч<з Ьз 2п! == — „<пах ~ иь (х, у) — и< (х, у) ).
г Из произвольности точки (хь, у,)~О< выводим, что всюду внутри Оь ~ ( — я<ах / иь (х, У) — и< (х, У) / . У'(иь — ий ! 2п! Это неравенство и доказывает равномерную сходнмость производных в Оь. По известной теореме анализа отсюда вытекает, что всюду в области О сушествуют производные Уи .
д"и„ денди~-т =„~~~ денди -т Переходя к пределу при й -ь со в урзвнении — + — =О, приходьиь Уьиь дха два дим к выводу, что предельная функция и(х, у) гармонична в облзсти О. Теорема Гарнака доказана. С л едст в и е. Последовательность функций иь(х, у), гармонических в некоторой области 0 и непрерывных в ее замыкании О, сходящаяся в этой области в среднем, внутри любой подобласти Оь сходится равномерно вместе с производными любого фиксированного порядка. Пределом этой последовательности является гармоническая функция и(х, у), а пределом последовательностей. про<взводных — соответствующие производные от и. Это утверждение вытекает из доказанной теоремы Гарнака и второго следствия теоремы о среднем арифметическом.
Выведем из формулы Пуассона изяшное неравенство Гарнака для неотрицательных гармонических функций. Неравенство Гар пака. Пусть и(х, у))0 гармонична (и непрерывна вплоть до границы) внутри круга (х — х,)'+(у — уь)а( =.Щ Тогда она удовлетворяет неравенству (0(рс й) — и(х„у,) < и(ха+ р сов х, у, + р з<п и) ~ — п(х„уь), й — р й+р й+р <г — р СВОЙстВА ГАРМОничесКих Функций Для доказательства воспользуемся неравенством й — р йа — ря )12 — р' йь — ра й-)- р Н+Р (Й+Р)2 Нь+рь — 2)гр 005 0) (Я вЂ” р)2 Я р и формулой Пуассона и (ха+ р соз сц ур+ р сцп а) = =- — 1 и(хь+Йсозю, уь+Яз)п<р), бю. 0 Пользуясь еще неотрицательностью и (х, +)т соз ф, у, +)2 з1п <р) = = Яр), мы имеем 2~ 2 Я вЂ” р ! à — 2„1У(ф)бгр~и(хь+рсозсс, уь+рз1пга)~ — — „1 У(ф)бф.
Я+р 1 Г По теореме о среднем арифметическом 2» 1 — ~ уОР) б% и(х» уо) 0 Неравенство Гарнака доказано. Докажем теперь одну замечательную теорему о гармонических функ- циях, определенных во всех точках плоскости (х', у). Теорема Лиувилля. Гармоническая на всей плоскостпфунк- ция и(х, у) не лсогкет быть ограшгченной сверху или снизу, если она не постоянна. Доказательство.
Если и(х, у) ограничена сверху, то — и(х, у) ограничена снизу. Поэтому достаточно рассмотреть случай гармониче- ской функции и(х, у), которая всюду больше некоторого числа М. Более того, можно считать, ято М=О. Действительно, и(х, у) — М)0, а равность и — М гармонична. Итак, предполагая существование гармо- нической во всей плоскости неотрицательной функции и(х, у), мы дока- жем, что эта функция постоянна. Воспользуемся неравенством Гарнака (0(р()С): — и (О, 0) ~ и (р соз сс, р з! п а) ( — и (О, 0). )1 — р й+р )1+р ' ' ' Я вЂ” р Если функция и(х, у) гармонична во всей плоскости (и)0), то, фнк- сировав произвольное р) 0 и неограниченно увеличивая й, мы получим и(0, 0)(и(рсоза, рз!па)(и(0, 0), и(рсоза, рз!псг)жи(0, 0).
Теорема Лиувилля доказана. Усиленный принцип максимума. Если гармоническая в области 0 функция и(х, у) принилгает свое наибольшее или свое 236 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА (гл. ссс насменьшее значение в некоторой внутренней точке (хь, у,), то и(х, у)=сопя(. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно рассмотреть только. случай сс(х,у))и(хь,уь)=0. Все другие случаи приводятся к этому так же, как и в предыдущей теореме. Пусть круг радиуса Й с центром в точке (хь,уь) содержится в О.
Для любой внутренней точки (х,у) этого круга (х — хь)'+(у — уь)я=ря(йь по неравенству Гарнака А' — р й+р 0= — и(х„у,)~и(х, у)( — и(х„у )=О, р+р ' ' й — р Итак, и(х, у)=0 внутри круга. Пусть теперь (хь, уч) — любая' другая внутренняя точка О. Соединим ее с точкой (хь, уь) ломаной, целиком лежащей в О.
Пусть каждая точка ломаной отстоит от границы больше чем на 6) О. Выберем Я(6 и построим на ломаной конечную последовательность точек (хы уь), (х„ус), ..., (х„, у„) (х„=х*, у„=уь) такУю, что (хь — хь-,)'+(Уь — Уь с)Я()ть/4. Если мы постРоим кРУг с центром в точке (хсь уь) радиуса Й, то точка (ха~и уьт) будет для него внутренней. Если нам удалось для неотрицатсльной гармонической функции и(х, у) установить, что и(хсь уь)=Ос то по доказанному и(ха+с, уь+с)=0.
Следовательно, из и(хь, уь)= 0 вытекает, что и(хь, уь)=0. Усиленнын принцип максимума доказан. Теорема о разрывной мажоранте. Рассмотрим ограниченную область О с гратсцей Г и отметилс в О=О+Г конечное число точек (х„ус), (хя, у,), ..., (х;ч, ун). Некоторые из этих точек могусн лежать внутри О, некоторые могут быть на границе Г. Пусть и (х, у), и (х, у) — две функции, непрерывные и гармоничные в О+ Г, к)соме, может быть, точек (хь у;). В этих точках и(х, у), п(х, у) могут терпеть разрыв илп могут быть не определены. Предположим, однако, ограниченность этих функций: )и(х,у)(~М, )п(хсу)((М в О+Г (за исключением, конечно, точек (хь ус)).
Если и(х, у)(г(п(х, у)(г во всех точках границы, кроме, быть может, попавших на границу точесс (х;, ус), то и всюду внутри О+ Г и (х, у): = и (х, у). (Опять-таки за исключением, быть может, точек (хь ус), лежащих внутри.) Для доказательства рассмотрим функцию ась (х, у) = сс (х, у) — и (х, у) — р — 1п ж~ 2М сс )с ( — хьп+ (у — ус)' и— Здесь й †диаме области О, так что 1п = О, )' (х — хс)ь+ (у — ус)ь 6) 0 †некотор фиксированное маленькое число. влрилционнып принцип дирихлп й м! Рассмотрим область Оь, полученную вырезанием из 0 кружочков радиуса 6 с центрами во всех точках (хну;). Граница Оь состоит из кусков границы Г области 0 и из дуг окружностей, ограничивающих вырезанные кружочки. Очевидно, что на Оь вместе с ее границей функция ге, (х, у),непрерывна, гармонична и неположительна. Последнее утверждение вытекает из принципа максимума и из неравенства %1 2М гиь(х, у)=и(х, у) — о(х, у) — уы — 1п (О, У(~ — «й'+(у-рй' 6 выполненного на границе Ом Зафиксируем точку (х, у) и, устремляя в неравенстве гэь (х, у) ( О' параметр 6 к нулю, убедимся, что и(х, у) — п(х, у)~ О.
Теорема о разрывной мажоранте доказана. Из этой теоремы можно вывести теорему единственности решения задачи Дирихле в ограниченной области с кусочно непрерывной граничной функцией, имеющей конечное число точек разрыва. Другим следствием теоремы о разрывной мажоранте является Т е о р е м а о б у с т р а н и м о й о с о б е н н о с т и. Пусть и (х, у)— гармоническая и ограниченная в окрестности некоторой точки (хэ, уь) функция, за исключением, быть может, самой этой точки. Тогда можно так доопределить значение и(хь, у,), чтобы после этого и(Х, у) стала гармонической ао всей рассматриваемой окрестности точки (х„уэ), включая и саму эту точку. Д о к а ватель ство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
