1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Пусть круг (х — х,)'+(у — уэ)э(ггэ лежит целиком внутри окрестности. Пусть иь (х, у) — гармоническзя всюду внутри круга и принимает на окружности (х — хь)'+(у — уь)=)чэ те же значения, что и и(х, у). Функцию. иь можно построить с помощью интеграла Пуассона.
Ясно, что если (сс(х, у))( М, то и )иь(х, у))(М. Поэтому мы можем применить лемму о разрывной мажоранте и с ее помощью утверждать, что иэ (х, у) ( и (х, у) ( иэ (х, у) всюду, кроме точки (уэ, уэ). Следовательно, п(х, у)=и*(х, у). Это позволяет утверждать, что, положив п(х„у,)=и" (х„у,), мы превратим и(х, у) в функцию, непрерывную и гармоническую во всей окрестности. На этом мы закончим обзор основных свойств гармонических функций в областях общего вида и в следующем парагрзфе вернемся к изучению гармонических функций в круге.
В 21. Вариационный принцип Дирихле Формула для вычисления интеграла Дярихле гармонической з круге функции яо коэффициентам Фурье граничных значений. Пример непрерывной з круге гармонической функции, имеющей бесконечный интеграл Дярихле. Неравенство для интегралов Дяряхле двух функций, принимающих иа границе круга одинаковые значения, одна иэ которых гармоническая. Пример Адамара непрерывной на границе круга функции, которая не может быть продолжена внутрь с конечным 238 !гл !и УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА интегралом Днрихле. Варнацноннмй подход к задаче Дирихле.
Некоторые исто. рнческне замечания. Пример неразрешимой вариационной задачи. Единственность экстремальной функции. Принцип Днрнхле для круга и для простейших областей, полученных из него конформными преобразованиями. Еь т Р,(и)= ~ ~ (и',.+и"„)ЫхЫу= $ ~ (ггр+ — зи„'-) рогрг(а, за+я! Ы з е х=рсоза, у=рз)па.
Если функция и(х, у) гармонична в круге радиуса Й, то внутри круга радиуса г~Й производные и„и и~ непрерывны. Следовательно, интеграл Р,(и) — интеграл от непрерывной функции. Но при г=Й этот интеграл может оказаться несобственным интегралом. При этом под Рл (и) понимается Нш Р,(п). е Л Как было показано во вводной чзсти (й 2), функция и(х, у) непрерывная в круге хе+уз( Йз и гармоническая внутри этого круга, представляется в виде ряда и(рсоза, рз!па)= — '+ т,(Й~ (а„созна+Ь„з!пла), п=1 где коэффициенты а„и Ь„являются коэффипиентами Фурье граничной функции у(ф)=и (Й сов ф, Й51п ф): а„= — ~ у(ф)сов ифг(ф, 1 Г е Зь Ь„= — т 7(ф)з1плфйр, 1 Г е л=О, 1, 2, и=1, 2, Сейчас мы воспользуемся выписанным рядом для трала Дирнхле.
Очевидно, что внутри круга 0(р( ференцирование по р и а для рядз и(р сов а, рз!па) вычисления интег почленное дифзаконно, так как Ближайшие параграфы будут посвяшены доказательству разрешимости задачи Дирихле для урзвнения Лапласа в областях весьма широкого класса. Доказательство основано на так называемом вариационном подходе к задаче и опирается на некоторые важные и интересные свойства интеграла Дирихле.
Сейчас мы изучим интеграл Дирихле для функций, гармонических в круге, и докажем экстремальное свойство этого интеграла. Для простоты рассмотрим круг радиуса Й с центром в начале координат и напомним, что интегралом Дирихле называется выражение 240 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. [П Это замечание приводит нас к выводу, что ~ ( — ) р ба = ~ ( — ! — йсс =л ~ по (а'„+ К) ~— „„„. о о л=! Отсюда г Ол ' -( ЫГ"(й['-'["( = о ю сл г ьо =2л лг' по(а„'+Ь„') ~ — „бр =и ~Р п(а„'+до) ~ — ) л ! Из определения интеграла 0я(и) вытекает, что 0я (и) = ! ! ш О, (и) = л ~~ п (а'„+ Ь „').
я Если ряд в правой части расходится, то это значит, что 0я (и) = оо. Адамар построил пример непрерывной функции у(ср) такой, что решение задачи Дирихле в круге 0(р~[с для уравнения Лапласа д'и дои — + —,=0 с граничным условием и([тсооср, [та[пср)=с(ср) имеесп дк' дуо бесконечный интеграл Дирихле.
Функция Адамара записывается равномерно сходящимся рядом: (Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна) Решение и(х, у) задачи Дирихле с граничными значениями у(ср) имеет интеграл Дирихле: %1 л! 0я(сс)=л г —,=оо. по л 1 Этот пример в дальнейшем нам понадобится при обсуждении очень важного и интересного вариационного подхода к решению задачи Дирихле. А сейчас мы докажем с помощью ряда (!) следующую замечательную теорему.
Т е о р е м а. Пусть й(р, ср) — какая-либо непрерывная е круге 0 ( р ( ст кусочно гладкая функция с конечным интегралом Дирихле 0я(й)= ~ ~ (д~+ ~.й,)рйрЬр. ю о 241 ВАРиАциоииыи пРинт1ип диРихлв а 211 Оа границе круга а(р, 1р) принимает граничные значения У(ф)=д()т Ч) Построим гармоническую функцию и(р, а) с теми же самыми граничными значениями и()т, 1р)=У(ф). Мы докажем, что интеграл Дирихле 0л(и) конечен и не превышает 0н(Я: 0,(и) ~ 0я(и) Граничной функции у(ф)=д(Я, 1р) может быть сопоставлеи сходя, щийся к ней в среднем ряд Фурье у(Я, ф) = г + ~> (а„сов ар+ Ьл з!и п1р).
Решение и(р, 1р) задачи Дирихле представляется тогда рядом и (р, 1р) = — '+ ~ ® (ал СОВ ПГр+ Ьл З! П тщ). л=1 Интеграл Дирихле этого решения 0я(и) =П,У' ,п(а„*+Ь„'). Для того чтобы доказать неравенство 0я (и) ( 0я (А), очевидно, достаточно убедиться 'в том, что при всех М 11 ч~ п(а„'+Ь„')(0я(Я), т. е. в том, что 0я (ин) ( 0я (з), где ин= — '+ т ! — ~ (ал сов пр+Ьлз1пп1р). л 1 В доказательстве, которое 'мы приведем, будет использовзно, что иа имеет непрерывные вторые производные. (На свмом деле ин — полипом переменных х, у и имеет производные любого порядка.) Доказзтельство будет состоять из двух лемм.
Л ем м а 1. Выполнено равенство (в (гт' ф) — ин()т 1р)) ) д ) а1р = О. Гд ~(Р, М1 в 242 1гл. Рн УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА Показательство. Ясно, что й(К 1р) — ин(К 1р) — непрерывная функция, имеюшзя сходящийся к ней в среднем ряд Фурье й(К 1р) — ин(К 1р)= '5,' (ал соз п~р+ Ь„з1п п1р). л Н+1 Коэффициенты Фурье, отвечающие значениям индекса от 1 до М включительно, будут для этой функции равны нулю.
Эти коэффициенты определяются интегралами: Ао=~ [й(й 1р) — ин(К 1р)]й1р=О ь Ал= ~ [й(К ср) — ин(К 1р)] соа псрйр=О, ь Вл=~ [й(К 1р) — и,ч(К 1р)]а1пврйр=О. п=1,2,...,№ Любая линейная комбинация А„АР..., Ааь В„..., Вн тоже будет равна нулю. В частности, ~Ч~~ и (Ала„+ ВлЬл) = О. Это равенство можно переписать еше так Теперь осталось только заметить, что ~ п(ал соа тр+Ьл з!птр)= л=1 ~~(д д д д ] у+ ~~ лт(дль+ 1) -1 ~фтд о )(оказательство первой леммы завершено.
Лемма 2. Пусть 0 — некоторая конечная область с кусочно гладкой границей Г, функция фа(х, у) имеет в замкнутой области 0 непрерывные вторые, а фт(х, у) — кусочно непрерывные первые производные. Тогда 243 4 2П ВАРИАЦИОННЪ|Н ПРИНЦИП ДИРИХЛИ гае — дифференциал длины дуги Г, — — произеоднан по внешней норд дл мали).
Доказательство этой леммы мы проведем для области, в которои яр,(х, у) непрерывно дифференцируемз вплоть до границы. В случае кусочнон гладкости область О может быть разбита на конечную сумму областей Ои 02, ..., Ом для каждой из которых это предположение выполнено. Доказав интересуюшее нас тождество для ОР 0„..., Оа, а затем сложив их, мы получим тождество для О. При этом интегралы по внутренним к 0 участкам границ Ои ..., Оа уничтожатся, так как для двух соседних подобластей внешние нормали, а следовательно, и дФ2 — отличаются лишь знаками, функции же фи входящие в граничные дл ' интегрзлы, — непрерывны. Внутри подобласти Оь где 2РР фз имеют непрерывными соответственно первые и вторые производные, выполнено тождество дфг дфу+ дфг дфг + „„~ д~ф~ + дяфу1 д /„„дф2~ + д ) „дфу~ дх дх ду ду ' ', дхг ду' ! дх т дх, ду ~ ду / ' Проинтегрируем это равенство по Ог. ! г ),) ~дх~фтдх +д ~фт д )) У ~ тад '™ о, г',.
Для преобразования двойного интеграла в контурный мы воспользовались теоремои Гаусса — Остроградского. Лемма 2 доказана. С ледств не. Гдинд(у — ин) дан дф — и )1 — + — "~йхйу=О. ~ дх дх ду ду хй+у~~нй Действительно, положив ил =фа, у — их =ф, и применяя предыдущую лемму к области ха+уз()тя, получим Гдин д (и — ин) дин д(д — ин) ) — + — ~йхйу+ 1 дх дх ду ду «'+»' <~' + ~ ~ (Д-ин)[д"2"+ д".~йхйу= ха+уй ~ На ди, г ди (й — ин) — „сЬ = Й т (д — ин) — йф = О.
дл д др к1+у~=а~ г л ваэнацнонныи пгинцнп днвнхлв а 20 В основе вариационного подхода лежит утверждение, что минимальное значение Р(и) принимается на гармонической функции, решающей задачу Дирихле. ясно, что Р(и)- О, и поэтому для значений этого функционала существует нижняя грань. Пусть эта нижняя грань достигается на гладкой функции и(х, у). Как известно из вариационного исчисления, и(х, у) тогда должна удовлетворять уравнению Эйлера 1(ий+ и»)я ]+ 1(ит+ау)в ~ 0 илн, что то же самое, и„„+и =0 1 (О ~ г ( 6а), 6 !и— — (ба <»(6), !и— д иа(» ф)= 0 (6 <г). — уравнению Лапласа.
Идея этого варизционного подхода к уравнению Лапласа была впервые высказана Гауссом. Дирихле излагал этот подход на своих лекциях, одним из слушателей которых; был Риман. Риман развил эту теорию и под названием принципа Дирихле положил ее в основу своей геометрической теории функций комплексного переменного. Эта работа произвела большое впечатление на математиков того времени. Но через 18 лет Вейерштрасс показал, что утвержденна, положенные в основу вариационной теории, неубедительны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
