1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 44
Текст из файла (страница 44)
8п й' ~ ~ )и,'+ —, и') йгр г йг+ 2пйоссо(й) = о = пйв(8пйп„(и)+2ав(й)~. Здесь через 0оь(и) обозначен интеграл )1ирихле от функции и по области ЙА, который, очевидно, не превосходит Ооь(и). лемма 1 до. казана. Лемма 2. Пусть область О моакно заклющгть в квадрат со стороной 1.. Тогда для любой кусочно гладкой непрерывной функции ю(х, у), обращающейся в нуль на границе О, выиолнено неравенство ~ ~эойхйУ( о' ~ ~ ( „'+ ') йхбУ. о о Прежде чем начинать доказательство, сделаем следующее замечание. Если мы функцию тв(х, у), определенную в 0 и обращающуюся в нуль на границе, продолжим вне О нулем на весь квадрат, заключающий О, то по этому квадрату К чь-]] но. о ~ ~ (тв'„-+гвг)Ыхг(у= ~ ~ (тв'+твг)йхбу.
к о 262 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 1гл. Рн Не ограничивая общности, квадрат можно предполагать заданным неравенствами О~х((. 0<У(1. Итак, для функций, определенных з этом квадрате н обращающихся ! на границе в нуль, нам достаточно показать, что сс тз'и-е у~ 2 (~ +те))н-е у Это утверждение следует нз очевидной цепочкн равенств и неравенств: тэ(х,у)=) та (й, у)И$, о (тэ(м, У) (~ ~ ( а„($, у)( Ыф( 1 ~1г($1 (тв',Ых~ о г о г а Гс (')"х ~гг ~(а4+та,',)т(х, о с ага (х, У) ( х ~ (а4 + тва) т1х, а сь с сс ) ) таз (х, у) т(х (у а ) х гх. ) ) (а „'+ еау) т(.е йу = оо о оо сс га — (щ г+ того) т(Х ау.
Сначала мы в этих выкладках ограничивались интегрированием только по одной прямой У=сопят, а затем проинтегрировали и по У. 1(оказательство леммы 2 закончено. После этих предварительных лемм мы перейдем к обоснованию принципа )(нрнхле. Это обоснование будет проведено в следуюгцие три этапа: 1 этап — построение специальной минимизирующей последовательностн; 11 этап — изучение свойств этой минимизирующей последовательности; 111 этап — предельный переход и изучение свойств предела. Переходим к изложению первого этапа.
Рзссмотрим множество % (и(х, у) ) всевозможных функций п(х, у), удовлетворяющих предпо поженив 1': и(х, у) — кусочно гладкие, и)г=г н интеграл )(нрихле 0о(и) конечен. Это множество непусто, так как мы предполагаем существованне хотя бы одной е(х, у), удовлетворяющей требованням, нало- ОБОСНОВАНИВ ПРИНЦИПА ДИРИХЛВ женным на и(л; у) еп Ж. Нз неотрицательности 0о(и) вытекает сущест- вование нижней грани Ы)0 для значений 0о(и):.
й=1п1 0о(и). я е ЗЯ Нз определения нижней грани следует, что из множества И можно выбрать последовательность и„и„из, ... такую, что й=1пп 0о(и„). о оо Такую последовательность мы будем называть минимизирующей последовательностью. Мы имеем, очевидно, право предполагать эту последовательность выбранной и пронумерованной таким образом, что й ~ ( 0о(и„) ( г/+!/и. Нам хотелось бы доказать существование предела а(к, у)=1ппи„ о оо и убедиться в том, что 0о(и)=й. Однако в проведении такой программы есть трудность, состоящая в том, что предел !пп и„здесь надо о оо понимать не в смысле (!авномерной сходимости (вместе с производными), а з смысле сходимости по норме некоторого сггециального пространства 'гР(, которое мы не изучали и с элементами которого мы не умеем обращаться.
(Вспомните, что в $ 21 был рззобран пример минимизирующей последовательности, которая в смысле равномерной сходимости не является сходящейся.) Оказывается, есть возможность провести доказательство, не используя кзких-либо новых фактов нз функционального анализа. Для этого достаточно рассматривать не произвольные минимизирующие последовательности, а только некоторые специальные. К их построению мы сейчас и перейдем.
Геометрическая лемма. Для каждого достаточно малого /г) 0 существует такой многоугольншс Л(о с конечным числом сторон, что он лежит целиком внутри О п содержит внутри себя все 1 точки О, удаленные от границы на расстояние, не меныиее— л ( 1 й( — (2/г.~ Более того, вместе с каждой такой точкой он содержит круг радиуса 2/Зп с центром в этой точке. Л о к а з а т е л ь с т в о.
Рзссмотрим внутри нашей ограниченной области О замкнутое множество точек, удаленных от границы не менее, чем на 1/Зп. По теореме Больцано — Вейерштрасса из покрытия этого ! множества открытыми круговыми окрестностями радиуса — с центрами 6п в точках множества можно выбрать конечное покрытие. Опишем вокруг каждой окрестности этого покрытия некоторый квадрат. Все внутренние и граничные точки квадрата будут удалены 'от его центра на расстояние, не большее чем )/2/6п( 1/Зп и, следовательно, будут лежать внутри О.
Множество точек, каждая из которых лежит внутри или на границе хотя бы одного из этих квадратов, образует многоугольник УРАВНВННЕ ЛАПЛАСА !гл. и! с конечным числом сторон, содержащий все точки области О, удален ные от границы не менее чем на 1/Зп. Существование многоугольник~ .
со свойствами, перечисленными в формулировке геометрической леммы доказано. К о н с т р у к ц и я. Определим и„(х, у) функцией, совпадающей с и„(х, у) вне многоугольника М„. Внутри же М„мы определим и„(х, у) как гармоническую функцию, совпадающую с а„(х, у) в точ ках границы многоугольника М„. Существование такой функции выте. кает из доказанной в э 22 разрешимости задачи Дирихле для много,угольников при произвольной непрерывной граничной функции. Иа. принципа Дирихле для многоугольников, также обоснованного нами,"-' вытекает, что 0м (и„)~0м (и„), ч ь й+ „-.
) 0а (и„) =- 0о (и„), Очевидно, что функция и„удовлетворяет граничным условиям, имеет конечный интеграл Дирихле и, следовательно, как функция из й)? удовлетворяет неравенству 0а(ин) » й. Из того, что й + — „~ 0а (и ) ~ й, 1 очевидно, следует равенство 1нп 0а(и„)=й, которое означает, что построенная последовательность им и„иь, ... тоже является минимизирующей. Именно с этой минимизирующей последовательностью мы и будем в дальнейшем иметь дело. Нам будет очень важно, что все члены этой последовательности оказываютсн гармоническими, начинал с достаточно большого номера, в окрестности любой внутренней точки О.
Переходим ко второму этапу — исследованию свойств построенной ' последовательности и„и„и, .... Свойство 1. Имеют место неравенства 0а (иь и,) ( 2 (1//ь+ 1/1), г)г) (и„— и~)ь йх йу ( ?Я (1//г+ 1//), а где ?.— сторона квадрата, в который можно заключить область О. Доказательство. В 2 21 при доказательстве единственности; экстремальной функции принципа Днрихле мы попутно получили ра- венство !и+с ! 1 1 ! 0а ~ — '= — 0а(и)+ — 0а(о) — — 0а(и' — о), 2 / 2 2 4 265 ОБОСНОВАНИЕ ПРННЦНПА ДНРНХЛЕ ч ы! катар рое сейчас будет использовано в следующей форме: Оа [ ) 2 '!"!а (иа) + 2 ! !а (и!) 4 Оо (иа и!) !ив+и!! 1 1 1 2 ф „„ция "а ' на границе О равна у и, следовательно, принздлежит Я. 2 ! ив+ и! ! Поэтому Оа [ Из неравенства 1 1 1 Оа (иь) + 2 Оа (и!) — — Оа (и, и!) ~ й следует, что а (и» вЂ” и!)( 2 [Оа (иа) — й[-[- 2 [Оа (и,) — й[ ( 2 г1 Первое из нужных нам неравенств доказано.
Второе вытекает из леммы 2, так как иа — и!=0 на границе Г области О. Свойство 2. Для всякого в)0 найдутся такие й)0 и номер Дг, что для приграничной полоски ОА, состоящей из точек, удаленных от границы Г области О не более чем на й, имеет ,место неравенство Оа! (иа) ( в для всех и)!!Г. Доказательство. Из известного нам для любой области О утверждения 1 4 Оа(и+о) — Оа[ 2 ) — 2 Оа(и)+2 Оа(о) — 40а(и — о)~ !и+с! 1 (2 Оа(и)+2 Оо(о), 1 ' 1 и=ил„ если заменить в нем О на О„и применить к функциям о = и„— и, следует, что Оа (и„)((2 Оа „(ин)+20а (ич — ин). По свойству 1 Оа (и ин) ( Оа (и — ин) ( 2 [ и + й ) /! 1! откуда Оа (и.)(20а„(ин)+4 [-+ -~ (20аь (ин)+ о !! 1! 8 для п)Х. Так как для каждого фиксированного Ф 1пп Оа (иь!)=О, А О то, выбрав сначала М)16/е, а затем й такое, что Оа (ин)(е/4, л приходим к окончательному неравенству Оо„(и„)'(в.
266 1гл. гг(, УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА С вой с та о 3. Для любого е)0 существует такое йт)0, что для любой. внутренней точки Р, удаленной от ближайшей к ней граничн~й точки Ц на расстонние й ( йт, выполнено неравенство ! и„(Р) — У(Я) / ( е для всех и, начиная с некоторого номера М, зависящего лишь овч ' еай. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть К вЂ” круг радиуса й/2 с центром,.' в точке Р.
Очевидно, что этот круг находится внутри круга с центром ~ в точке Я и радиуса 2й (рис. 69). Поэтому согласно лемме 1 при,вг 2И с й, среднее значение величины':1 [и„(х, у) †/(О)]Я по этому кругу 4 , [и„(х, у) — / (ц)]я йх йу(,' б -р к =с,[0а (и„)+а'(2И)],; 3й где с, †абсолютн постоянная, 0а „(и„) — интеграл Дирихле .функции и„по множеству Оям а сс(й) — ' модуль непрерывности граничной,' функции /(в) (см. предположение Зь). ' Согласно свойству 2 можно выбрать й,) 0 и номер Мт так, что'~А для л)й/, сь0а,ь (и„)(еа/2 (и; следовательно, сь0о,ь(и„)(ея/2 для.;."' всех й ч.йи л)ФР) Будем считать йт(йь/2 настолько малым, чтобы,'г с аз(2И)~ея/2 для всех И< й,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
