1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Таким образом, для п)йг„й~йд ' в — „, ~ ~ [и„(х, у) — /(Я)]я йхйу( ея. (1) " к С другой стороны, для номеров, больших чем 2/й, по построению функций и„они являются гармоническими в круге К, так как все точки этого круга отстоят от границы Г не менее чем на й/2. Согласно следствию 1 из теоремы о среднем (3 20) для гармоничес- .' кой в круге К функции и„(х, у) — у(Я) значение ее квадрата в центре; круга (т. е.
[и„(Р) — /Я)]Я) не превосходит среднего от квадрата этой функции по кругу К. Отсюда и из неравенства (1) вытекает, что ! и„(Р) — У'(Я) ( ~ е дла и ) гпах (й/и 2/И). Свойство 3 доказано. Теперь мы уже можем переходить к третьему заключительному . этапу — к выполнению предельного перехода. Из неравенства г) г) (и ь — и,)' йх йу ( йя (1/й + 1//) а ОБОСНОВАНИЕ ПРИНЦИПА ДИРИХЛЕ 267 я яп т сходимость последовательности ии и,, иа,... в среднем. Внутри следует схо полученной из 0 исключением пригрзничной полоски 0„ подобласти, а ельност п моничес и к ми функциями Поэтому внутри обласги О„полученной из 0 вырезани пнем в два раза более широкой полоски Ояа, сходимость этой послед ледовательности 1ии) будет равномерной вместе с первыми произ- ВОДНН дл ~ ду ~ н ми диь — иь а ее пределом будет некоторая гзрмоническая функция диь ди» ди ди и(х, У. у).
Производные —, — при этом сходятся к —, †. Поэтому ди' ду дх' ду Онь (и)=йш Пнь (иа) ~йш Оа(иа)=" Так как,й пРоизвольно, то и(х, У) опРеделена и гаРмонична всюдУ В О и для нее имеет место наравенство Т)О(и)=зпр Она (и)~иг. Рассмотрим теперь произвольную точку Яр на границе Г области 0 и покажем, что построенная нами функция и(х, у) непрерывна в точке 0. для этого фиксируем произвольное в ) 0 и выберем йт ) 0 такое, что согласно свойству 3 для любой внутренней точки Р, удаленной от границы на расстояние й(йп выполнено неравенство (и„(Р) — УЯ)((в/2 для всех л, начиная с некоторого номера, зависящего-от в и й. Точка 0 здесь — одна из ближайших к Р граничных точек.
Если точка Р отстоит от Яя менее чем на й, то ее расстояние до границы и подавно не превосходит й. Следова1ельно, ! и„(Р) — г'(Я)! ( в/2. Переходя здесь к пределу при и -» со получаем, что )и(Р) — у(Я)( ( в!2. Так как точки Я, и 0 отстоит друг от друга не более чем на 2й, то (У(Я) — УДи) ( ~ са (2й) и, следовательно, ! и (Р) — У(сто) ~ - — + юпах а (2й). л ь, Уменьшив, если это необходимо, й, так, чтобы сг(2й)<в/2 при й(йн получаем, что для всех точек Р с О, отстоящих от Я, менее чем на й,, 1~(Р) — Уй) ~(щ Мы доказали существование в 0 гармонической функции и(х, у), принимающей на границе заданные значения и имеющей интеграл Дирихле Оа(и) =.Ы. С другой стороны, по определению ОО(гг)~й. Равенство ОО(и) =Ы доказано. Тем самым для области О н для допустимой граничной функции г(з) доказана разрешимость задачи Дирихле и обоснован принцип Дирихле.
А именно, доказано, что если область удовлетворяет условию '2', то существует гладкая и(х, у) ЕИ, для которой Т)О=Ы=|п) ОО(в). Эта ис Зй и(х,у) единственна и совпадает с решением задачи Дирнхле. 268 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [гл, цг 2 24. Задача Гильберта для уравнений Кошм — Римана в круге Постаеовка и примеры. Индекс граничного условия.
Нормировка (регулярв„- зация) граничного условия в задаче Гильберта. Теорема существования решения в случае неотрицательного индекса граничного условия.'Исследование иеедииствев. ности при положительном иля нулевом. индексе граничных условий. Едевстзев., ность н условия разрешимости при отрицательном индексе. Задача с косой про. изводяой и ее сведение к задаче Гильберта. Задача Неймана. Индекс задачи и нв. г лекс граничных условий. Понятие об индексе для системы линейных алгебравчес кнх уравнений. Мы довольно подробно изучили задачу Дирнхле для уравнения Ла пласа, как пример типичной задачи, решаемой для уравнений эллиптического типа.
Сегодня будет разобрзн несколько более сложный пример задачи Гильберта для уравнений Коши †Рима. При изучении зздачи Гильберта мы ограничимся только простейшей односвязной областью †круг. Основные факты, которые мы для этой ' задачи установим, могут быть получены тзкже для любой односвязной . области с достаточно гладкой границей. Более того, они могут, быть по- ' лучены из теорем, доказанных для круга, с помощью конформного пре- ' образования, Мы не можеи в нашем курсе на таком перенесении останавливаться, так как в нашем распоряжении нет тех тонких теорем ' о граничных свойствах конформных преобразований, которые для этого перенесения нужны. Задача Гилаберта в единичном круге ха+ух(1 ставится тан. Надо найти решение и(х, у), п(х, у), непрерывное вплоть до грани- -' цы Г(х'+у'=1), уравнений Коти — Римана и — о =О, Х и„+В„=О, удовлетворяюгцее на границе граничному условию а(з) и+Ь(в)В=У(з).
Коэффициенты а(з), Ь(з) предполагаются достаточно гладкими функциями длины дуги з единичной окружности; функция Г(з) — тоже достаточно: глацкая, ав (з)+ Ь'(з) ) О. Изучение задачи Гильберта начнем с разбора двух типичных примеров. П р и м е р 1. Пусть а (з) = 1, Ь (в) = О, и (г =у (з). Мы получаем здесь; задачу Дирихле для гармонической функции и(х, у). Сопряженная к ней гармоническая функция п(х, у)=с+о,(х, у) определяется с точностью до произвольной постоянной. В 2 2 было доказано, что п(х, у) будет, непрерывной вплоть до границы, если у(з) достаточно гладкая.
Пример 2. Пусть а(з) х(з), Ь(з)= — у(з) (х'+у'=1),, (хи уо) 1г г (з) Предположим, что нам удалось найти аналитическое в единичном "., круге и непрерывное вплоть до границы решение и(х, у)+Ьо(х, у) '.,: 269 ЭАдАчА ГильвеРТА в кРуГР ой задачи.
Как известно, ф(и+ 1о) (йх+ ! Г(у) = ф (и йх — оиру)+ 4 !ф(иву+пах) =О по любому замкнутому контуру, лежащему в кру. ге. . Мнимая часть этого интеграла дает равенство $ иву+ пах = О. В силу непРеРывности и(х, у), о(х, у) контур можно продеформировать, не изменяя Результата, и пРевРатить в границу — единичную окружность. На этой окружности ау=хаз, ах= — уаз, Отсюда г~ $ (их — ву) аз = ) г (з) бз. а Нз разрешимости задачи Гнльберта в этом примере следует, что интеграл от правой части равен нулю. Задача оказалась разрешимой не при всяких правых частях 7(з). Приведенные нами простые примеры показывают, что характер задачи существенно зависит от коэффициентов а(з), Ь(з) граничного условия. В дальнейшем выяснится, что разрешимость или неразрешимость задачи Гильберта, а также условия единственности зависят от некоторого целого числа Ь7, которое может быть определено по виду функций а(з), Ь(з).
Это число называется индеисом граничного условия. Рис. 70. Рнс. 7!. Рнс. 72. Пусть з — длина дуги единичной окружности — меняется от О до 2н при движении точки вдоль окружности против часовой стрелки. При этом вектор с координатами а(з), Ь(з) опишет некоторую кривую на плоскости (а, Ь), Число оборотов, которое сделает ата кривая вокруг почала координат, и называется индексом.
На рис. 70 — 74 изображены такие кривые в случае различных индексов. Стрелкой указано направление движения вдоль кривой при возрастании ж В разобранных нами примерах 1 и 2 значения индекса были, соответственно, равны нулю и минус единице, Теорема. Задача Гильберта при М.= О всегда имеет иеедин- егпеенное решение. Зто решение зависит от 2Ь7+! постоянной. При 270 УРАВНйинв ЛАПЛАСА !гл И1 М(0, если задача Гильберти разрешима, то она разрешима одне„: значно. Для разрешимости необходимо и достаточно, чтобы правд часть ((з) била ортогональна к любой функции из некоторой лин~й„' ной конечномерной системы функций.
размерность этой системы' 2 ! Ф ) — 1 = — (2М+ 1). В разобранном примере (пример 2) задачи с индексом М= — 1 пра. ' вая часть у(з) должна быть ортогональна всего лишь к одномерному ' Рис. 74. Рис. 73. пространству. Это пространство состоит ив констант. Отсюда и полу- гж чается условие ~ У(з) 1 йз=0. Из сформулированной теоремы вытекает,,'; ь что для любой достаточно гладкой )'(з), удовлетворяющей этому равен-" ству, задача Гнльберта этого примера разрешима однозначно.
11оказательство теоремы будет дано немного ниже, а сейчас мы про-:: ведем ряд полезных предварительных построений. Прежде всего еще раз отметим, что задача Гильберта эквивалентна ' задаче нахождения аналитической внутри круга и непрерывной вплоть до границы функции то=и(х, у)+!о(х, у), удовлетворяющей граничному' условию а(з)и+Ь(з)п Дз). В частном случае Ь=О в примере 1 мы показали, что при таком граничном условии (и (г = — = Ут(з)) задача Гильберта легко исследуется.' Пь) а (е) Ниже мы покажем, что и в общем случае задача может быть, по су. ществу, сведена к рассмотренному частному примеру, 1!ля этого предположим сначала на минуту, что а(з) и Ь(з)— это граничные значения действительной и мнимой частей некоторой 271 ЗАДАЧА ГИЛЬВЕРТА В КРУГЕ а ам аналитичес " ' «Ру~е и не равной там ну е ('с + (у) = а (х, у) ] (Ь ( а (з) и + Ь (з) о = У(з) эквивалентно любому условию вида р(з) а(з) а+р(з)Ь(з)о=р(з)у(з), какова бы ни была строго положительная функция р (з).
Обозначения сс(з)= р (з) а (з). Р (з)= р (з) Ь (з) позволяют записать его в форме а(з) и+ р(з) о=р(з) г (з). Ясно, что индекс пары (а(з), ])(з)) в точности равен индексу исходной пары, и мы попытаемся подобрать множитель р(з) так, чтобы а(з) и Р(з) были граничными значениями действительной и мнимой частей аналитическоп в круге функции а(х, у)+(р(х, у). Посмотрим, можно ли подобрать множитель так, чтобы функция сг+(р не имела нулей внутри круга. Будем сразу искать эту функцию в виде а(х, у)+(р(х, у)= =со< т1+м т>, где р+(д — аналитическая в единичном круге функция. (Легко видеть, что представление в таком виде функции а+(р эквивалентно требованию, чтобы эта функция не имела нулей, но нам нет надобности на этой эквивалентности останавливаться.) Из равенства модулей в представлении функции а + (р получаем еи ~."'ю ]г = р (з) ]I аа (з) + Ьа (з).
(1) Следовательно, а (а) + ГЬ (е) )' аа (а) + ЬЯ (з) ' (2) Тогда аналитическая в кру ф го и+(о аи+Ьо ао — Ьи = + Ь. я+за+1 +Ь =('+1(' аи+ Ьо имеет ест вещественную часть ((= я Ь.. значение которой на границе аа + ЬЯ ' известно: оно Равно, ( ) Ь, ( ). Кзк мы уже напоминзли в примере 1 / (з) (подробное доказательство изложено в э 2), гармонические функции(((х, у) и (г (х, у) васс ганавливаются по граничным значениям (г, причем определяется с точностью ло адлитивноп постоянной. Тем самым определяется то (х+ (у) =е (х+ (у) ((((х, у)+(И(х, у)].
Конечно, наше предположение о том, что а(з), Ь(з) — граничные значения действительнои и мнимой частей аналитической в круге функции, вообще говоря, не выполняется. Однако ясно, что граничное условие 272' УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [гл. и! Задача, таким образом, состоит в том, чтобы найти функции р(я)- р(х, у) и д(х, у), удовлетворяющие соотношениям (1), (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
