1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В настоящее время индексом той или иной краевой задачи принято называть разность между числом решений однородной задачи и числом условий ортогональности, которые должны выполняться для правой части в случае разрешимости. В задаче Гильберта эта разность равна 2Ь!+ ! 277 некоРРектные 3АдАчи (а в задаче с косой производной 2А(+2) как в случае положительного, так и в случае отрицэтельного М. Именно поэтому мы назвали М индексом граничного условия, чтобы не путать его с индексом 2М+ 1 задачи. У и р а ж н е н и е.
Докажите, что для разрешимости системы К ~ а!эха=(1, 1=1, 2, ..., 1, э=! (4) /! 1 необходимо н достаточно, чтобы (! были ортогональиы ~ ~э!7!=0 любому реше- 1 нню однородной сопряженной системы ~~ ашг;=О, я=1, 2, ..., К. 1=1 Разность любых двух решений системы (4) удовлетворяет однородным уравнениям К а1АУА = О. Э-1 (6) Разность размерностей пространств решений у систем (6), (5) называется индексом системы (4). Докажите, что этот индекс равен К вЂ” А ф 26. Некорректные задачи Обсуждение возможности решения некорректных задач на примере задачи Коши для периодических решений уравнения Лапласа.
Разложение этих решений в ряд Фурье. Логарифмнчески выпуклые функции и получение с их помощью неравенств для гармонических функций. Условная корректность в классе ограниченных решений. Регуляриэацня приближений для начальных данных и отыскание решения некорректной задачи, ограниченного известной константой. В заключение нашего обзора теории эллиптических уравнений, который мы проводим на простейших типичных задачах, остановимся еще на разборе «некорректной» задачи. Несмотря на постулат Адамара о том, что реальные физические процессы описываются, как правило, задачами корректными, есть много научных вопросов, сводящихся к задачам некорректным.
Обычно эти вопросы бывают связаны с попыткой восстановить течение какого-либо процесса, описываемого корректной задачей, по результатам измерений, которые должны единственным образом определять решение, но делают это некорректным образом. Так, например, потенциал поля тяготения может быть получен по заданному распределению масс решением некоторой корректной зэдачи для уравнения Пуассона. Однако, если мы постараеися определить это поле по результатам измерений, сделанных на какой-либо поверхности, например, на поверхности Земли, то мы придем к некорректной задаче Коши, рассмотренной в примере Адамара.
Несмотря на это, задачу восстановления поля тяго- тРАвнение лАплАсА !ГЛ. Рп тения по данным Коши часто решают, например, в целях гравиметрнческой разведки. Этот параграф будет посвящен решению задачи Коши для уравнения Лапласа. Несколько точнее будет сказать, что мы решаем смешанную .' краевую задачу, так как и(х, у) мы будем предполагать периодической по х с периодом 2п. Более того, мы ограничимся предположением, что п(х, у)= — и( — х, у), Пусть решение определено и непрерывно вместе с первыми производными в полосе О (у( 1. Для простоты еще пред.
положим, что и(х, 0)=0, и обозначим ду ".л Предполагая, что такое решение существует, выпишем его разложение в ряд Фурье по переменной х. В силу наложенных услойий (нечетности и гладкости функции) этот ряд имеет вид п(х, у)= '5 Ь„(у)21пах х=! и сходится при каждом у(0(у(1) равномерно относительно х. Чтобы вычислить коэффициенты Фурье Ь„(у), заметим, что Ь„(у) = ях 1 à — и(х, у)з(ппхг(х. Затем умножим уравнение Лапласа почленно на 21п пх и проинтегрируем получившееся равенство от 0 до 2пп 2% як д'и(х, у) дха зги лх Ых +, 2!и лх г(х = О.
! д!и (х, у) дуа о я Это равенство справедливо для внутренних точек полосы 0(у(1. Для этих точек гармоническая функция и(х, у), как мы знаем, бесконечно дифференцируема. Поэтому во втором интеграле можно поменять местами операции интегрирования и дифференцирования. А первый интеграл преобразуем интегрированием по частям два раза и воспользуемся периодичностью функции п(х, у). В результате получим соотношение 2м нли, что то же самое, да — и'Ь„(у) + —, Ь„(у) = О.
йу' 279 нвкоаэиктныи задачи Э та1 шение этого уравнения имеет вид: й шее Р Ь„(у) = А„' зЛ ау + Сл сЛ пу. Из интегрального представления функции Ь„(у) видно, что они непрен!! при О .у 1. Следовательно, из условия и (х, 0) =0 (а следовательно, и Ь„(0)=0) окончательно имеем Ь„(у) = А„зЛ пу. Итак, мы получили, что для функции и(х, у), удовлетворяющей нашим предположениям, справедливо представление и (х, у) = ~ , 'А„аЛ пу з(п пх. е=! В частности, и(х, 1)= Ч~ А„аЛпз(ппх, откуда вытекает, что и=! )А„аЛп)= — )~ и(х, 1) з!ппхг(х)(2шах(и(х, 1))=К. 1 о Следовательно, ( А„! ( —. К Из этой оценки вытекает, что ряд (1) можно любое число раз дифференцировать почленно при 0(у(1. В частности, ди д =ф(х)= ~ пА„а)ппх, дУ т! я 1 т.
е. А„= — ", где а„— коэффициенты Фурье функции ф(х). Тем самым получено (при,наложенных выше предположениях) решение задачи Коши для уравнения Лапласа с условиями: ° и(х, 0)=0, ди = ф (х) = ~~~ а„згп пх. дУ у-а -! = а ! Мы показали, что если решение существует в полосе 0 =у(1, то и(х, у)= ~ — „" аЛпуагппх (2) л 1 (3) ~ а„((сопз1 вЛп И обратно, если коэффициенты Фурье а„удовлетворяют неравенству (3), то ряд (2) дает решение задачи Коши.
действительно, легко проверить, 280 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [гл !и что каждый член ряда является гармонической функцией и, в силу неравенства (3), ряд можно дифференцировать любое число раз при )у ! (1, Следовательно, функция и(х, у) тоже гармонична и удовлетворяет начальным условиям. Пример Адамара показывает, что задача восстановления и(х, у) по ди(х, д)! сс(х, 0), д' не является корректной. Однако если знать, что ду ау» решение существует и удовлетворяет некоторым неравенствам, то оказывается, что его можно приближенно решить, даже если пользоваться не совсем точными начальными данными.
Мы расскажем решение задачи о восстановлении и (х, у) = ~ —" зй пу . В(п пх л 1 по приближенным значениям !р(х) = '~~ а„з(пах. Наш рассказ будет основан на работе М. М. Лавренгьева, опубликованной в «Известиях Академии наук СССР» за 1956 г. Решаемая задача не- корректна. Однако если предположить, чго мы восстанавливаем решение, про которое известно, что )пл(х, у)г(х(М» при всех 0 =.у( 1, о то некорректность исчезает благодаря следующей теореме.
Теорема. Если и(х, у) — непрерывная при 0(у«-.1 гармониче- ская функция, удовлетворяющая нашим условиям периодичности и регулярности: и(х, 0)=0, » » ~ и'(х, 1)Ых(МЯ, ) !рч(х)!тх(та о о (<р (х) = и„(х, 0)), то ~ и' (х, у) г(х ( у'т'!' т! Маг. о Положительную гладкую функцию г (1) ) 0 мы будем называть логарифмически выпуклой, если „вЂ” »1пдС))0. В силу равенства В ~! дМ г"!' — Р' „— 1пг(1)= — ( — — != )О для логарифмической выпуклости необходимо и достаточно выполнения неравенств г ) О, у "г' — г'Я =- О, что в свою очередь эквивалентно НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 281 з зя неотрипательности формы ~'~'+~~'Ъ+К о при произвольных 3, т!.
огарифмически !выпуклых ф „ логариф яически выпуклой. д о к а в а т е л ь с т в о этой леммы вытекает из неравенства (Л+ДК+ (Л+и Рй!+(Л+РЕ б выполненного для любых $, т1, если только для них выполнены не авенства угй +Чд)+рт,)з О, ДР+2УЛЧ+Лчз» О, Р ф !ЕСКРЮ ВЫПукЛОСТЬ л л ванный факт имеет место для любого конечного числа слагаемых. зйз аг Лемма 2.
)Я= —, логарифмически выпукла при любом а. В самом деле, Вз 2 зйз ат — азтз Вгз !П~(1)=гз ЗЛз.г мт азз зпзар Лемма 3. !п(у)= ~ Ьз является логарифмически выпуклой з-! функцией. )(оказательство вытекает иа лемм 1, 2. Из логарифмической выпуклбсти вытекают неравенства Ь 1п (р)»у !п 1к (1) + (! — у) 1п !к (0), О» у» 1, 1„(у)» (1 (1))г (1„(О))з-». Очевидно, что если обозначить ип (х, у) = ~~! —" з)! пу з!п пх, л=! и !рл (х)= ~1 а„з!пих, то и )п(у)= —. иЬ(х, у)йх, 2 !к(1)= — „иу(х, 1) йх, г.(о! ~ и 2 ~,з,.!г.
л ! 282 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА !гл. !г! Это позволяет переиисать доказанное нами неравенство такс н л л ! — о я ' ! Во!.оО ~[[.!о*, о!о ~'[)ооОло ~ [. о л ! а 1РГн т! — г ~ и'(х, у) г(х ~ у' ~ ~ и' (х, 1) бх~ ~ ~ фа (х) г(х~ о о о Доказательство теоремы закончено. Пусть теперь (и!"!(х, у)) †последовательнос функций гармонических а !ь! и' '(х у)= и и=! ограниченных одной и той же постоянной при [у~(1. Тогда для лю- бой из этих функций ~ [игь! (х, 1))Я г(х ( Ма, о и!А1(х, 0)=0, ( ' и)1 =!ргю (х). дп !о=о Пусть и (х, у) — некоторая гармоническая функция того оке видаг и= ~ — "з)!Лу з!ппх, л=! !и о!-о, о"',* оо( =о! о, (, ои цо ~л и пусть мы знаем, что ~ [<р!"1(х) — <р(х)[Я бх=в3 — ~ О. о Тогда и!ь!(х, у) сходится к и(х, у) равномерно вместе со всеми своими производными до любого фиксированного порядка внутри любой полосы [у [ ( Г < 1.
При наших предположениях иа (х, у), ори(х) сходятся равномерно ([у[ =1) к и(х, у), цо(х) соответственно. Из этой равномерной сходи 'Ф мости вытекает, что 283 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧН я Ф> д казатель ство. Во-первых, заметим, что Доказа г >(и<а) (х, 1) — и(х, 1)]2 <(х ( о 2л < 2л л е- ~ (ирп (х, 1)]2 их+ 2 ~ ~ и<а> (х, 1) и (х, 1) <(х ~+ ~ иа (х, 1) <тх м.- о о о ~ М +2]г"Л42) 'М 2+Ма 4Мв далее, по предыдущей теореме (заменив Мв на 4<)42) $ <и<~) (х, у) — и(х, у)]2 <(хауз(24()ятвт<< — д> ~ув.
4Л42, 2<<-т) о Проинтегрируем это неравенство по у от — У до уе) [и<~) (х, у) — и (х, у)]2 с<х <(у ~ — ° 4Л42в~~<< — "). Мы видим, что и<ь>(х,у) сходятся к сс(ху) в среднем внутри прямоугольника <>(х(п, ]у<( 'г'. Из за периодичности и(х, у) по х и благодаря ее нечетности сходимость в среднем имеет место для любой конечной части полосы )у]( г. Как мы знаем, для гармонических функций из сходимости в среднем вытекает равномерная сходимость внутри любой внутренней подобласти. Эта сходимость равномерна не только для самих и(х,у), но и для их производных любого фиксированного порядка.
Множество ограниченных решений нашей задачи непрерывно зависит от начальных данных. Говорят, что здесь имеет место условная корректность — непрерывная зависимость, если все рассматриваемые функции удовлетворяют условию ограниченности. Именно эта условная корректность и позволит нам подступиться к поставленной задаче. Теперь мы остановимся на приближенном вычислении и(х, у) по приближенным значениям тул<(х) для <р(х). Не ограничивая общности, можно предполагать, что <]>м(х) является тригонометрическим много- членом т]><2(х)= )~ ~а<~>зш лх. Пусть (фл(х) — ф (х)]2 о<х 2 ~ ~(и~ и") + 2 > ил~ вл л=< л<+ < *) Очевидно, хотя мы на атом н не остановнлнсь, что и(х, у)= — и(л, — у); и'е'(Ач у)= — и'а'(х, — у). 284 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА !ГЛ. Ры Кроме того, предположим, что и СО иа(х, 1)!2х= —" У вЂ” ", айал(Л4Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
