1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Рассмотрим решение, построенное в полуполосе г)0, Ос х<с, и построим его преобразование Лапласа СО ос (х, Л) = $ ис (х, т) е ~' с(г. о Интеграл в этой формуле сходится и, следовательно, преобразование Лапласа определено, если )те)о)К. С помощью правил дифференцирования несобственных интегралов по параметру легко убедиться, что в каждой точке полуплоскости йе Х ) К существует производная дос(х, А) —, представляемая сходящимся интегралом: дХ вЂ” ис(х, ()( е ась. Отсюда следует, что вс(х, А) в полуплоскости )сеХ)К являются аналитическими функциями )о, зависящими от вещественного параметра х. дис(х, Г) Определим еще преобразования Лапласа от производных дх дис(х, С) , Эти преобразования можно также считать определенными при йе)о ) К и нетрудно проверить, что д (,О -,,( д(' (,),, ° (,А) е =-сисх, е о ис,-хс ( ( ( () -Ас) ~ ( () ( -лс 1."'-" =.
-"г о с-о р = — и;(х, 0)+Х ~ и,(х, с)е Юс(г= — сус(х)+),ос(х, )о). о ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ЗОб о яо) ° =~ - ~ — 4-~,— -~-,р,4-,р,)а- ~,~ > ~ ы /ди, ди, '1 дт дх +Лот(х Л)+Уг,— „„' +тип,(х, Л)+т,р,(х, Л). лот(х, Л) Мы пишем для производной — ' знак обыкновенной производной до1(х, Х) дх , так как в дальнейшем дифференцирование по параметру Л ни до,(х, Л) в каких выкладках до и 31 не будет участвовать и, следовательно, такое обозначение не сможет привести к недоразумениям.
Аналогично, рассматривая интеграл 0= е ) — — йа — +тоги,+та и )г(Т, )х (дио ди, ),д) дх получаем второе уравнение — гро(х)+Лвя(х, Л) — ))о * ' +т,р,(х, Л)+тозов(х, Л)* О. доя(х, Л) Система обыкновенных уравнений (Ь~ Лот + лт дх + т пот + т тово = Ф» доо . Лоо — тгя — +тыв,+тоаоо=фа будет играть в наших дальнейших исследованиях важную роль. Нетрудно проверить, что е,(х, Л), оя(х, Л) удовлетворяют при х=О и при х Е граничным условиям ар,(0, Л)+а,о,(0, Л)=0, б,о,((, Л)+Р,о,(1, Л)=О. Их проверка выполняется так (мы ограничиваемся проверкой лишь одного): СО агвт(0, Л)+ар,(0, Л)=а, )г е )ги (О, о о 1)а+а,) е ~'и,(О, 1) и= о е "' (ади, (О, ~) + азия (О, ()) Ы = О.
Мы определили преобразование Лапласа в полуплоскости КеЛ)К. йсли выбрать К' ~ К > О, то оказывается, что в полуплоскости Ке Л) К* Теперь нетрудно получить для эг (х, Л) обыкновенное дифференциальное по х уравнение, зависяшее от параметра Л: Зоб Ггл. и ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ЕУРЬВ может быть получена чрезвычайно важная для дальнейшего оценка: (о;(х, Л))( — „" Выведем ее.
Сначала покажем, что (КеХ) Ка) ~;Р. гп-(1 <; г.-'а о о = сопа1 ею ° е "*' г(1 = —, сопй Ка — К' Аналогично: гГор(х, Х) ) 1 дог(л, Г1 Ы Г сопй 1 Из обыкновенных уравнений, которым удовлетворяют о;(х, Х), находим: 1 Г аог ог(х, )г)= — ~ фг(х) — Ггг — — лгыог — лгггог~ Если правую часть этих равенств оценить с помощью только что полученных неравенств, то мы и придем (при кеХ)Ка) к обещанному ° утверждению: ~о,(х, Л)~( —, При каждом фиксированном х функции и~(х, Г) удовлетворяют всем тем условиям, которые обеспечивают применимость теоремы об обращении преобразования Лапласа, доказанной в предыдущем параграфе. Поэтому аьм иг(х, 1)=Š—. ~ ог(х, Л)е ~й+01 — „~, а — и В этой формуле интеграл берется по отрезку прямой )се Л=а, параллельной мнимой оси и такой, что а )К.
При фиксированном а оценка равномерна по 0(х=с:Г, Т~1=-Гг)0. Равномерность по х следует из того, что оценка ) и;1( сопз1ею ~ — ' ( ( сопз1ею (' — "","; "' — '"","; ") ~~С(11,1, ~Г,~))~Т~,— Г,~ содержит константы, не зависящие от х. Фиксировав Ка, мы будем полагать а=Ко. ПРЕОВРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ СО )г ди~ (» () ( дар (» Л) д» д» ())о +Л и;(х ()е-Асд(= е 'и;(х, ()д(=б,(х о 7 е.Идя~(», Г) г( (;Ы, дг = — В (х, 0)+ М, (х, Л).
Сходимость этих интегралов и законность выполненных преобразований легко обосновывается при це Л( — К. С помощью -оценок ) и; (х, г) ( ( сопя( ел И), ' д» ) — '~(сопя(ек", ! — '-)(Сопя(е" ~П ~ди; ! ( д( точно так же, как и для преобразования Лапласа при це Л)К, про- веряется, что б;(х, Л) удовлетворяют уравнениям др1 Лот+ лт — „+ тато, + ттяоя = щ, (Ке Л( — К) доя Лоа — ))я — „+ тато, + татов = ~ра и граничным условиям аА(0, Л)+аябя(0, Л)=0, райт (7 Л)+ ряб ((, Л) = О. Эти уравнения и граничные условия по своей форме никак не отлича- ются от тех, которые получены при йе Л ) 0 для о;(х, Л). В дальней- шем мы этим обстоятельством воспользуемся.
Точно так же легко убе- литься, что б;(х, Л) — аналитические функции Л при це Л ( — К. (( к теорема существования решения у гиперболической системы в полуполосе позволила нам ойределить зование не Лапласа, компоненты которого являются аналитическими функциот параметра Л в полуплоскости )(е Л ) К, и получить оценку — в полуплоскости ((е Л) Кч ) К О. Кроне того, обоснована возможность вычисления и~(х, () при 0(х((, 0((о((-=.
Т чадре~ п,.(х, Л) с помощью приближенной формулы обращения преобразования Лапласа с равномерной оценкой остаточного члена. Теперь посмотрим, какие выводы можно сделать из обратимое~и исходной задачи, т. е. из существования ее решения в полуполосе г(0, 0(х~й Для этого рассмотрим интегралы: 308 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЪЕ (гл. 1У Рассмотрим теперь наши функции й;(х, Л), ' д' в полуплоскости два (х, Л) дх КеЛ( — Кз( — К: — со — СО 1й;(х, л))= е ~'из(х, ()ш ( сопя! е — "'ы~екипг(т = —, К* — К' !'' ~=~~ дв; (х, Л) ! (' 1з дан сопз1 дх ! ~ дх Кз — К' Записав уравнения для б; в форме 1Г дв з д Л~ дх 1Г дэз пз= (ч а+газ д езззпз «зззпз) з дх и используя для правой чзсти полученные оценки, находим, что !й;(х, Л)~( — „при ВеЛ( — Кз.
В дальнейшем мы изучим поведение решений обыкновенных дифферен- циальных уравнений лез Лез + яз е + шззоз + гмззез фз зЫх+ зз з+ зз з зрз с граничными условиями азиз(0, Л)+ахея(0, Л)=0, Бзэз((, Л)+()зез((, Л)=0 при изменении Л в полосе — 2КФ(КеЛ(2К"'; Во время этого изучения выяснится, что решение системы единственно для почти всех Л на этой полосы. Более того, все точки, в которых единственность нарушается, лежат дискретно в полосе )КеЛ((К (напомним, что К(КФ). Из этой дискретности будет выведено, что существует полоска ~!шЛ— — гз~~(1, внутри которой всюду имеет место единственность. Будет также показано, что в окрестности каждой точки единственности решения оз(х, Л) являются аналитическими функциями Л. Из теории функций комплексного переменного известно, что аналитическзя функция однозначно определяется своими значениями в любой сколь угодно малой области.
В дальнейшем будет показано, что в полосе К* = цеЛ( 2КФ решение системы обыкновенных уравнений единственно и, следовательно, совпадает с вектор-функцией (эз(х, Л), пз(х, Л)), получившейся преобразованием Лапласа из вектор-функции (из (х, (Л ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ зоб а 281 и (л, 1)). Следовательно, та аналитическаЯ фУнкциЯ от Л, зависащаа от л как от параметра, которая определяется в полосе (с выколотыми дискретными точками неединственности) — 2К~ ( ке Л = 2КР, является аналитическим продолжением этого преобразования Лапласа. В частности, рассматривая аналитическое продолжение вдоль полоски 1!ш Л вЂ а ! ( р в левую полуплоскость Ке Л( — Кв, заметим, что в силу единственности решения системы обыкновенных уравнений в полосе — 2КР < ке Л ( — К* там это аналитическое продолжение будет совпадать с 1бт(х, Л), йа(х, Л)».
Этими рассуждениями обосновывается возможность аналитического продолжении преобразования Лапласа о,(х Л)=~ е-ьгп.(„г)вг1 а определенного этим интегралом при ВеЛ)К, на всю плоскость комплексного переменного Л, за исключением некоторой дискретной последовательности точек, лежащих в полосе ( ке Л ~ ( К В дальнейшем выяснится, что точки этой последовательности, как правило, являются полюсами для пг(х, Л). (Эти полюса общие для всех х.) Оказывается, что полюса можно занумеровать ... Л р, Л-р„,..., Л Р Лм Лм..., Лр,... так, чтобы при (р1-э-ОО имела место асимйтотическая формула: Л=' ' " +О( — 1 н ЧИ1' Параметры р, т, н легко вычисляются через коэффициенты й,(х), л (х), т~ь(х) изучаемой системы и через коэффициенты сам ав, рт, ра граничных условий.
Отметим, что параметры н и р вещественны, а т может быть комплексным, и что все полюса лежат в полосе 1кеЛ((КР. Рассмотрим еще горизонтальные прямые (2Р+1) л — 1тт н от каждой из котоРых полюса Лр и Лрч( асимптотически(пРи больших Р) удалены одинаково. Будет показано, что на отрезках, высекаемых из этих прямых полосой 1кеЛ((2К*, имеет место оценка )о~(х, Л) ( <— р равномерно для всех х.
Мы сейчас покажем, как, восцользовавшнсь этим обстоятельством, можно замкнуть контур интегрирования в формуле обращения преобразования Лапласа. В последующем интеграл по замкнутому контуру будет Уже нетрудно заменить суммой вычетов по полюсам. Обоснованную ранее формулу обращения преобразования Лапласа нам теперь удобно прповрлзовлннв лапласа н метод ээрьи (гл. гч записать в следующей форме: «в+ — в ар+! ив(х, !)= —. ~ о;(х, Л)е в2Л+О( — ), .ар+в к —.— /11 Напомним, что оценка остаточного члена О( — ) равномерна при О~ (Р м=х»! и для любого фиксированного отрезка времени с нижней границей, отделенной от нуля: О ( !в» !» Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
