1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 50
Текст из файла (страница 50)
При Г)0, Ь)0 выполнено нграввнапво ! ЯПЬ$1т>ге[ту(й))1ет ] — р (я) 4 — — ~ + ] — та+ — ~ ] тр' (а) [ а . (Про тр(й) предполагается, что она имеет непрерывную производную тр'($) и конечную правую часть в выписанном нераввнспюе.) Для доказательства леммы преобразуем интегрированием по частям следующий интеграл (В ) 1)т в 1= — тр дя) тдя = — — 1 — тд сл Ь$ зтп Ь$1 Р Р ($) ь .] в в 1 ~туй) совЫ чт(В) созЬВ ( 1 тт ртач) из+ ( Ьз тр (й) тц г 298 1гл. 1Р' ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ а затем оценим слагаемые полученной суммы: В в  — ~Р(И) ОЦ ( — зпР ) ~Р($) ) ° ~ — + — 1+ ~ — о$+ — ~ ) <Р'($))йе, м ь| Г1 11 Р ~р(Ь)~ $ Если существуют зпр ~ф($)), ~ —,4, ~! р'Й)~бй г то из приведенного неравенства следует, что в, — р(я) Д ~а(В ) (В ~ В,), яп Ь$ $ где е (В,) О при В, со.
Это последнее утверждение эквивалентно выполнению критерия Коши для проверки сходимости интеграла Итак, этот интеграл сходится. Переходя к пределу при  — оо в обеих частях В Г зшЬБ неравенства для — ф 1Б) йи, приходим к утверждению леммы. Первое следствие из леммы 1: +г з)пЬБ 1 4 — е$ — и ~— Ь 1' +ОО Действительно, из курса математического анализа известно, что ~ — еф = и, г апЬ$ а из леммы 1, положив ~р Я) 1, получим: ОО ОЭ ОО СО с Теперь сформулированное следствие очевидно., Второе следствие из леммы Е Если при ()О ) и (Г) )(Ме Р' ) и' (Г) ) (Ме Рг, 4 зт) ТЕОРЕМА ОБ ОБРАЩЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ' 299 то длв С~!ь)б в!и Ьс '11 — и (С+С) дв =О,' — ! '~ь) с с остаточным членом [ 0 [- с ~ ( — — ~ 2+ — ~ .
[ь[[ ь'с,[ р3' В самом деле, по лемме 1: мн ЬБ 1 [Ме врс Ее те Ме Рс — и (С+В) до < — +Ме Рс — да+ — с~ е вессс < $ с с т~ — г.и [ — ь — [+~гс1 т[ — ь~" [ т — [2~.— 1 О( — ). с с Следствие обосновано. Лемма 2. Пусть при — с<в<С выполнены неравенства [1'(Б) [(М, !)' (Б) [< =,; да М У[В !' +с ~ ввс Ьвь с(ьь) деь < 2М+4М с' С Доказательство: -1- с 1-с зтЬБ!(Б)дв= — — ~ 1!ь)дсозЬБ= 1 Ь 1 -С +с соз Ы 1 Ь =- — И«)-)( — С))+ —, 1с Ь~ (а)д~, +с в!н ЬБ1($) дв ( — + — М 2 ! — с Ь% Л ем м а Зс Пусть при [Б) (!выполнены неравенства! [с)с (ь) [ < М, [с(с' (ь) ) <' (м. [4'Ю вЂ” 4'а )[-М)сЛ вЂ” Ь!. тогда +с мн ЬБ 2М+4М ее!+†— 4М ф$) ссв — шр (0) ( Доказательство.
Построим функцию ф® — Р(О) $ 3ОО !ГЛ. 1У ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ н докажем, что (1 ($) ! ( М, ! 1' 14) ) ( =. Действительно, М р'л!' 1а)= Р~~)-Р~'~ =,р (еи о в $ Отсюда Далее: 11а) ~=, р (вВ)(~м. Рр (3) — (р(Р) — р(ОД вр (3) — вр (Вв) р (3) — р (Вй) 1Ф Р Позтому ( ! р'(3) — р (вв)) МР«1 — в) ~В) м кя~ Применим теперь лемму 2: +с +с +с зшь31(3)лй = ~ — р(цдв — р(о) ~ — др, ~ Р асов| е(п Ь$ 2М+4М Рс С ь Теперь остается лишь отметить, что по первому следствию из леммы 1 +с р(о) ~ — дц-л р(о) ~- —. Р апь$1 4М Б Ь С ' — с Доказательство леммы 3 завершено.
Следствие из леммы 3. Пусть при т )О выполнены неравенства (и(С)(<ме Рсл М, !и'(С)!~ме Рсч-м, а при 0(Сд( Сз~2Т оценка непрерывности и'(С): /и (!з) — и (С,)(~м Рс(С,— С,/. Тогда длп 0 ( Се(С ( Т имеет место Равенсспво: +с — и (С+ В) дй — пи (С) = О ( — ! мп Ь$ С11 — с (,Ь) /11 с остаточным членом 01 — ) таким, что '1 Ь ) и(О= — ~ . и(с+в) ссв+0( — ), — с (Дла вывода следствия из леммы 3 достаточно положить ср(В) =и (с+в).) Объединяя зто следствие со вторым следствием из леммы 1,'мы получаем длн функкий и (С), удовлетворяющих всем сформулированным для них условиям, равенство а 211 теОРемА ОБ ОБРАщении пРеОБРАВОВАния лАплАсА З01 где постоянная с в оценке !'(-') 1.-' зависит лишь от М, Р, 1о, Т: с=с(М, Р, Го, Т), если 0< то<1< Т. (РасшиРЯЯ ДопУстимый отРезок изменениЯ Д напРимеР, пУтем пРиближениЯ 1о к нУлю, мы будем увеличивать постоянную с в этой оценке.) /11 Ыы говорим в таком случае, что оценка остаточного члена О 1 — 1 равномерна '(Ь) по всем функциям и (1), удовлетворяющим оценкам ! и (Г) ) < Ме Р1, ( и' '(т) ! < Ме Рс, Г ) О, ! и' (гз) — и' (11) ) ~ М У' гз — Бы 0 < 11 <тз < 2Т, и для всех 1 из фиксированного отрезка 0<1,<т<Т.
В курсах математического анализа часто доказывается, что если функция д($) такова, что +со ~ ~кФ)„ д 1+!$! и. Я(с) непрерывна при $о — А <$<со+А и имеет в этом интервале ограниченную вариацию, то для нее выполнено предельное соотношение +со В 1 Г ,Б, зш Ь (й — йо) Из этого утверждения получается, если положить и(1+Э) при Б) — т, Е(й) = 0 при Б< — й и (Г) = 1пп — ~ и (1+ $) — 1$. 1 Г ип ЬБ Ь сост $ — 1 Рис. 7б Наложив на и(т) более жесткие условия, мы сумели показать, что при Ь со интеграл в правой части отличается от и (Г) на величину порядка 1/Ь, равномерно для всех фуннций и(1), удовлетворяющих, этим предположениям, н для всех 1 из некоторого фиксированного отрезка 0 < 1, <т а Т. Ограничение го) 0 необходимо накладывать по следующей причине. Функция Е(С) имеет у нас графиктакого типа, который изображен на рис.
76. При Б= — Г она, как правило, разрывна. Ясно, что сходимость непрерывных по Со функций + со 1 1 з1п Ь (с — со). ,) Б со к функции 'й(йо) при Ь со перестает быть равномерной в окрестности точек разрыва я. Йменно поэтому точка разрыва $= — т должна быть достаточно удалена от изучаемой точки $=0, что и обеспечивается неравенством 0 < 1о<д 302 !ГЛ 1У пРеОБРАВОВАние лАплАсА и метод ФуРье Итак, мы доказали, что Теперь уже можно переходить к теореме об обращении преобразования Лапласа. Доказательство теоремы 1.
Чтобы доказать зту теорему, достаточно убедиться в том, что +Ьс со — и (Сю) е™йо= — и (С+с) с(й. 1 ~ . с 1 ~ з!Пбй — ь -с В интеграле, представляющем о!но), удобно в пропессе доказательства обозначать переменную интегрирования не буквой С, а какой-либо другой буквой, например, т. Проведем. выкладку, доказывающую нужное нам равенство: ус '! 'с ! +ь +Ь со 1 о (с,ь) „ос бю ес.с и (т) е сос ф, ю 1 Г /с" 2л 2сс +Ь со +Ь со — и(т)ес"'с "с(тйо= — ~ ~ и(С+В)е '"гсскстю — ьб — ь — с Последний интеграл равномерно сходится и, следовательно, допускает перемену порядка интегрирования: +ь +Ь оо 2ст,) 2л — 1 о(иь)ес ссйо= — ~ ~ и(С+В)з осс(зс(юоо — ь — 'ь — с со +ь ! 2л — с — ь Внутренний интеграл может быть вычислен: +ь — ь Окончательно: +ь 2л л л — ~ обсе) есосс(ю= — ~ и(С+$) — ссй.
! Р с 1 Р зспЬ$ $ — ь — с Доказательство теоремы завершено, Правило для обращения преобразования Лапласа обосновано. пнвовпазованив лапласа для нпшпнип систнмы зоз 2 28. Преобразование Лапласа для решений гиперболической системы Описание постановки обратимых смешанных задач для гиперболической системы. Существование решений и оценни для них изучались в а 1?. Преобразование Лапласа о;(х, ь) решения при достаточно больших КеХ. Его аналитич„ость, Обыкновенные дифференциальные уравнения, которым оно удовлетворяет. Оценки, Использование обратимости.
Изложение схемы дальнейшего изучения. Основные свойства е; (х, "ь), которые будут обоснованы в следующих параграфах, н получение с их помощью формулы обращения, содержащей интеграл по замкцутому контуру. Мы будем изучать теорию метода Фурье на примере системы двух гиперболических уравнений, записанных в каноническом виде дг-+?г д -+ лт (х) и +гл (х)из=О, ди, диг диз диз — — ?г, — + тз, (х) и, + тзз (х) и, = О. д1 дк Предполагается, что у этой системы одна характеристика имеет положительный наклон, а другая отрицательный, что обеспечивается неравенствами ?гт(х) ) О, ?гв(х) ) О. Условия л;(х) ~-' 0 означают, что у характеристик нет вертикальных касательных.
Рассматривая эту систему на отрезке 0(х(1, мы должны задать еще граничные условия а,и,(0, 1)+азггз(0, 1)=0, р рт (1, 1) + реп, (1, 1) = 0 и начальные данные при 1=0: из(х, 0)=фг(х), и,(х, 0)=грз(х). Если все коэффициенты (ах, сс„()м рз) в граничных условиях отличны от нуля (ах о" О, аз о' О, 'рд ~ О, рз ~ 0), то при достаточной гладкости коэффициентов системы и начальных данных возможно построение решения как «в верхней» полуполосе 1)0, 0(х(1 плоскости х, 1, так и в нижней 1 =О, 0(х(1.
Такие задачи, которые могут решаться как в сторону растущих 1(1) 0), так и в .сторону убывающих (1~0), мы называем обратимыми (см. й 14). Обратимость будет существенно использоваться в дальнейшем при построении теории. Для необратимых задач не только не проходит схема нашего исследования, но и сами факты теории метода Фурье совсем другие. 1(алеко не каждое решение необ)(атимой задачи может быть аппроксимировано частными решениямн вида е 'и(х), использовайне которых лежит в основе метода.
В дальнейшем мы убедимся в этом на примерах. 304 )гл. ш пРеОБРА30ВАние лАплАсА и метод ФуРье )(ак было показано в з 17, решение поставленной нами задачи существует (как в полуполосе г)0, 0(х((, так и в полуполосе г < О, 0 ( х ( г) и удовлетворяет неравенствам ~!и (», г)!, ~дс!, ~ д) ~)(сонате" и, .~дис(х, сд дис(х,со)! т,с— с С(сс ~ В этих неравенствах С=С()(д(, )(я!) — постоянная, зависящая от интервала времени, з котором заключены гн го.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
