1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Заметим, что пока мы нигде не пользовались гладкостью коэффициентов и поэтому границы производных от коэффициентов не вошли в наши оценки. Вот еще один чуть-чуть более общий вид слабо зацепленных систем: й, 1 г вс двэ] 1 1 1 дх +У!Р11 Ыт 12 лх ]+ 11 1+Л [ 11 1+ 11 э] Фэс йоэ 1 Г йо, йо,! 1 Лв, — йэ — + — 1 рэ, — + рэ, — 1+ тээвэ + — [пмв, + пэ,в,] = фэ. дх Лэ ~ дх дх ~ Л Предположения про коэффициенты рс) — такие же, как и про пд — непрерывность и ограниченность. йес Ясно, что если разрешить эту систему относительно — что,'очевидно, везде ' можно при достаточно больших по модулю Л, то мы получим равенства следую- щего типа: йо, — =Л [Агсвг+Асэвэ]+Вссф,-).В„ф,, дх йо, — = Л [Аэсвс+ Аээвэ] + Вэсфс+ Выфэ йс с ограниченнымн (при Л со) непрерывными по х коэффициентами А;ь Ась(х, Л), Ви,=В;ь(х, Л).
Подставив эти выражения для производных в выражения Лэ[ 11 Д» д»1~ — ]р.г " и-1-рсэ — 1 мы избавимся от слагаемых такого типа, несколько измес ннв выражения для йгэ(х, Л) и для фг. После этого можно применить лемму 4 и убедиться, что ее формулировка дословно переносится и на системы, имеющие зацепление порядка 1/Лэ в коэффициентах при производных.
Можно получить похожие оценки и для систем с зацеплением порядка 1сЛ в коэффициентах при производных. Нам достаточно будет здесь ограничиться системами вида с(ог р с(оэ 1 Ло +й — + — — +тссос+ — [пмос+пмо ] =фм т~х Л с(х, Л с(оэ Р с(о1 Лоэ — йэ — + — — + тв оэ+ — [пегое+ лээоэ] = фэ. дх Л дх Здесь, однако, в константы оценки войдут еще и производные от некоторых комбинаций коэффициентов. Запишем нашу систему в матричной форме (гл 1ч пРЯОБРА30ВАние лАплАОА и метод фкяье 318 и сделаем подстановку с достаточно гладкими по х коэффициентами а (х, )«), Ь (х, Х), поторые вместе с производными по х предположим ограниченными при Л вЂ” оэ. Очевидно, что а Ь, 1«(х(ге,~+ А (Ь' а ~ ~м,)' д '/ '[ Поэтому система уравнений для пгг, газ может быть записана гак: Умножим эту систему епге слева на матрицу г а'1 ь —, Ь= 1 ), мыпри Так кап Э,+Аз) О, то, положив а=— дем после описанного преобразования к уже изученной «слабо зацепленно, системе с «зацепление«г» порядка 1!)««при первых производных.
Очевидно, о, яэ и заметим, что ( ' -'«~(«»- „«)(' —, ! +я«гг д« ~+ х ',',Х ' Х',г 1 /яы пгэ') 1 (йгг йгэ) " ' (. ми„)~ совствинныи еинкцнн кнливон злдлчн . 319, й зо) гладкости р(х), д(к), Фг(к) следует гладкость а(к), Ь(х). Таким образом, приме- няя известную нам оцейку, имеем: ~ вт (х, Л)-в, (О, Л) е "ж ш [( —.
[Г+шах(~ юг(0) !, [вз(0) ~)), [Л[ [ вз (х, Л) — ва (О, Л) а~у*+ "' ~ ( — [Е+ шах (1 вз (О) [, [ вз (О) [)[. [Л| Вспоминая, что а ог =юг+ — в„ Л Ь оз= — в,-[ в мы без труда выводим отсюдн, что [( — [шах [фг (х) )+шах ) ф, (х) [-1-гпах ~ о; (О) ц Р1 «г «,г ! [ ~ —" [шах [ фг (х) [+снах ~ 1Р: (х) [ 1 „) о (0 Ц [[Л[ „,; ' „а Эти оценки составляют содержание леммы 5. Чтобы теперь привести основную нашу систему Лог+ йг — +тмоз+гл о,=фи ох г(оз Лез — йз — + шз,от+ шззоз = вз к изученному уже виду, выпишем знакомую нам форму этих же уравнений 1 [ с(от о1 = — ~ фг — йг — — гпзгоь — шгзоз~, =л[ ь ~~оз оз = — ~ фа + йз — гл мог — шзза з =Л! Вх а затем подставим отсюда выражение для о, во второе уравнение (е) вместо того оо при котором стоит коэффициент шзг. Выражение для о, подставляется в первое уравнение на место того ом при котором коэффициент обозначен как т з.
На этом приведение системы к изученному виду заканчивается. Ве новые правые части будут гпгз /ин Ф=фг — — Фз фзь фз — — фо ). ' Л ПРименяя последнюю из наших лемм, мм убеждаемся, что основная теорема этого параграфа доказана. В 30. Собственные функции краевой иадачи Изучение в полосе ~ кеЛ ~ (сопз1 аналитических функций от Л, зависящих от параметра х. Зги функции удовлетворяют обыкновенным дифференциальным по х уравнениям и граничным условиям. Вывод асимптотйческих формул решения "Равной задачи из формул для решения задачи Коши, полученных в предыдущем пРеоиРАЗОВАнне лАплАсА н метод ФуРье (гл гт параграфе.
Функция Р (А). Ее нули — собственные значения системы. Нулей Р О) вне полосы [ ме)л,' (К нет. Асимптотика нулей Р (Х). Аналитическое продолж ние преобразования Лапласа решения гиперболической системы на всю комн. лексиую плоскость с выколотыми полюсами в нулях Р (А). В предыдушем параграфе было доказано, что любое решение си стемы уравнений )лп1+ А1 х + ш11З1+ Щ1292=~р1, Л(ез )ло — А — + лтзлот+ гизз оз = трз (О =х(1, лл)0, Аг, ты ограничены вместе со своими непрерывнымн первыми производными, фь лрл непрерывны) удовлетворяет неравенствам [ О1 (Х) — и (О) Е-Лтл ( 'Л вЂ” Р ( ') [ ( — [плах ! лрл (х) [+ шах ! лр[ (х) ! + шах [ и, (0) [], М (х) (О) елю (ю+ Р, (з) [ ~ — [тпах [лрз(х) [+птах [ф,: (х) [+ шах [ ог(0)[].
М Постоянная М оценивается через коэффициенты системы и их произ. водные, а уг(х), р;(х) определены равенствами Параметр Л предполагается иаменяюшимся в некоторой произвольной, но фиксированной полосе [ Ке А~ с- Ке. Изучим с помошью доказанных неравенств некоторые специальные решения систем изучаемого типа о"= (о,', о,"), о(1)=(пл", тгал), о(') = = (о',", т(22'). Решения пе, о('), о(2) определяются своими начальными данными и правыми частями системы так: 1) от(х, Х), озе(х, Х) удовлетворяют начальным данным о",(О, Х)=0, о,*(0, )л)=0 и неоднородной системе Л(ал )ло1+ А1 Ж+ ти1161+ л212132 = грх Ф )ш,— Аз дтт+лзштлл+лте и =ф .
При достаточно больших по модулю Х в нашей полосе справедлива оценка )л ' [ЗФ(х, ЛН(У . совстзенные Функции кРАезоп ЭАдАчи 321 ч ю1 о', '(х, Л), о',"(х, Л) удовлетворяют однородной системе (ф,=О, — 0) и начальным данным Чов ',"(О, Л)=1, У (О, Л)=О. Это решение оценивается так: 1о',"(х, Л) — е-ью( > — ю~.*1 ~~ Ю ~х~ ~о',"(х, Л)! ( 3) о',"(х, Л), о',"(х, Л) тоже удовлетворяют однородной системе (ф,— О, ~рв=О). Начальные данные этого решения в',"(О, Л)=0, о~,"(О, Л)=1.. Для него справедлива оценка М ) в,'в'(х, Л))< —, (О"'(Х Л) — Евт т1+вв1в1~, Отметим еще следующее важное свойство функций о";(х, Л), о<ь)(х, Л)— они являются целыми аналитическими функциями параметра Л.
Эта аналитичность является следствием следующей теоремы, которая имеется, например, в учебнике И. Г. Петровского «Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравненипв. Пусть при хо(х(хт коэффициенты а;ь(х, Л) и правые части ~~(х, Л) являются достаточно гладкими функциями х и аналитическими при ~ Л вЂ” Ло )(Ь функциями Л. Пусть уы (Л) тоже аналитичны при ) Л вЂ” Ло~ к.д. Тогда решение систелсы дт %т — „'= ~~адьуь+Л, у~ (х Л) =у~о (Л) при каждом х(хо(х -х,) является аналитической функцией Л при ~Л вЂ” Ло((д.
Есш агя(х, Л), у~(0, Л) — целые функции Л, то у;(х, Л)— также целая. Очевидно, что наша система и начальные данные для ов, оы1, о<а1 удовлетворяют условиям этап теоремы, и поэтому аналитичность ъ",(х, Л), ов (х, Л), огп(х, Л), о,"(х, Л), о',"(х, Л), о',"(х, Л) из нее следУет. ПаРаметр Л.имеет право при этом пробегать всю комплексную плоскость. Это означает, что все перечисленные сейчас функции — целые. Решение од, оа системы Лог+ на д — „+ 'ггыог+ ттвов =% див Ло — йв -в+ т„о, + татов=ге„ Б 11 С.
К. Говувов 322 пгвовглзовлиии ллпллсл и метод етгьв !гл. ш принимающее при х=О начальные значения (Ад, Ав), записывается в виде од = о", + Адодп+ Авод", ов = ив + Адов'+ Адов". Посмотрия, какие должны быть Ао А, чтобы е„ов удовлетворяли граничным условиям а,о,(0, Л)+адов(0, Л)=0, Р,о,(Л Л)+[',о,(Л Л)=0. )Лля этого Ав Ав должны удовлетворять системе а,А, +авА,=О, [Рдев" (Л Л).[-[) о' (г Л)[А + [Рдод'(У Л)+ Р ' (Л Л)1 Ав= = — [)М(У Л) — [)М(Л Л) Обозначив через Р(Л) определитель этой системы: [)доз (Л Л)+[)вовз (Е, Л) рдо!ь(г, Л)+[)аз~ (Л Л) мы приходам к формулам для Ад, А, А в(гд ' (' )+['д '(' Р (Л) Р (Л) ' — ад(йдв» (Л Х) + рвай (Л Л)[ — ада (Л) Р (Л) Р (Л) Очевидно, вто а(Л), Р(Л) — аналитические, целые функции Л.
Внутри полосы )ЙеЛ)( сопят выполнена оценка [ (Л)~( — ([Р !+[Р [) Очевидно также, что )Р(Л)[< сопят в нашей полосе. Это позволяет л написать, что решение краевой задачи представимо в виде о,=о,*+ Аде',и+ А,о',"= — о,(х, Л), Р (Л) ев=евф+Адев" +Алов"= < йв(х, Л) с целыми двалитическвми (по Л) йд(х, Л), ов(х, Л), удовлетворяющими.„.'. сопл| при достаточно больших [Л[([ддеЛ[(сопвд) неравенствам ! ов~ с.— тл[. дь 323 о оо) СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ Для 1У'(Л) имеем в той же полосе формулы 0(Л)= г1 1 (' Л)+])о 1 (' Л) У1о) (~' Л)+Рооо (' Л)) о а, ! ]+о ( — ')= йте-«У«(1)-О«(1) и е«У,%+О.(О] )~Л(/ =а)]) е«У«(1)ч я«(л аор е — «У,(1)-р,(о ] о /1 ~~ ч).
Напомним, что сс; ~- 'О, а, Ф О, рт Ф О, ])а г" О. Будем говорить, что вектор-функция (от(х), оо(х)) является собственной вектор-функцией с собственным значением Л,, если от, оо не равны тождественно нулю, удовлетворяют однородной системе до« Лоо +к — „+т„о,+т„о,=О, доо Л,о,— йо — „„+тгао,+т,р,=О и араничным условиям а)от (0)+ аооя (0) = О, ртот Я+ рооо (1) = О. а,а« + а,ао = О, []) о)" ((, Ло)+])ооо" ((, Ло)] а,+(Рте)'(г, Л,)+ Рова" (г, Л.)] а,=О 'показывает, что у этой системы есть ненулевое решение ат, ао, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
