1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Преобразование, обладающее таким свойством, называется унитарным. Легко проверить, что собственные значения унитарного преобразования У обязательно равны 1 по модулю. В самом деле, пусть Уф=рф. Тогда, в силу унитарности, (Уф, Уф)=(ф, ф). С другой стороны, ((1ф ~Р)=(рф рф)=р(ф Иф)=р(рф ф)=р И(ф ф) Скалярный квадрат (ф, ф) веществен и положителен, а следовательно, (ф, ф)=(ф, ф). Мы видим, что (ф, ф)=р р (ф, ф), а значит, р )ь = 1, ~р~=1 .
1 л ~ В нашем случае собственные значения — это а р . Из условия ~ е р != 1 вытекает, что Лрт — чисто мнимое. Очевидно, что Лр тоже будет чисто мнимым. Мы доказали, что для рассматриваемых консервативных систем все собственные значения Лр лежат на мнимой оси. Докажем еще, что собственные функций, отвечающие различным собственным значениям, ортогонзльны в смысле введенного скалярного произведения. Сначала, заметим, что из равенств ((1ф, Ир)=(ф, ф), (()ф, иф)=(ф. ф) следует, что ((1ф. (1ф) =(ф ф).
Действительно, (и(ф+ф), Ц(ф+ф))=(ьр, Ыф)+(ИР, (1ф)+(Ир, (ЛЦ+(иф, Ир), (и(ф+1ф), и(ф+1ф))=((1ф, ИД+(В~, (1ф) 1(Цр, иф)+1(иф иф). 342 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ 1гл. ш С другой стороны, (У(гр+ф) У(ф+ф))=-(гр+ф ф+ф)=(ф ф)+(ф ф)+(ф ф)+(ф Ч) (У(<р+ 1тР) У(юр+ 1т))=1'р+1т' гр+ 1т) = =(ф гр)+ (ф ф) — 1(гр ф) +1(ф р) (Ур, Ур)=(р, р), (Уф, Уф)=(ф, Р). Сравнивая все эти равенства, находим (Угр Уф)+(Уф УЧ)=(гр "р)+(ф Ч) (2) — 1(У~, Уф)-)-1(Уф, Ур)= — 1(ф, ф)+1(ф, ~).. (3) Прибавляя к тождеству (2) тождество (3), умноженное на К, получим равенство 2(Ир, У®)=2(ф, ф).
Утверждение (У~, Уф)=(~р, ф) доказано. Пусть теперь Уф=ргф, Уф= =ряф причем р,~рм й(ы уже знаем, что рт)г,=1, )ья)гя=1. Неравенство — '~ 1 можно записать в виде ртгг -Ь 1. Воспользуемся тождеством 1гт ря т а (Угу Уф)=(гр ф). По условию (Ур Уф)=(рм ряф)=Иря(р ф)=(р ф). Это равенство возможно лишь, если )гг)гя=! или если (яь ф)=0.
Первое невозможно по предположению. Следовательно, (ф, ф)=0. Ортоговальность собственных функций доказанз. В случае если консервативная задача имеет кратные собственные значения, преобразование ш (х, О) -ь и; (х, т) не перестает быть унитарным. С помощью обычных для линейной алгебры приемов можно показать, что в этом Случае никаких присоединенных функций не существует и что каждому г.кратному собственному значению отвечают г линейно независимых собственных вектор-функций.
Так как любая линейная комбинация собственных вектор-функций, отвечающих одному и тому же собственному значению, Опяаь будет собственной с тем же собственным значением,то для них может быть выбран ортогональный базис. Напомним, кстати, что кратные собственные значения будут лишь в конечном числе и каждое из них имеет конечную кратность, Собственные вектор-функции, огвечающие различным собственным значениям, по-доказанному выше будут ортогональны автоматически.
Ортогонтальностью базиса из собственных вектор-функций удобно пользоваться при приближении начальных данных. Пусть мы хотим начзльную вектор-функцию ф = (~р, (х), фя (хЯ приблизить при помощи конечной линейной комбинации собственных вектор-функций ~Х ', саъы1(х) (п<ы=(О1А1, п1А))). Естесгвенно определить коэффициенты са А 1 РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ КОИСЕРВАТИВНОИ СИСТЕМЫ 343 $22> из условия минимума невязки б=>р — 2! сао>А>. 2(ля измерения величия=! ны Л невязки удобно пользоваться нашим скалярным произведением б=!)б/)2=(б, б)=(>р, >р) — ~Ч , 'са(>р, о(а>)— — ~са(о(А>, гр)+ '5'с>са(е(>>, о!">) = Аг >У А> =(>р, гр) — ' '~~ са(>р, о!">) — ~ са(>р, о(~>)+ '5, 'саса(о! >, Ф(~>)= А=! А=! А=! А ! А ! Отсюда видно„что гь принимзет минимальное значение при (!Р е(м) Теперь мы можем вернуться к вопросу о нахождении коэффициентов в разложении решения в ряд Фурье, полученный в предыдушем параграфе. Там было показано, что для решения справедлива формула и (х, () = '5' г(а и' >(х) е'ь~ + О ( — ), ! где ига>(х)=(о(!А>(х), о(!">(х)~ — собственные функции, а ХА — собственные значения нашей задачи.
Остаточный член, правда, оценивался лишь для 0((а =г = Т. Но если учесть обратимость задачи, то можно за начало отсчета времени взять г= — т с начальными данными и(х, — т), так что можно считать оценку равномерной при 0( г( Т. В частности, и(х, 0)=>р(х)= ~>(ао(а>(х)+О( — ). ! Если задача консервативна, то умножая это неравенство скалярно на о!">(х) (в введенном нами скалярном произведении), получаем (>Р, б(а>)=Па(чз(А>, о(А>)+О( — ) или, в силу произвольности )ч', (Ф, "') („!~~ У~А>) Другими словами, коэффициенты г(А — это и есть коэффициенты Фурье разложения начальной вектор-функции по собственным функциям уни | тарного преобразования У.
1гл. ш 344 пРеОВРАЗОВАние лАпЛАСА и метОД ФУРье В результате получаем окончательную формулу для решения задачи с гладкими согласованными начальными данными !р(х)=(!р»(х), !рэ(х)): и(х, 1)= йчи ' е! !(х)е й +0( — ~. Ч«\ ОР, Р'й') й « ! 1 1 1 (Р!»1 Р!»1) '1йг ] й-! Рассмотренный в вводной части пример акустической системы ди 1 др — + — — =О, д1 р«дх др, ди д1»»дав +р с' — =О, и(0, 1)=и(1, 1)=0 является частным случаем консервативной задачи. Ее собственные векторхпх йих! хп функции (1 з1п —, — р с» соз — 1, собственные значения )«й =1 — с„ о» ! $(», ь» —,) . ° «.
лл) Р«с«! шення имеет вид А» й« йпх ! — «! /11 и (х, 1) = ~ сй1 э! и — е ' + О !»- й=! !т ,й» р(х, 1)аь ~) сй( — рэсэсоа — )е ' +0( — ), где — — [1з)п — и(х, 0)+ — соэ — р(х, 0)~«(х. Р », йкх 1 Ь~х 1 ~ 1 ' Р«с« 3 33. Самосопряженная система второго порядка Ее сведение к симметричной системе первого порядка. Зта система консервативна. «Кинетическая» и «потеицяальиая» энергия для решений этой системы. Собственные вектор-функции и собственные значения соответствующей краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Собственные функции ортогоиальиы как в «потенциальной» метрике, так и в «кинетической». Формулы для приближенного решения задачи.
Замечания о методе Ритца. Изучение метода Фурье мы закончим рассмотрением некоторого класса типичных задач, к которым этот метод применим. Это рассмотрение покажет одно из важных направленнй, в которых допускает расширение проиллюстрированная на простом примере теория, 345 САМОСОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА Мы будем рассматривать симметрическую и так называемую само- сопряженную систему второго порядка л л „( (~ — — ~~л ( ( — ), 1=1,2,..., »=1 »=( Матрицы )а(»(х)(1 )Ь(»(х)) здесь предполагаются симметричными и (обе) положительно опредеЛенными.
Граничные условия при х=О и при х=1 будем предполагать заданными в следующем виде: Ь(»ГО) — »= т о;»и„при х=О, ди» %1 ди» Ь(»Д — "= — ~~~~~еып» при х=1 дх с неотрицательно определенными квадратными матрицами оы, е;». Начальные данные при 1=0 должны для этон системы задаваться так: ((» гх, 0) =(р» (х), Мы сейчас покажем, как такую задачу можно привести к консервативной задаче для системы уравнений первого порядка, содержащей в два раза больше уравнений, чем исходная система второго порядка.
Консервативность этой задачи будет гарантией ее обратимости, используя которую, можно доказать применимость метода Фурье. Обозначим ди» вЂ” г =вы дг л~,~ '»~ ) дх Матрицу !!Ь(»~ ' обозначим !!Г(»гх)/!. Легко проверить, что (!с(»!/ тоже будет симметрической и положительно определеннои. С ее использова-. нием могут быть записаны тождества У,'с,(Ь(»=б» (символ Кронекера), ди; %' — '= т~с(»(х)в». дх ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ !гл.
!у Эти последние равенствз, будучи продифференцированы пю) 1, приводят к уравнениям сы(х) — =д1. Х джей д»1 д! дл' Исходные же уравнения переписываются в следующей форме: Х а;й (х) в = —. Ђ дс дзю1 д! дх' Объединяя уравнения этих двух видов, приходим к симметрической си- стеме дсй дЮОЮ '~ы ' дй дк' . »'ай(х) — = —, Хй сгй (х) в — —, Ђ дяю дО1 дГ дх' которая, с учетом замены (1). эквивалентна первоначальной системе. После УмножениЯ УРавнений полУченной системы нз тй и сзюо соответственно, сложения и интегрирования по области с кусочно гладкой границей Г получаем интеграл энергии (см. й 9): 1 ! !%! юЛ,,, «~,,, )Ш -«1Х„,~Юю= ° .
1, й , 1, й КвадРатичнаЯ фоРма — гя а1 йо1ой = — г спй †' - — отвечает, т ак сказать, 1,й Ю,й «кинетической» энергии, а форма 1,й Ю Ю,й — «потенциальной». 1«Лы пишем слова «кинетическая» и «потенциальная» в кавычках, чтобы подчеркнуть,' что речь идет о некотором общем классе уравнений, для которого понятия кинетической и потенциальной энергии могут иметь только условный смысл. Из граничных условий при х=О вытекает, что ~~) ды(0) — ""~ =ш1( = ~~о!»ий~ =У ди;! ! д Ът тиЮО = оыпй —.-' =-2- д— ~„ОЮйп1ий Аналогично из граничных условий при х= ! получзем ! д%!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
