1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 58
Текст из файла (страница 58)
ПЮЮ ОЮ = — — — ~~ З;йл1 ий ~ )„ 1 2 д! .ЛЮ ' 1« 1' Ю. й пивовгдзовдние лапласа и метод екиьв ггл ш собственные функции, оказывается, можно считать ортогональными в более простой метрике, связанной лишь с матрицей «кинетичесиой энергии» [[а;д[[ Сейчас мы покажем, как к такому выводу можно прийти. Переписав уравнения Х (Ь; сц,Лтед = — ' ах в форме Л .=~1Ь„а" ""д д и подставив отсюда Лги; в равенства получаем уравнения второго порядка: Лд ~~~~ а;дод — — ~ — ~ ~Ь;д-„— «).. д ~ д Так кзк собственные значения Л являются чисто мнимыми, то, следовательно, Лд должно быть вещественным и отрицательным.
Обозначим Л = — р. Мы установили, что собственные функции должны удовлетворять уравнениям с вещественными коэффициентами ,-'[~д,~»~ф1,.р~,.~ ),=ю. Граничные условия Х ..=Х Ь;д(0) — = г огдид (при х=О), а'яд Ъ~ Х Ьгд Я вЂ” = — "~~)' в,,и, (при х=~) аяд= д с помощью равенств Ли»=од могут быть для наших собственных функ- ций переписзны тзк: Ь|д (0) — „д= 1)'о;адпд (при х= 0), Ф- д Х Ь;д (() — „= — ~~~~ заид (при х= ().
ддд ад Мы видим, что урзвнения для собственных вектор-функций (оп ем ... и„) и граничные условия для ник вещественны. Отсюда следует возможносгь считать (о„рд,,, о„[ вегцССтййнными. ЗбО пРеОБРАЭОВАние ллплАОА и метод екгье сгл. >э В силу граничных условий при х=О %,,% л' %, %, % (с лис! — =~ пс ' Ьй — =~о'«„оыо» =~осйос 'ой', 1,й й й 1,й >Ь" С>>йес! — „=~мпсйтй 'Ой" = ~ Осйос Ой', с,й с,й с,й [~к.( > '— ,",-к — ",",>] = ° . с,й х-й Совершенно так же устанавливается, что [~к.(~1 „'— с ~~)( -о. с,й к-с Следовательно. (р; — р,) ~ ~ асйос''пй" с(х= О, о с,й с ~ Яасйпс"ой" с(х=О. йс.л Ортогональность собственных функций доказана.
Пользуясь этой ортогональностью, нетрудно дать формулы, с помощью которых вектор- функции ай(х, 0)=срй(х), — й~ =фй(х) могут быть приближены суммами вида йс срсйсг>= Я Аръ!Р>(х), У ф'Ас>= 'У,' В сй>(х). Начальные значения ай(х, 0) и производной — ~ приближаются незвал, висимо. В нашей записи это подчеркнуто тем, что их коэффициенты Фурье обозначены разными буквами. Точное решение исходной системы Х соответствующее этим приближенным начальным данным, записывается в виде иСА'> (Х, х1)= кт' [АР СОБ ЦС рРС) + ВРЗ!П (ф ВС~) =1 Ойй> (Х). =.ы( ° Уи,) Р 1 САМОСОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА 351 % зи упражнение.
Убедитесь в этом непосредственной подстановкой в уравнен „ия и в начальные условия. 1»1ы уже отмечзли, что собственные функции нашей задачи ортогональны еше и в смысле метрики, задаваемой формой р'= — т О!»пьдй~ -о+ — ~ ~~вьет!ий+ ~~с!»тэ!шй 11м+ . 1 %ч !.» Е 1.» 1,» + й ~ы "»"'д»1. =е ~ыоь пгдй~ + — ~ы пьд ~. + ь,й 1,» 1 е Ь» 1. » Вычислим значение этой формы на собственной вектор-функции, для которой Ан»=ой, Л= — Х=)/ — Р, 1!и»=6»=ой, Х рь=1ь Непосредственное использование этих равенств дает — .~ +р —,,~,;.
~.~'-+ 11Ъ о 1,» !,й + — ~ ~~Ь1» — ' — аге+ — ~,в ьо» 1„, . о,» 1,й Преобразуем интегрированием по частям интеграл, входяший в квадрат- ную скобку, —,~~ь,.фф! ='~ь„ь,"ь~' ' ~~ьь~~ь,.ф)ьо 1,» ! О!»О!Ой 1»-О й .ь В!»еь"Пй 1» 1+ й ~ 7 ПГ»ОГП» ььХ. ь,й !,й о !.й При получении последней строчки мы еще воспользовались уравнениями й (~ ь;. 'Я) ь- ь А'.ю. = ь 352 поновплзованив лапласа н мвтод охоьв |гл.
|у и граничными условиями оиа %1 Ь;а — — г огана = О ||к ~~~~~Ьп,— ""+ ~1~вин„=О 1при х=О), (при х=|'). Окончательно приходим к выводу, что на собственной вектор-функции рассматриваемая форма равна 1 Г'ь| 1 2 ) г„о|»о|па |зх+ 2 ~ ~г о|»о|па |"х. з |,з з |.а | |,а з |,а |,а |» С/ равна «кинетической» квадратичной форме с 1 7 аио|оа |зх. з |.а Задача. Докажите, применяя интегрирование по частям и используя дифференциальные уравнения для собственных вектор-функций )о',", о"', ..., о'„"), ('' о"', ж»й ..., о"'), отвечающих различным собственным значениям Иы ра (И Ф Из) что о.
о"о'о~ + ) 7 Ь» — ° — ох+ 7 е. о"'о"'| =й. и» - ~~у ' и ' п„,у и з ьа Эта ортогональность собственных функций в «потенциальной» мет. рике вместе с уже доказанной раньше ортогональностью в «кинетической» дзет их ортогональность в полной энергетической метрике («иииетическая» + «потенциальная»). Для упрощения записи обозначим: | П1У' к) 2 ~~,|гиУ|аа ~ -з+ 2 3,~ Ьг" дк дх з|х+ 2 Р в|за|за '~ |' |.
а з |,а ..з 1 К 1У Я) = 2 ~ 7, о|»У|за пх. е |,а Это утверждение эквивалентно утверждению о том, что нз собственной вектор-функции, отвечающей собственному значению р, «потенциальная» квадратичная форма сАмосопРяжеииАя систвмА ВТОРОГО пОРядкА 353 Пусть е'11, о!1!, .;., о"1 — собственные вектор-функции, отвечающие собственным значениям р, = р, (... ~ р„и пусть =$»о01-).$Ф" + "+$,о(о является вектор-функцией, лежащей в пространстве, натянутом на эти собственные. Тогда П (о, о) Е $Д»П (о'1', о'»') К (о, о) Е Ы» К (ои', о(»') я»1П (оч', о1)+ЦП (о»', он)+...+$»П (о"', о"') ~)К (о'1~, о~~~)+$1К(о'1, о'~~)+...+РК(о~~, оо) Р»ЦК (о' ', о' ')+роя!К (о' ', о' ')+..+)1 $'К (о'"', о' ') 11К (о<1! Рн~)+»!К (о<1~ о(1) ! .! 1»К (ооо ооо) Если предполагать, что собственные функции нормировзны так, что К(оЮ, о(ю)=1, то П (о, Р) р»В,'+)»»Ц+...+Р,$1 К (о, о) Ц+Ц+...+Ц Если все собственные значения различны, то минимум П (о, о) ш!п — '=р, К (о, о) достигается только на вектор-функциях, пропорциональных он), т.
е. на собственной функции, отвечающей наименьшему собственному зна- .чению. Это утверждение допускает следующее важное обобщение. Пусть о пробегает вообще все гладкие вектор-функции, а не только те из них, которые являются линейными комбинациями конечного числа собствен- ных. Можно доказать, что для таких о ( ц о ) 1 где р,— наименьшее из собственных значений нашей задачи, причем минимум достигается только на собственной функции, отвечзющей рт. Этот факт служит основанием очень важного для приложений метода Ритца, предложенного в !908 г. н применяемого для вычисления собственных функций и собственных значений.
Разберем идею этого метода на примере задачи, в которой одна искомая функция о(х) и формы К(о, о), П(о, о) задаются формулами К(ть е)=) а(х)эва!х, о 1 П(о, о)= ~ Ь(х) ( — -) 1(ж+эа(!). о !2 С. К. Годунов (гл, ш првовр«зов«нив лАплАсА и митод фхиьв Будем искать минимум ш1п — '=ш(п П(е, е) (при условии К(п, е)= 1) П (и, и) К (и, и) не среди всех е(х), а только среди е(х), являющихся полиномами степени р: е(х)=а«+а,х+...+архр. 1(ля таких е(х) 1 П(е, е)= ),' пыа;а«, и «=И г) Ь(х) хп«««г(х+ 1, с «=о о 1 К(о, е)= ~ нг«а,а«, х;«=г)а(х)хгь«Ых, и дело сводится к нахождению минимума квадратичной формы п«а~а«на векторах (ао, а„..., ар), удовлетворяющих условию к «=о пыа;а« = 1.
ь «=о Как известно, этот минимум )«равен наименьшему корню характеристического уравнения степени р+1 йе1 й п㫠— рно«!! О, а собственный вектор, на котором этот минимум достигается, удовлетворяет однородной системе ~ (пы — («кь) а«=О. «-о Таким образом, дело сводится к решению алгебраической задачи. Естественно ожидать, что, повышая степень р полинома, мы будем все точнее и точнее приближзться к собственному значению и к собственной функции. Практическое удобство метода Ритца состоит в том, что обычно удается получить хорошие приближения, рзссматрнвая в качестве допустимых лишь функции, лежащие в пространствах не слишком большой размерности. Эти пространства не обязательно должны быть пространствамн полиномов.
Особенно выгодно применять метод Ритца для отыскания собственных значений н функций в случае задач с двумя или тремя пространственными переменными, где нет почти ни одного конкурирующего с Ним метода САМОСОПРЯЖВННАЯ СИСТЕМА ВТОРЪГО ПОРЯДКА Збб Отметим еще, что обычно метод Ритца дает очень хорошую точность для собственных значений и несколько худшую для собственных функций. В заключение главы Р»г, посвященной методу Фурье, заметим следующее.
Часто изложение этого метода состоит в построении решения краевой задачи (и тем самым в доказательстве существования решения) с помощью решений специзльного вида, «стоячих волн». И во вводной первой главе, и в настоящей мы предпочли опереться на независимым образом доказанные теоремы существования решения краевых задач и затем уже разлагать эти решения по функциям специального вида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
