1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 62
Текст из файла (страница 62)
В ззключение рассмотрим еще один любопытный пример разностно(г ди ди схемы для уравнения — + — =О. Она пишется так: дх и (х+й, г)+и(х-й, г) 2 и(х+й, Г) — и(х — й, Т) т 2й — 0 Если предполагать, что и(х, г) — достаточно гладкая функция, имеюшая ограниченные производные четвертого порядка, то, как обычно, с помошью формулы Тейлора можно получить равенство и (х+ й, Г) + и (х — й, г) 2 и (х+й, Г) — и (х — й, Т) + 2й йа т I а а йаа =и!+и« вЂ” яи««+Тип+О(аа, Ьа, — 1.
На решениях уравнения иг+и„=О остаточный член, имеюшип вид — — и + — им+О(т, Ь, — ~, йа т г а а «« )' йа йа стремится к нулю при Ь-«0, лишь если — -«О, т-«0, — -«О. А(лв этого достаточно, например, связать шаги т, Ь зависимостью т гй (г=сопа(). Если же окажется, что при Ь вЂ” «О, т=)тйа ()т сопя(), то остаточный член стремиться к нулю не будет.
Можно показать, что в этом случае решения разностных уравнений будут сходиться к решению параболического уравнения ди ди 1 даи — + — — — — =О. дт дх 2И дха 374 1гл, ч влзностныв мвтоды Схемы, которые лри разных соотношениях между шагами приближают разные уравнения, называют негибкими. В случае, если г=т!6=сопя!, для сходимости необходимо, чтобы г ие превышало единицы.
Это следует из рассмотрения областей влияния. При г ( 1 сходимость имеет место. Нзметим кратко схему соответствующего доказательства в предположении, что разыскивается решение ди ди задачи Коши уравнения — + — =г(х, С) по начальным данным, задан- дк ным на отрезке 0(х(1 при С=О. Эти начальные данные определяют (для С)0) решение в полуполосе 0(х — С( 1, С)0. По нашей разностной схеме мы можем Г7ВВВВВ В ВВВГВВВЗ надеяться получить его лишь в вре5елюив лешева з ввррврввввввьвввв треугольнике С ~ О, С = х!г, урввввввв С = (1 — х)/г, лежащем при с г ( 1 внутри указанной полу- полосы.
На рис. 85, где изоб- С-в-Г рзжен этот треугольник, точки рззностной сетки отмечены в шахмзтном порядке кружочками или крестиками. Легко проб ь г г „ , верить, что вычисления значе- ний в кружочках никак не заРис. 85. висят от значений и(х, С) в кре- стиках, и наоборот. Я изобразил эти две группы по-разному, для того чтобй отметить этот любопытный, хогя и не очень существенный факт. Записав разностную схему в виде, разрешенном относительно и(х, С+т), и(х, С+ )=:и(х+й, С)+ + (х — Ь, С)+ту(х, С), и предполагая г~1, легко выводим неравенства: шах ) и (х, С+ т) ! ( шах ! и (х, С) ! + т |пах ! у (х, С) /, х, ! свах [шах ! и (х, С+ т) (, шах ! Г(х, С) Д ( (1+ т) шах !шах ! и (х, С) ); х хв к шах ( Г" (х, С) (], г шах) и(х, С) (((1+т)' шах ~шах ! и(х, 0) (, шах ) Г(х, С) / =.
к х, 1 ( сопя! п1ах ~шах ! и(х, 0) ), шах )Дх, С) (]. х х, г Объединение этого неравенства, оценивающего решение разностных,' ЗУб неявные Рлзностные схемы уравнениИ через начальные данные и правые части, с оценкой остаточного члена гу = О (Ь)) и приводит к доказательству сходимости. Я не буду останавливаться на этом подробнее, но думаю, что читателю полезно провести доказательство совсем аккуратно. ф 36. Неявные ревностные схемы Лемма о разрешимости системы уравнений с трехдиагояальяой матрицей Неявная разиостная схема для гиперболического уравнения и оценка ее решений.
Исследование сходямостя. Явная я неявная схемы для уравнения теплопроводяосгн. Описание метода прогонки для решения разиостных уравнений, возникающих в простейших неявных схемах. Разностные схемы для гиперболических систем, которые изучались в предыдущем параграфе, были удобны тем, что никзких затруднений при решении связанной с ними линейной алгебраической системы не возникало.
Разностные уравнения можно было решать последовательно от одного временного слоя сеточных точек к следующему, причем для одного шзга этого рекуррентного процесса, т. е. Еля перехода от слоя 1 к слою 1+т, удавзлось выписать явные формулы, по которым и следует проводить вычисления. В связи с этим такие схемы получили нззвание явных. Однако у явных схем для,гиперболических уравнений есть один существенный недостаток. Онп допускают счет лишь с не очень большим шалом ио времени. Это ограничение на шаги вытекает из сравнения точной и разностной областей влияния.
Мы останавливались на этом сравнении в предыдущем параграфе. Здесь будут рассмотрены примеры неявных схем как для гиперболических, так и для параболических уравнений. Разностные уравнения, порождаемые этими схемами, не удзется разрешить в простом явном виде относительно временнбго сеточного слоя 1 +т, если на слое 1 всенеизвестные уже найдены. В этом параграфе мы опишем и исследуем некоторые тание схемы, но сначала не будем останавливаться на том, как фактически решать возникающие из них уравнения. Несмотря на это, для решений разностных уравнений будут получены оценки погрешности.
После этого перейдем к вычислительному процессу, который обычно используется для решения таких уравнений. Прежде чем описывать построение разностных схем, докажем простую, но важную для дальнейшего лемму о решениях системы линейных уравнений некоторого специального вида. Лемм а. Система уравнений иь= ~р а„и„а+Ь„и„+слил+а — — ез (и=!,2,...,Ьà — 1), ил =Ф ков44ициенты которой удовлетворяют неравенствам )Ь„!)1+ )а„1+) с„(, 376 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ггл.
ч разрешима при любых правых частя (ф, спея,..., лн ьф), и для ее решений справедлива опенка )и»)«птах()ф), )д,1 !д»1...,)ам 1~,)ф',). Показательство. Зафиксировав коэффициенты ар, Ьр, ср, предположим, что(ив, и„и„..., ин) является решением системы йри некоторых правых частях. Если среди ! и» (, ~ и, (, ! и (,..., ( и и 1), ) ин ! максииальным является либо )ив), либо )ин ), то неравенство ) и» ~ «гпах ( ~ ф 1 1 ф /, ~ Ат 'ь ", ~ дн-~ ) ) очевидно. Если это не так, то максимальным является один из модулей ~иг~ ~и»! " 1ин т ). Пусть это будет )гт,!. Тогда ~и» ~«!и,~ для всех (г= О, 1, 2,..., Лà — 1, ЛГ и, в частности, ~ и, ~ 1 и,, 1 /и,',) (и,, /.
Из равенства Ь» и»=де а» и» т св ив.м и яз предположения о коэффициентах вытекают неравенства (1+ ) а, ! + / с, 1 ) ! и, ! «( Ь, ) ) и, 1 «! д, ~ + ! а, ~, ~ и,, ! + ) с, ~ ! и,„, ) « «1д,',+() а, (+( с, () 1и,(. Из них уже с очевидностью следует, что (и)«!д!«гпах(~ф~, ~д,~, 1д»~ " !дн г~ 1фД Итак, во всех возможных случаях справедливо доказываемое неравенство ~и»! «гпах (1ф), )д ~, ..., (Ян, ), )ф(), 7»=0, 1,2,..., Л1. Предположив, что при некоторых правых частях решение существует, ии доказали, что это решение не может быть слишком большим. Теперь остается доказать, что система уравнений действительно всегда разрешима. Ясно, что если взять нулевые правые части <р =.О, дд — — а =...
.„=дн,= О, ф=О, то получающаяся при этом однородная система раз-, решима, так как ей удовлетворяет, например, тривиальное решение и,=О, и,=О, и,=О,..., и» =О, и»=0. Покажем, что других решений у нее нет. В самом деле, любое решение и„им..., и» этой системы по доказанномУ УдовлетвоРЯет неРавевству (и»)«гпах ((ф~, (д,(,...,~дн т~, (ф1).
377 неяВные РАзностные схемы Итак, мы показали, что однородная система из Л(+1 линейного урав- нения с У+1 неизвестным, и,=О, а„и„,+Ь„и„+с„и„,=О, л=1, 2, ..., )У вЂ” 1, ил =О, имеет только нулевое решение. Отсюда вытекает, что определитель этой системы отличен от нуля. Следовательно, эта система разрешима, и притом единственным образом, при любых правых частях. Оценка для ее решения уже была полученз. Перейдем теперь к описзнию конструкции разностной схемы. Для простоты мы ограничимся рассмотрением одного гиперболического уравнения дг -(-Ь(х, г) — +т(х, г) и = 7(х, 7) ди ди с достаточно гладкими коэффициентами и правой частью.
Уравнение это будем рассматривать внутри прямоугольника 0<(ч-Т, 0(х~й Предположим, что Ь(0, 7)) О, Ь(7, 7)(0, и будем задавать граничные н начальные условия в следующем виде: и(х, 0)=ы(х), и(0, 1)=<р(т), и(Ь т)=ф(1). Относительно правых частей, начальных и граничных условий предполагается, что построенное по ним решение достаточно гладкое, а именно, имеет всюду внутри и на границе прямоугольника ограниченные вторые проиаводные.
Временнйе слои разностной сетки расположим при т=О, т=т, т= 2т,... г=рт, выбрав в качестве сеточных точек на этих слоях точки с координатами ха=О, х, =Ь, х,=2Ь,..., хл =1))Ь =Ь Шаг этой сетки Лх=Ь=ЬЧ. Р азностные уравнения для определения и(х, г+ т) во внутренних точках сетки (х=Ь, 2Ь,...,(Ь( — 1) Ь) мы зададим в зависимости от анака Ь(х, т) одним из следующих двух способов: и(х, т+т) — и(х, г), Ь,, и(х, г+т) — и(х — л, г+т) + + т(х, С)и(х, 1)=У(х, ~), 378 !гл. ч Рлзностнтяе метОды если Й(х, г)ге О; и(х, г+т) — и(х, г) Й, и(и+и, г+т) — и(х, г+т) + Й(х, г) И +т(х, 1) и(х, г)=у(х, г), если Й(х, а)(0. Кроме того, предположим заданными начальные и граничные значения и(лй, 0)=ю(пй), и(0, г+ т)=а(г+ т), и(ЛЪ, Ю+ т)=и(Й г+ т)=ф((+ т). Мы покажем, что выписанная разностнав система уравнений однозначно разрешима и поэтому позволяет последовательно определить приближенное решение на всех временнйх сеточных слоях, лежащих внутри нашего прямоугольника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
