1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Однако полученные нами формулы для коэффициентов разложения решений симметричных консервативных задач дают возможность выписать явные выражения для решений по начальным данным, если известны собственные функции краевой задачи для соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Глава !г РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕН1(ИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ф 84. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике Ревностное уравнение, которому удовлетворяет точное решение. Приближенное разностное уравнение. Мажоранты н неравенства для решения ревностного урвв. пения Пуассона. Разрешимость разностной системы. Оценка погрешности. Мы приступаем к изучению численных методов решения уравнений с частными производными. Наша цель состоит в том, чтобы понять основные вопросы, которые возникают при разработке этих методов.
Будут также обсуждены наиболее распрострзненные в настоящее время способы разрешения этих вопросов. Мы начнем с изучения разностного способа решения задачи Дирихле в прямоугольной области. Задача эта ставится так. На грзнице прямоугольйика 0(х---а, 0 =.у<Ь задается непрерывная функция Ф(з). Требуется найти внутри прямоугольника такую, непрерывную вплоть до границы, гармоническую функцию и(х, у), чтобы и(г=ф.(з).
В гл. 1!1, э 22 было доказано, что задача Дирихле в прямоугольнике разрешима при любой непрерывной Ф(з). Мы знаем, что ограниченная в некоторой области гармоническая функция внутри кзждой внутренней подобласти имеет ограниченные производные любого фиксированного порядка. (При повышении порядка производных их максимум может расти.) Можно доказать, хотя мы этого и не делали, что если ф.(з) — достаточно гладкая, то функция и(х, у) будет иметь ограниченные производные вплоть до некоторого порядка во всех точках прямоугольника, а не только во внутренних.
Порядок этих огрзниченных производных, конечно, зависит от степени гладкости ф (з). В понятие гладкости ф(з) входят некоторые условия согласования ее производных в углзх прямоугольника. Мы не будем эти условия уточнять. Итак, мы предполагаем, что интересующзя нас гармоническая функция и(х, у)(и(г=гр) имеет в замкнутом прямоугольнике ограниченные четвертые производные. Мы сейчас дадим приближенный способ восстановить значения и(х, у) на достаточно густой сетке точек внутри области по граничным значениям <р. Будет также дана оценка погрешности этого способа. Разобьем прямоугольник на мелкие прямоугольные ячейки со сторонами Ах=агМ, Ау=Ь/М так, как это показано на рис.
78. В вершинах этих прямоугольных ячеек мы будем отыскивать значения решения. Эти вершины мы выделили на рисунке жирными точками. Граничные точки 357 задача дирнхлв в пвямоигольннкв в Зн особо. этих точках значения и=<р извест . В В известны. ершины ч л ного прямоугольника ((О, О),(а, О),(и, Ь), (О, Ь)) мы ~ыде~~т~ ак в дальнеиших наших рассмотрениях они учас" частвовать не бУдУт. дх Рис. 78. да и дти Аппроксимируем на построенной сетке уравнение Лапласа — + — = дх' ду' =О.
Вспоминая, что мы предполагаем ограниченность четвертых производных функции и(х, у), воспользуемся формулой Тейлора: йх' и(х+Ьх, у)=и(х, у)+Ах ° и (х, у)+ — -и (х, у)+ хха Ьх' + д иккк(х„у)+ 24 икккк(ьт у)~ Лхя и(х — Лх, у)=и(х, у) — Лх.ик(х, у)+ — и„к(х, у)— Ьхк Ьх4 ---и (х, у)+ --4- ик„ккЯя, у), х( ь1 ~ х+Ах х — Лх($я(х. Отсюда и(х+Ьх, у) — 2и (х, у)+и (х — Ьх, у) Ьхк Ьх~ =ихк(Х У)+ 24 [иккккйт' У)+икккк62* У)1 ° Аналогично, и(х, у+оу) — 2и(х, у)+и(х, у — Лу) оуя =и (х, у)+ 4 [и„„(х, Ч )+и „(х, Чя)), У~Чг~у+ЬУ У тау~Чач У.
358 РАзностные методы )гл. ч 4 Мы получили приближенные формулы для вычисления вторых производных. Сложим их: и(х+Ьх, у) — 2и(х, у)+и(» — Ьх, у) Ьхй + и(х, у+Ьу) — 2и (х, у)+и(х, у — Ьу) + Ьуй = и„„+ и„+ Ьхй ° Т(х, у)+ Луйб (х, у). В этом представлении 44»хх» (ай У) + и»ххх (ай У) 24 и „ (», й)й) + и „ (х, Чй) 6(х, у)= — ограниченные функции от х,у. На нашем решении и„„+и„„=О. Предположим, что нам каким-либо образом удалось во всех внутренних точках сетки (х, у) определить значения Т и 6. Написав для каждой такой внутренней сеточной точки уравнение и(х+Ьх, у) — 2и(х, у)+и(х — Ьх, у) Ьх' + и (х, у+Ьу) — 2и (х, у)+и (х, у — Ьу) Ьуй =Ьх'у(х, у)+Луйб(х, у) и заметив, что значения и(х, у) в граничных точках (х, у) заданы, мы прихо)гим к лннеинои системе алгебраических уравнений.
Таких уравнений столько, сколько у нас внутренних точек сетки, т. е. (Ф вЂ” 1) (М вЂ” 1). Число неизвестных, очевидно, совпадает с числом уравнений. В дальнейшем будет показано, что определитель этой системы отличен от нуля и что, следовательно, она разрешима. Решив ее, мы получим значения и(х, у) во всех точках сетки. На самом деле поступать в точности описанным способом нельзя, так как у(х, у) и 6(х, у) нам неизвестны.
Однако, заметив, что правая часть Лхй Т(х, у) + Ьу' 6(х, у) может быть сделана как угодно малой, если выбрать достаточно мелкие шаги, мы можем надеяться получить довольно точный ответ, приближенно заменив эту правую часть нулем. Таким образом мы приходим к следующей приближенной система и (х + Ьх, у) — 2и (х, у) + и (х — Ьх, у) Ьхй + и(х, у+Ьу) — 2и(х, у)+и(х, у — Ьу) Ьуй Мы должны будем исследовать разрешимость этой системы и оценить погрешность, возникшую от отбрасывания остаточного члена Ьх' Т (х, у)+ Ьуй 6 (х, у). Збй ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ Такое исследование и будет проведено в этом параграфе. На самом деле мало доказать разрешимость.
Нужно еше суметь указать не слишком трудоемкий способ решения. Ведь при малыя Ьх, Ьу здесь получаются системы уравнений очень больших порядков. В одном из следуюшик параграфов мы изучим употребительные в настояшее время способы решения таких больших систем, возникаюших при разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. Начнем со следуюшей простой леммы. Лемма. Функция ( ) ~ 2) Я ЬА удовлетворяет уравнениям: У (х+ Ьх, у) — 2У (х, у) + У (х — Ьх, у) Ьха + У(х, у+Ау) — 2У(х, у)+У(х, у — Ьу) Ь Я у — — 1 и неравенствам 0~ У(х, у)~ — —, аз+ ЬЯ 16 (0(х(а, 0(у -Ь). Доказательство.
Неравенства с очевидностью следуют изформулы для У(х, у), а уравнения вытекают из того, что по доказанному !' (х+ Ьх, у) — 2У (х, у) + У (х — Ьх, у) Ьх + У(х, у+Ьу) — 21'(х, у)+ У(х, у — Ьу) Ьуа дЧ~ дЧ~ Ьха = дхя+ дуя + 24 (~ ЯА' у)+ 1 Йа' у)!+ Ьуа + 24 ( гххт( ' ~т)+ В самом деле, для нашей У(х, у) четвертые производные равны нулю, а оператор Лапласа д'У дЧ/ дха дуа — + — =1 Лемма докааана. Теорема 1.
Разностная система уравнений, выписанных для всех точек (х, у) нашей сетки, и (х+ Ьх, у) — 2и (х, у) + и (х — Ьх, у) Ь а + +и(х, у-(-Ьу) — 2о(х, у)+и(х, у — Ьу) — а(х, у), у и(х> у) !г *<р(х,у) [гл ч 360 влзностныв методы Ьхч + Ьуа =а(х, у)+а=се(х, у)) О, й(х, у)[г=й(х, у)=~у(х, у)+ее(х, у)(0. Таким образом, й(х, у) удовлетворяет всем условиям теоремы. Только неравенство сс(х, у) ) 0 для правых частей теперь усилилось и стало строгим сс(х, у) ~е) О. Если мы теперь, исходя из полученных условий, установим, что й(х, у)~0, то тем самым мы будем иметь: и(х, у)+ее(х, у) =О, аа+ Ьа и(х, у)( — ео(х, у)(е В силу произвольности е отсюда следует неравенство и(х, у) =.О. Переходим к доказательству этого утверждения. Уравнение й (х-1- Ьх, у) — 2й (х, у) + й (х — Ьх, у) Ьха + й(х, у+Ьу) — 2й (х, у]+й (х, у — Ьу) + Ьуа сс)0 можно переписать так: 1 1 — [й(х+Ьх, у)+й[х — Ьх, у)]+ — [й(х.
у+Ьу)+й(х, у — Ьу)] й(х, у)— 1 ! 1 1 Ь а+Ьха+Ьуа+Ьуч 1 1 — [й (х+ Ьх, у) + й (х — Ьх, уН + — [й (х, у+ Ьу) + й (х, у — Ьу)) ( ! 1 1 1 Ьха+ Ьха+ Ьуа + Ь уа -= щах [й (х+ Ьх, у), й (х — Лх, у), й (х, у + Ьу), й (х, у — Ьу)!. не москет иметь решений и(х, у) таких, чтобы хоть в одной точке сетки и(х„у))0, если только ее правые части !р, а удовлетворяют неравенствалс а(х, у))0, <р(х, у) =О. Доказательство. Рассмотрим сеточную функцию й(х, у) = =и(х, у)+ее(х, у), где е) О, а о(х, у) была описана в предыдущей лемме.
Очевидно, что й(х, у) удовлетворяет уравнениям й(х+Ьх, у) — 2й(х, у)+й(х — Ьх, у) й(х, у+Ьу) — 2й(х, у)+й(х, у — Ьу) 361 ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ Обоснование строгогб неравенства й(х, у)с шах[й(х+Дх, у), й(х — Дх, у), й(х, у+Ду), й(х, у — Ду)) представляет собой разностный аналог принципа максимума. Из него следует, что нзибольшее значение сеточной функции й(х, у) принимается обязательно в какой-либо граничной точке.
Но мы знаем, что й!Г=у«-0. Неравенство й(х, у)(0 тем самым доказано. Доказательство теоремы завершено. Следствие 1. Разностная система уравнений и(х+Дх,у) — 2и(х,у)+и(х — Дх,у) и(х, у+Ду) — 2и(х, у)+и(х, у-Ду) Дхз + О, и(х, у) ~,=0 имеет единственное решение и(х, у)=0.
Действительно, из доказанной теоремы следует неравенство и(х, у):я О. Обратное неравенство — и(х, у)(0 (и(х, у)-'- О) получим, если заметим, что сеточная функция — и(х, у) удовлетворяет тем же уравнениям, что и и(х, у). Из неравенств и(х, у)= О, и(х, у)(0 следует равенство и(х, у)=0. То, что и(х, у): — 0 удовлетворяет уравнениям, очевидно. Как известно из курса алгебры, система линейных однородных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных, только в том случзе имеет лишь нулевое решение, если ее определитель отличен от нуля.
Если же у системы уравнений определитель отличен от нуля, то онз рззрешимз при любых правых частях, н притом единственным способом. Отсюда вытекает Следствие 2. Разностная система уравнений и (х+Дх, у) — 2и (х, у)+и (х — Дх, у) дхя + и (х, у+ ду) — 2и (х, у) + и (х, у — Ду) 2 — а(х, у), и(х у)[г=<Р(х у) разрешима и имеет единственное решение лри люоых сеточных а(х, у), <р(х, у).
Для этого решения мы получим оценку, доказательству которой посвящена следующая Т е о р е м а 2. Если ) сс (х, у) ~ < А, ( ~р (х, у) ! ( В, то решение раз ностннх уравнений удовлетворяет неравенству [и(х, у) ~ В+ — „А. я+ гл 362 1гл. ч РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ П о к а з а т е л ь с т в о. Сеточная функция й (х, у) = и (х, у) — В + + А)Г(х, у) удовлетворяет разностным уравнениям й(х+Лх, у) — 2д(х, у)+й(х — ах, д) Ьхя + ( ' ( ' ")+ ( ' ") — а(х у)+А~О, Ьря й(х, у)!г=гр(х, у))г — В+А о(х, у) 1г(~р(х, у))г — В =.О.
В качестве ь'(х, у) мы взяли функцию, построенную в лемме. По этой лемме — — = И(х, у):~0. аа+ 6' 16 Из теоремы ! имеем неравенство и(х, у) — В+АЪ'(х, у)=й(х, у)~0. Иными словами, аз+ 6Я и(х, 'у)( — А У(х, у)~В+ — А. Сеточная функция — и(х, у) удовлетворяет тем же самым разностным уравнениям, что и и(х, у), только правые части сг(х, у), ф(х, у) надо теперь заменить на — а(х, у), — ~р(х, у): неравенства ! — га(х, у)((А, ! — ~р(х, у)|г)(В опять выполнены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
