1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Следовательно, аз+ 6Я вЂ” и (х, у) ( В+ — А. 16 Объединяя это неравенство с доказанным ранее аа+ 6Я и(х, у) ~В+ — А, приходим к утверждению теоремы: |и(х, у)~ =.В+ — А. Свойства разностных уравнений изучены нами теперь достаточно подробно. С помощью этих свойств легко оценить погрешность приближенного решения задачи Лирихле. В самом деле, точное решение и(х, у) задачи 1)ирихле удовлетворяет разностным уравнениям и(х+Ьх, д) — 2агх, у)+а(х — Ьх, р) и(х, у+ау) — 2а(х, у)+и(х, р — Ьр) Ьхя + Луа =ахар(х, у)+буаб(х, у), К, К !у(х, у) !а:- —, ! б(х, у) (( —, и(х у)~г-ф(х у) 363 в зх) злдлчл дииихли в пяямоугольннкз где посредством К обозначен максимум модуля четвертых производных решения и(х, у).
Вместо этих точных уравнений, которые мы решать не можем, так как точные значения у(х, у), б(х, у) нам неизвестны, было предложено решать приближенные й(х+Лх, у) — 2й (х, у)+й (х — Ьх, у) Лхя + й(х, у+Ау) — 2й (х, у)+й(х, у — Лу) дуя У й(х, у)!г=ф(х, у). Разность точного и приближенного решений тв(х, у)=п(х, у) — й(х, у) удовлетворяет разностным уравнениям в(х+Ьх, у) — 2в(х, у)+в(х — Ьх, у) Ьхя + +в(х, у+Ьу) — 2га(х, у)+в(х, у — Ьу) а + Ьуа и однородным граничным условиям ш(х у)!г=О. По теореме 2 ) и(х, у) — й(х, у) ) = аз+ Ья ) тв (х, у) ) ( О+ — тпах (Ьх'у (х, у)+ гху'6 (х, у)) ( х,Я ~ (б~'+ Ау') — „"-"„-. Мы видим, что при достаточно малых Лх, Лу погрешность приближенного решения будет действительно мала. Тем самым мы обосновали применимость метода сеток для отыскания приближенных решений задачи Дирихле с достаточно гладкими'граничными значениями.
На практике, при решении конкретных задач, обычно ограничиваются обоснованиями принципиального характера, типа проведенного сейчас. Часто даже такое обоснование проводится более схематично. Конкретные суждения о погрешности получаются, как правило, не из теоретических оценок, а из сравнения между собой результатов расчетов, выполненных с различными сеточными шзгами Лх, Лу. После того как разностные уравнения составлены, их надо еше решить.
В разобранном нами примере решение разностных уравнений— очень сложная и интересная задача, но мы пока не будем ею заниматься. В ближайших параграфах мы проведем исследование разностных приближений к решениям нескольких типичных задач для уравнений различных типов (гиперболических, параболических), аналогично тому, как это было сделано здесь для задачи тхирихле. Это исследование [ГЛ. Ч РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ 364 будет проводиться примерно по той же схеме, что и в этом параграфе. Сначала проверяется, что те или иные разностные уравнения на точном решении дифференциального уравнения выполнены почти точно (имеют малые правые части), а затем устанавливается, что малое изменение правых частей разностных уравнений мало меняет их решение.
Первый этап такой схемы исследования называется изучением аппроксимации, а второй †исследовани устойчивости разностных уравнений. й 36. Разностнвя схема для гиперболической системы с двумя независимыми переменными Схема, которая ранее использовалась нами для доказательства теоремы существования, изучается примерно так же, как в прошлом параграфе изучалось тК разностное уравнение Лапласа. Необходимость неравенства — (1. Сравнение л областей влияния разностного и дифференциального уравнений и вытекающее из этого сравнения необходимое условие сходимости.
Пример, показывающий, что это условие не является достаточным. Негибкая схема, решения которой могут при уменьшении шагов сходиться к решениям различных уравнений. В предыдущем параграфе мы изучали разностную схему для решения задачи кирилле. Здесь мы опять будем заниматься разностнымн схемами, но уже для гиперболических уравнений. Пусть нам надо решать гиперболическую систему — г+я;(л, ~) — '+~~~~~ш!/(х, т)п/=у(л, ~), у записанную в каноническом виде.
Эту систему мы будем рассматривать в прямоугольнике 0(х =4 0(С(Т. Коэффициенты и правые части предполагаются достаточно гладкими и, следовательно, ограниченными. Более того, предположим, что на каждой из границ х=О, х=1 .ни одна из характеристических скоростей з;(О, г), йг(А, г) не обращаегся в нуль, а значит, каждая из этих скоростей с течением времени не меняет знака. В качестве граничных условий на левой границе х=О будем предполагать заданными те значения иг (О, г), для которых гг; (О, 1) ) О.
На правой границе х=) задаются те ш(У, г), для которых я;(У, г)~0. Можно было бы рассмотреть граничные условия более общего вида, например такие, какие рассматривались при изучении теоремы о существовании решения. Мы сейчас на тзкие усложнения не пойдем, так как они не принципиальны для разбираемого нами вопроса. При Т=О в качестве начальных данных задаются и~(х, 0) для всех т=1, 2,..., и. Начальные данные предполагаются согласованными с граничными условиями так, чтобы существовало достаточно гладкое решение, удовлетворяющее всем сформулированным требованиям.
Нам будет важно, чтобы это решение было ограниченным и имело ограниченные первые и вторые производные. $ зи РАзностнАя схемА для ГипеРБолическои системы 365 Мы не предполагали сейчас сохранения знака у характеристической скорости л;(х, г) характеристик Ого семейства — =)г;(х, г) во всем прямоугольнике, так что в принципе мы можем себе представить такой вид семейства характеристик со скоростью )гг(х, г), какой показан на рнс. 79.
Рис. 79. Рис. 80. Характеристикам, правда, не разрешается касаться горизонтальных направлений, так как это означало бы неограниченность )сь Поэтому картина поведения характеристик, изображенная на рис. 80, нами запрещена. Выберем в прямоугольнике 0 ~ х = 7, 0 =.(( Т разностную сетку с шагами й=сьх, Т=Л(. Такая сетка показана на рис. 81. Разностную схему построим ту же самую, что и при доказзтельстве теоремы существования у гиперболических систем. Обратим только серьезное внимание на то, как меняется вид разностных уравнений прн изменении знака у (7 йг(л 0 Рвс.
81. Пусть точкз (х, т) является точкой сетки. Соответствующее ей разностное уравнение будем писать в зависимости от знака )сг(х, () по .одному из следующих двух правил. Если 7сг(х, Г) = О, то напишем: и;(х, т+т) — и;(х, Г) . л . г. и~(х+Л, Г) — ир(х, Г) + )с;(л, с) Ь + 5;тису(х, ()и,(х, т)=у(х, (). Если 7и(х, ())О, то пишем разностное уравнение так: и~ (х, т + т) — и~ (х, О , и; (х, г) — иг (х — Ь, Г) 366 цгл ч влзностные методы Для каждой точки (х, 1) сетки, не лежащей на правой или левой границах (х~О, хчьР), мы такое уравнение выписать сможем. В точках правой границы, если йг(х, й)(0, уравнение по этому правилу написать нельзя, так как точка ((+ й, 1) сетке не принадлежит.
Но в этом случае его можно заменить равенством иг (Г, с+ т) =заданному граничному значению (случай й;(й 1)=0 мы договорились не рассматривать). Аналогично, на левой границе х=О не может быть выписано разностное уравнение, если й,(0, 1) О. Его также можно заменить равенством и~(0, 1+т)=заданному граничному значению. К выписанным равенствам надо еще добавить начальные условия: иг (х, 0) = заданным начальным условиям.
Мы предполагаем. выполненным согласование граничных и начальных значений в угловых точках (О, 0), (У, 0). С помощью описанных сейчас правил мы приходим к системе линейных алгебраических уравнений для значений сеточных функций и;(х, й). В этой системе число уравнений равно числу неизвестных. Нам нужно доказать, что эта система уравнений разрешима и что ее решение при достаточно малых т, й в точках сетки близко к значениям точного решения дифференциальных уравнений. Докззательство, которое мы проведем, очень напоминает по своей схеме аналогичное рассуждение, с помощью 'которого в предыдущем парзграфе изучалась разностная задача Дирихле. Пусть и;(х, ~) — точное решение дифференциальных уравнений, которое имеет первые и вторые ограниченные производные. По формуле Тейлора и (х (+т)=и.(х т)+тдиг(к, г) +т' дтиг(к, Г+Пт) =и (х, 1)+т "',(»' ')+т'аг(х, С, т) (О ~ т~ ( 1, ! аг ) ( сопя(), и (х+й, ~)=и! (х, ~)+й 'д ' +йяр;(х, ~, й) ( ! Д~ ! ( сопят), и;(х — й О=и ( Π— й ',(' +й'уг(х й И) ( / у; ! ( сопя().
Отсюда ди~ иг(к, г+т) — и~(к, Г) диг иг(к+й, Г) — иг(к, Г) и, дк ди; и; (к, Г) — и1 (к — Ь, Г) + дк й а Ооа РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 367 Мы будем предполагать, что шзги т, Ь всегда выбираются подчиненными неравенству — „( сопзй Ив выписанных формул ясно, что точное решение дифференциальной системы удовлетворяет разностным уравнениям с правыми частями, измененными на величину порядка )ь Вместо Я(х, г) мы должны теперь в правой части писать Я(х, () =уо (х, () + )ощ (х, г, т, Ь) и предполагать, что )~р;(х, г, т, )о) !(совой Теперь надо показать, что наши разиостные уравнения разрешимы при любых правых частях и что изменение правых частей на величину порядка й влечет за собой иаменение разностного решения в каждой точке тоже на величину такого же порядка.
Разрешимость разностных уравнений в разбираемом сейчас случае тривиальна. В самом деле, легко показать, что граничные условия и начальные данные при Г=О позволяют определить решение на первом временном слое г=т, которое можно принять за начальные данные при определении решения на слое г =2т, и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
