1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 55
Текст из файла (страница 55)
с~ е од(х, Х) гй+О ~ — !. 1 Г /11 =2кд 3 Контур Пр здесь является границей прямоугольника )не) )(Ке, — (хР+1) и — 1ш ч 1 ) (2Р+1) л — !ш ч к к ! внутри которого, как мы знаем, содержится 2р+ра полюсов нд(х, Ц. 111 Оценка остаточного члена О ~ — )здесь равномерна для всех 0(х(У и для любого фиксировзнного конечного отрезка изменения времени Од= уа(!( Т, ограниченного снизу положительным моментом (а.
9 31. Пояцотй сцстемы собстнвнн)ях ф)Гццццй Напоминание доказанных в предыдущих параграфах фактов о свойствах щ(х, й) — аналитических функций от Х и о приближенном представлении решения смешанной задачи контурным интегралом. Вычисление отдельных вычетов. Решение приближается суммой конечного числа дстоячих волин Видоизменения в случае кратных полюсов. Замечания о возможности распространенна теории иа системы, не приведенные к каноническому виду. Теорема о полноте собственных функций.
Примеры, показывающие существенность обратимости задачи для применимости метода Фурье. Изучив в прошлых параграфах аналитические свойства преобразования Лапласа решений гиперболических систем, мы получили в свое распоряжение мощный аппарат )для качественного исследования этих рещений. Здесь будет показано, как этот аппарат применяется. Мы рассматриваем обратимую задачу для системы (с гладкимн коэффициентами) дид ди, ш +Ад(х) д +ты(х)и,+т„(х)и=О, дид дид дд — ла(х) -д-,-+ тщ(х) и, + ты(Х)п,=О, Ад(х))0, 0(х(Е. Эта задача определяется граничными условиями а, и, (О, !) + аа и, (О, !) = О, а, Ф О, а, Ф О, ()д пд (У, Е) + рд ддз (У, !) = О, рд ~ О, (дд ~ 0 н начальными данными ' нд(х, 0)=ф;(х), которые предполагаются достаточно гладкими и гладко согласованными с граничными условиямн.
ЗЗ0 1гл. 1У ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЪЕ Было показано, что существует некоторое К тзкое, что при не Л) К определено преобразование Лапласа в!(х, Л) решения и;(х, 1): ог(х, Л)=~ сг;(х, 1)е 'г(1. о Функции ог(х, Л) допускают, как аналитические функции Л, продолжение на всю плоскость комплексного переменного с выколотыми дискретно расположенными полюсами. Все эти полюса расположены в полосе ))те Л) ( К; все они, за исключением конечного числа, — простые, не имеют конечных предельных точек.
Они ' описываются следующей асимптотической формулой: 2л1Р— и — т ! 1 + О( — ~ Р-».+-со — целые. н Параметры р, т, х вычисляются через коэффициенты уравнений и граничных условий. Была доказана следующая «формула обращения»ч пг (х, 1)= 1 ф е г ьт (х, Л) И Л+ О( — ), 2лг и Р в которой через Пр обозначена граница прямоугольника ) й Л ' ʄ— (2Р+1) л — 1ют Л (2Р+1) л — 1а т Внутри каждого такого прямоугольника содержится конечное число (2р+р,) полюсов функций О;(х, Л).
Поэтому интеграл по Пр может быть заменен на конечную сумму не более чем 2Р+Ра слагаемых по контурам Гм каждый из которых содержит только по одному полюсу ьт (х, Л): иг(х, 1)= — „. ~ $ е 'в;(х, Л)пЛ+О( — ). ь г„ Оценка остаточного члена О( — ) равномерна для любого отрезка [1м Т) Г!1 Р времени такого, что 0~1,(Т, и при 0(х(Л Для вычисления интегралов по Гь легко применить теорию вычетов.
Пусть Л=˄— простой полюс О;(х, Л), т. е. 0(ЛА)=0, О'(Ль)ФО. Как было показано в предыдущем параграфе, решение краевой задачи для сисгемы обыкновенных дифференциальных уравнений представимо в виде Р;(Х, Л) в;(х, Л)= с целыми, аналитическими по Л функциями в;(х, Л). Так как ть(х, Л) удовлетворяют сисгеме уравнений с правыми частями ф;(х), то, Г а зп ПОЛНОТА'СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯ следовательйо, функции эд(х, Л) удовлетворяют системе вд (х, Л») = с»о( (х).
уже и подсчитать интеграл по Г»'. г» лг- = — е г о| (х). е»й;(л, Л») е» л г (»1 В Р.,) В (Л,) Теперь нетрудно —. |~) Е 'Од(Х г Обозначим, » =д(». Таким образом, если 0(Л) не имеет кратных ))'(Л») нулей, то решение и (х, () нашей задачи может быть представлено в виде; и,(х, Т)= ~ д(»о(~)(х)е» +0( — ) |2р+ р, саагаеиик) с оценкой остзточного члена, равномерной по х и Т, 0 =х(Л 0<(2((( Т. Непосредственной подстановкой в систему дид ди, дт +Ад -дк + тыид+ ткана=0, ди, диа д - — ла + тюид+ ттпд = 0 и грзничные условия сда м| + с" дия |х-а = О легко убедиться, что функции и| =ей (х) е |м |ю л г (31111+ ряия)„1= 0 Лог + Ад — - + т;дед + т„.
Ьд = 0 (Л) |р;, дид дид Лоя '22 д + т21од + т22о2 — 0 (Л) фа Отсюда видно, что если 0(Л»)=0, то пара эд(х, Л), о,(х, Л) удовлетворяет однородной системе уравнений и краевым условиям. В предыдущем параграфе было показано также, что при условии 0 (Л») = 0 существует собственная вектор-функция — ненулевое решение однородной системы, удовлетворяющее однородным краевым условиям.
Так как по предположению Л» — простой корень, то (как нетрудно заметить из рассмотрений предыдущего параграфа) суп|ествует лишь единственная с точностью до множителя собственная вектор-функция. Мы будем обозначать ее, нормировав каким-либо образом, через (о|»)(х), о<») (х)). Итак, ЗЗ2 [Гл. ш пРБОБРА3ОВАние лАплАсА и метОЛ ФуРье являются частными решениями этой системы и удовлетворяют граничным условиям. Такие частные решения носят название «стоячих волн». Это название связано с тем, что «форма волны» о<«)(х) не зависит от времени, тогда как ее «амплитуда» определяется зависящим только л г от ! множителем е « .
Кратко говорят, что решение может быть зппроксимировано крнечной суммой стоячих волн. На простом примере уравнений зкустикн представление решения в виде ряда по собственным функциям было доказано в вводной части (гл. !, З 7). 1»(ы не будем до конца уточнять формулировки в случае кратных нулей О()»). Ограничимся рассмотрением примера двукратного корня 0(Х«)=0, 0'().«)=О, 0" (Х«)чь0.
При этом гт ()„) ( «) (т т )з + ( «) (т ) «)з + ! 2 ! 20"' (Л«) ! Лс Л«' + аналитическая функция; Ф8(х, Х)=о!(х, 2«)+()» — )«) — + ° ° ° . Гд;(х, Ц1 Перемножим два последних ряда: 0(л) 0" (л,) (л — л,)»+'!(0" (л«) з(0" (л,))х) '(х )')е" + + „Л ' ' е «! Л „+аналитическая функция от )»= 2 де;(х,Х«) л Л 1 функция от х, Г+~ л с !«Л( ) «гх!«!( 1 1 е о~ х е о! х + аналитическая функция.,: Отсюда и(«!(х, !)= —,—.
1 ' "' й.=(е «'б! ~(х)+е «'ох; '(х). ! ' '2»и 'У 0 (Л) г й1ы ввели здесь обозначения 2Р; (х, Л«) -!ц 0- (Л«) 20"' (Л«) . ) 2 дэ; (х, Х«) =!м (х) з 10 (л )]2 ~ ( ' «)+ 0' (л«) дл й 3() полнота системы созстзенных Функции 3 а д а ч а ). докажите, что б',2), й~ ) удовлетворяют следующей системе обыкйовениых дифференциальных уравнений: я граизчныи условиям огб1 + .,и, =О, 1 -ы) -ы) пи х=О, при х=й г Яб(2) + к гб(2) О (2) ш Функции о( опять являются собственными, а б'") носят иазвайие присоединенных собплаенных функций. 3 а д а ч а 2.
Если Ла — двукратный корень характеристического уравнения (ап — Л а» 0(Л)=~ =О, то любое решение системы обыкновенных дифферен'аз, а22 — Л ( циальных уравнений йи( — = а(,и, + а,аи, (й 1(и2 — =а и +а,и сЫ представляется в виде где оь б; являются решением линейной системы Л»о(=а1(о(+а(»оз в Лзп» а»1о1 + а22о2 о( + Лоб( = а(хй1+ а(2 ею о»+ Л»бз = пят б(+ аззбз.
Покажите, что оп оз отличны от нуля, лишь если матрица ((а(а)) не приводится подобным преобразованием к диагональному виду. Задачи 1 и 2 позволяют проследить и в случаях кратных . корней с)(Л) аналогию между нашими гиперболическими системами и системами линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными" коэффициентами. Доказанное нами утверждение о возможности как угодно точного приближения решения конечными суммами «стоячих волн», т. е. суммами Лаб',2) +й, (2) бы)+Л,бы)+й, пз + Льбз -(Ю (2) йб1 -(2) ы) -(ю —,— (-т„б, +т„о, =О, йб(2) — + т21й(2)+т„б(2) = О, йох(2) х й=т ' 2(2) 2(2) =ы) — +т„б, +тззо22 =О йх 334 ~тл ш 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА"И МЕТОД ФУРЬЕ ди, — + й, (х) — + т„(х) и, + т,я (х) и, = О, дил дия — — й,(х) — +т,(х)и,+т,а(х) и,=О диа специальных решений, которые в случае простых корней 0 (Л) имеют вид ил=о~~'(х)е ь представляет собой основной результат этой главы.
<м лс Способ отыскания решения краевой задачи в виде суперпозиции тзких специальных решений носит название метода Фурье. Тзким образом, нами обоснован метод Фурье для обратимой гиперболической системы в случае двух независимых переменных при определенных ограничениях на коэффициенты н краевые условия. Ради этого мы развилн теорию преобразования Лапласа, которой были посвящены параграфы этой главы. Подробно метод Фурье для системы акустики был разобран в вводной части. Для этой системы,мы не только доказали, что произвольное колебание можно представить в виде суперпозицни стоячих волн, но и показали, как, исходя из начальных данных, вычислить коэффициенты разложения.
В следуюшем параграфе мы сделаем то же самое для специальных систем более обшего вида. А сейчас сделаем ряд замечаний по поводу доказанной теоремы о разложении. Напомним, что разбираемая задача предполагается обратимой, а начальные данные лц(х, 0)=фл(х) должны быть достаточно гладкими и согласованными с граничными условиями. Система, для которой проводилось доказательство, была записана в каноническом виде. На самом деле, такое же утверждение об аппроксимации решений стоячими волнами имеет место н для системы, не приведенной к каноническому виду, лишь бы ее коэффициенты зависели только от х и лишь бы для нее приведение к каноническому виду (со всеми ограничениями на йл(х), йя(х) и граничные условия) было э выполнимо.
Заметим еше, что если коэффициенты системы зависят товько от х', то элементы матрицы преобразования искомых функций, приводящей такую систему к каноническому виду, тоже могут быть выбранызавнсяшими только от х. В этом можно убедиться, если вспомнить процесс приведения, который мы разбирали еше во второй главе.
Сейчас мы подробнее'останавливаться на этом не будем. Теперь мы выведем нз теоремы об аппроксимации решений одно ;. очень важное следствие, которое обычно носит название теоремы о пол- . ноте множества собственных (и присоединенных) функций. Пусть система с граничными условиями ади,(0, ~)+азия(0, Е)=0, ()лил((, Е)+рвиа(Е, Ф)=0 удовлетворяет всем условиям применимости предыдущей теоремы.
33б ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИИ «ап Во всяком, случае, это значит, что для достаточно гладких цсс(х), ф,(х), согласованных с граничными условиями, существует решение системы (и, (х, С), сс,(х, Т)) такое, что и,(х, 0)= срс(х), и,(х, 0) = срз(х). Такое решение существует как для Т) О, так и для с(0. При Г= — т (т — некоторое положительное число) это решение принимает определенные значения ид(х, — т)=ф,(х), и,(х, — т)=ф,(х). Заметим теперь, что если (и,(х, ~), и,(х, с)) является решением, то решением является также й,=сс,(х, Т)=ис(х, 8 — т), й,=й,(х, Т)=сса(х, й — т). Это решение удовлетворяет при Т=О начальным условиям ссс(х, 0)=фс(х), 'йя(х, 0)=фя(х) и при 8 т принимает значение ис(Х, т)=срс(х), из(Х, т)=сря(Х). Очевидно, что к решению (й„й,), отличающемуся от (ис, и,) только сдвигом по времени, применима вся разобранная нами теория преобразования Лапласа, со всеми вытекаюшими из этой теории выводами.
В частности, мы воспользуемся тем, что на любом отрезке времени 0(сь( Т( Т решение й,, йз может быть кзк угодно точно аппроксимировано (равномерно по х и с) линейной комбинацией собственных (и присоединенных) функций (с коэффициентами, ззвисяшими от времени). с"сы положим Та= тс2, Т= 3ТС2. Тогда из этого утверждения вытекаес., что (й,(х, т), й (х, т)) может быть как угодно точно аппроксимировано линейной комбинацией собственных (н присоединенных) функций. Теперь вспомним, что ссс(х, т)=срс(х), сс,(х, т)=цсз(х). Итак, какова бы ни была достаточно гладкая вектор-функция (цсс(х), ср»(х)), согласованная с граничными условлями, она может быть как угодно точно (равномерно по х) приближена линейной комбинацией собственных, вектор-функций (в случае обратимой задачи).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
