1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Слово «частота» мы взяли . в кавычки, потому что понятие частоты ю, строго говоря, определено ) лишь для чисто мнимых Л=сю. Для простоты и большей наглядности; мы будем некоторое время предполагать, что Л=сю у нас чисто мни. мое и что шах(Ке лс) < — р < О. Потом мы покажем, как обобшить ' с нужные нам факты на тот случай, если неравенство шах(Кессс) — р.; с не выполнено.
Итак, рассматривая решение системы — — Апс= е ср, йо ш пс), «=0, 291 СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ УРАВНЕНИИ „ы имеем для него формулу те (1) = еим ~ и (1 — Фо) е ™ и "1 й . о При с )ггг(1 — С~)е — '"1' — ц1бс,-ьо(1го)=$ЕЯе ™ о(т. о о Вектор-функция о(1ю) от частоты ю носит название частотной харакби теристики системы — — Аи = О, а представляющий ее интеграл бг ")и(1)е г"'Ю называется преобразованием Лапласа от и(т). о рассмогрим сейчас в качестве совсем простого частного примера случай системы, состоящей всего из одного уравнения „— — )ги = О, ~ — „— пте = <ре'"', «и-о=ф тв и-о=О. Для и(с), те(1) могут быть выписаны следующие явные формулы: и (г) феог те Р егш! Р сан ио — А ио — А Так как мы предполагаем, что Кей ( О, то в формуле для тв второе слагаемое стремится к нулю при 1-ьсо.
Коэффициент при первом слагаемом — функция и (йо) = —, — является частотной характерисги- Ф 1м — А кой и может быть вычислена в виде интеграла В этом примере частотная характеристика †э просто скалярная функция от ю или, если угодно †одномерн вектор-функция.
Оказывается, что если для довольно произвольной функции и(1) известна ее частотная характеристика о(ю'ю)=г)п(1)е о"'йС, о то сама функция гг(г) может быть восстановлена по этой частотной характеристике. Имеет место следующая теорема об обращении преобразования Лапласа: Те о р е м а. Пусть функция и(1), определенная при 0 =1( Оо, удовлетворяет неравенствам (1) ~ ( Ме ", ~ и' (Г) !( Ие " (р ) О) 10* пРЯОБРАЭОВАние лАплАсА и метод ахяье 1гл. щ и пусть, кроме того, при Он=1~(2Т ) " С с С вЂ”" Ссь ) ~ О Гтс, — с.~.
Определим преобразование Лапласа о(1ю) Формулой е(1ю)=) е '"'и(1)а1. о Тогда исходная функция ц(1) может быть восстановлена по е(1в) с помощью равенства ь и(1)= — ~ е(1ю)е'О'аю+О( — ) — ь Оценка константы в О~ — ) равномерна для всехгиз отрезка 0(1О~ /11 ~Ь) =1~ Т и для всех функций и(1), удовлетворяющих неравенствам в условии теоремы. Эта теорема лишь деталями формулировки отличается от общеиввестной теоремы об обращении преобразования Лапласа: здесь на функцию и(1) накладываются несколько более сильные ограничения и получается более точная асимптотика для интеграла.
Доказательство теоремы будет приведено в следующем параграфе, а пока вернемся к рассмотрению частотной характеристики е(1ю) системы обыкновенных дифаа ференциальных уравнений — — Ам=0, и]1 О=ф. Оказывается, что каж- с дая компонента втой частотной характеристики е(1ю), является рациональной функцией 1ю, имеющей полюсы в точках й, удовлетворяющих характеристическому уравнению де(] А — йЕ](=0.
Докажем это. Наряду с преобразованием Лапласа а(1) СО е(1ю)=) е ™и(1)ь(1 о ди (О рассмотрим еше преобразование Лапласа от Аи(1) и от— СО . — СО $ е иыАи(1)а1=А ~ е ' 'и(1)б1=Аэ(1ю), о о СО С СО е РОь — „1 й1=[и(1)е ' ]', — ~ и(1)ае '"'= с-'о = — и(0)+1вс)и(1)е ~ 'й1= — ср+йю(1ю).
о 2ОЗ системА овыкноВенных уРАВнениЙ Отсюда О) 1 в'('" е-'"' ( —" — Ап ) огт = — гр + арво (йо) — Ао (йо). ~ ег О ои Так как — — Ам=О, то о((в) удовлетворяет системе линейных ураввг пений (А — йоЕ) е+ гр= О, о(йо)=~~> . фд / Воспользуемся теперь теоремой об обращении преобразования Лапласа (О ( 1ь ( 1-=. Т) +ь $ еув) е ' ив+О~ ~ ) = — ь' +ь — а )« -~о)~). и(г)= — „ ! 2п Немного ниже мы покзжем, что при Ь-»со и йей~(0, 1~аз)0 +ь .-' 1 — """в=:"+ ( — ь Это дает нам право утверждать, что ()= у',."т'ф,+о( —,ь). 1 Е силу произвольности Ь о~сюда получается предстзвление и (г) = ~~~~~ е! фг 2 р~шения системы в виде комбинации экспонент. Тем самым знание частот- характеристики о((в) позволяет найти собственные «частоты Ь~» " вычислить векторные коэффициенты фт разложения решения пО этйм "астотам, то есть собственные векторы матрицы А, которая разрешима, если только Гв не является корнем характеристического уравнения де( ~ А — ЬЕ)) = О.
Сформулированное утверждение про е(йо) следует из вила этой системы. Если все корни характеристического уравнения простые, то о(йо), очевидно, допускает представление в виде 1гл. ш 294 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ 1Аокажем соотношение 11). тгля этого рзссмотрим +о 1 Р ещв — — в2го, где йе Ь ( О. 2л 5 ио — й Изобразим путь интегрирования в виде отрезка — Ь ю(Ь на комплексной плоскости Л=ио и дополним этот путь полуокружностью )Л~=Ь(КеЛ(0) так, как это сделанона ге рис.
75. Интеграл +о 1 Г ем 1 Г евы У+гав —. $ — в2Л= — ~ . Йо+ 2л1$ 3,— й 2л а ио — й -ь 1 Р ем + —. ~ — 2Л 2лв а Л вЂ” а „=Ь яв в<о может быть вычислен точно с помощью вычетов. Он отличается от нашего исходного на интеграл по полуокружности, про который будет покззано, что он при Ь -ь ОО является величиной порядка Рис. 75. /1 ~ 011 — ~. При достаточно большом Ь по- ~ь1 люс Л= Ь лежит внутри контура интегрирования и имеет вычет ее~. Следовательно, ~ . ~ — втЛ = е '.
Для опенки интеграла по полуокружности заметим, что Л=Ь1 — згпвр+1созу), 0 (вр(л, 1втЛ1 — Ь)г1вр! (е ~ е — мвгот Выбрав достаточно большие Ь, можно считать, что на полуокружности 1/! Л вЂ” й ! ( 2/Ь. Поэтому ,7Л~ ~е — ы тг1.,р ~в~=о о ив г со л лго /11 ~ --'" вв=в ~ *-*""вв-о1 —,)., о где обозначено с=ЬЕ Представим этот положительный интеграл .
систзмА овыкнОВенных уРАВнении в виде в/2 и/4 в/2 Г е "Мт спв е — «в/пт 4(гр % 4(вр + 1 е — ав!«та/4Р. сов ~Р 0 0 в/4 0 в/4 = — 11 — е 1 ) + 4 е ' ' = 0 ( — ) = 0 ( Э/) = 0 ( ~ ), п((а)= ~' / г/ Ч/в (ва — й )' в ! Вычислите (в предположении, что ке А/~0) интегралы +«в 1 (' е'"'4/а «П ) (/а — й/)в ' Результат испальзуйта аля вывода представления решении и (/). Изучение метода Фурье.для уравнении в чзстных производных будет проводиться по следующей схеме.
Сначала с помощью преобразования Лапласа решения системы уравнений с частными производными будет построена «частотная» характеристика этой системы, являюшаяся аналитической функцией параметра Л («частоты»). Затем аналитическая природа этой «частотноп характеристики» будет тщательно изучена, будут выделены ее полюсы, определены в нх окрестности главные части лораиовского разложения.
С помошью теоремы об обращении преобразования Лапласа решение будет аппроксимировано контурным интегралом, который в свою очередь будет вычислен в виде конечной суммы по полюсам. Тшательное выполнение этой программы приведет нас к теореме о возможности как угодно точнов аппроксимации любого решения смешанной задачи для гиперболической сисгемы конечной суммой специальных ре)пений — «стоячих волн». так как по предположению /)/в) О. Эта оценка в курсе теории функции комплексного переменного часто носит название леммы Жордана. Мы разобрали подробно случай, когда характеристическое уравнение не имеет кратных корней.
Случаю кратных корней посвяшена следующая Задача. В случае, если характеристический корень А/ матрицы А имеет кратность г/, фуикция п(ва) может быть представлена в виде 296 1гл. гч ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ЕУРЪЕ 2 27. Теорема об обращении преобразования Лапласа Формулировка теорем об обращении преобразования Лапласа и ее обобщение на растущие (не слишком быстро) функции. Первые трн леммы и вытекающие из них следствия приводят к важному тождеству с тригонометрическим интегралом. Обсуждается характер остаточного члена з этом тождестве. Окончание доказательства теоремы.
Приведем формулировку теорем, которые будут доказаны в этом параграфе. Теорема 1. Пусть функция и(1), определенная при 0(1< < со, удовлетворяет неравенствам 1и (1) ) < Ме Р', ) и'(1) ( < Ме Р', р„з О, и пусть, кроме того, при 0( 1г ( 2Т ) и' (1,) — и' (1,) ) ~ Н(Т) )г ~Сз — 1, ). ° Тогда при 0<1ь(1< Т выполнено неравенство и(1) — — о(1ш) е'"'Йо < — '. Здесь о(٠— преобразование Лапласа функции и(1): о(ио)= ~ е '"'гг(1) с(г, з а постоянная Мт зависит лишь от р, сь, Т, М, Р1(Т).
Теорема 2. Пусть функция и(1), определенная при О~1<СО, удовлетворяет неравенствам )ьг(1)! <Ме"', (и'(1))<Мень, / й (1 ) — и' (Ю ) ) ( М(ТЯI ф, — Ц ! для 0 ( уь = 2 Т. Тогда при 0<1ь(1( Т справедливо неравенство а+ ге и(1) — —,. ~ о(А)е'аЛ < —,', а)К, а-!Ь где о(Л)=~ иЯе ~г(г — преобразование Лапласа функции и(1), а поз стоянная М, зависит лшиь от К, 1ь, Т, М и )ч'(7).
Легко видеть, что теорема 2 вытекает из теоремы 1. )1енствительно, пусть функция и (1~ удовлетворяет условиям теоремы 2. Введем функцию й(1)=е ' и(1). Тогда !й(1))=/и(г)(е а'<Ме-ш — го'= =Ме — ь', где обозначено р=а — К~О. Проверим, что функция й(Ю) тяоримл ов оврлщинии преоврлзовлния ллпллсл 207 $2У1 удовлетворяет остальным двум нерзвенствам в условии теоремы 1: [й'(Е)]=е "]и'Я вЂ” аиЯ](М(1+!а[)е ге=Ме иг, ]7д'(Р ) — й'(Цз) [=! е — ' [дг'(8д) — аи(1д)] — е зт [и'(Ьз) — аи(1з)] [» » [(е-ат, е — ат,) [и'(1 ) аи (1 )] + е — "в [и' (Ьд) — и' ((з) — аи (Ед) + аи (Ьз)][ » ~лттт 1т,— т, 1-';втп зсмк,— т,~ ~нттт.71т,— 'т, у при О» (д» 27'. Функция й(1) удовлетворяет, таким образом, всем условиям теоремы 1.
Следовательно, если положить б(йо)=~ й (1)е ьнгй =~ иЯе ' + >'гй, о а то имеет место формула +ь й (1) = и (1) е ~ = — рд й (!од) ед ' йо + О [ — 1 = 2п,) -ь ах дь — й(йо).~"-1 й(а+ )+О(,), а — дь Положим Х=а+1а, о())=в(а+По)=й(1ю). Так как при Ю =.Е~ Т выражение е ~ ограничено как сверху, так и снизу, то из последней формулы после сокращения на е те вытекает заключение теоремы 2. В дальнейшем мы будем пользоваться той формой обращения преобразования Лапласа, которая дается в теореме 2. Приступим к доказательству теоремы 1. Мы начнем с нескольких подготовительных лемм о тригоиометричвских интегралах. Лемма 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
